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专题 02 二次函数
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数的定义
【解惑】下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的
定义和条件判断即可．
【详解】A. 是反比例函数，不符合题意；
B. ，是一次函数，不符合题意；
C. ，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；D. 是二次函数，符合题意
故选：D．
【融会贯通】
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是
整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义“形如 ， 为常数且
”作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
B、当 时， 不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、 ，该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
D、该函数不是函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．二次函数 的二次项系数是 ．
【答案】
【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可．
【详解】解： ，
，
∴二次项系数是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系
数和常数项．3．有下列函数：
①y=5x-4；② ；③ ；④ ；⑤ ；
其中属于二次函数的是 （填序号）．
【答案】②④
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：②y= ；④y= ﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y= 自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y= 的右边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是②④．
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，
若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这
个关键条件．
类型二、y=ax²的图像与性质
【解惑】比较二次函数 与 的图象，则（ ）
A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐
标，对称轴方程，再比较即可；
【详解】解：∵二次函数 与 ，
∴函数 的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为 ；
函数 的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为 ；
故选项B、D错误，选项C正确；∵二次函数 中的 ， 中的 ，
∴它们的开口大小不一样，故选项A错误；
故选：C．
【融会贯通】
1．若二次函数 的图像经过点 ，则该图像必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．根据二次
函数图像对称性解答即可．
【详解】解： 点 与 关于二次函数 的对称轴 轴对称，
故该图像必经过点 ，
故选C．
2．函数 的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，图象有
（填“最高”或“最低”）点，函数有最 值，当 时，y随x的增大而 ．
【答案】 向上 直线 最低 小 增大
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：函数 的图象开口方向向上，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，图象有最低点，
函数有最小值，当 时，y随x的增大而增大，
故答案为：向上， ，直线 ，最低，小，增大．
3．如图，菱形 的边长为 ，点 在 轴的负半轴上，抛物线 过点 ．若 ，则
．【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点 作 轴交 轴于点 ，求出
点的坐标，代入即可求解，求出 点的坐标是解题的关键．
【详解】过点 作 轴交 轴于点 ，
∵菱形 的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
把 代入 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
类型三、y=ax²+k的图像与性质
【解惑】抛物线 的图象上有两点 、 ，则 、 的大小是（ ）A． B． C． D．无法判断
【答案】C
【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．根据题意求出 、
的值比较即可．
【详解】解：将 、 代入抛物线 ，
，
，
故选C．
【融会贯通】
1．如图，二次函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，牢记： ，图象开口向下 ，图象与y轴的交
点在 x轴的上方，是解题关键．
根据二次函数系数a可判定图象的开口方向，根据c可判定图象的顶点位置，可得答案．【详解】解：由二次函数 可知二次函数 的图象的对称轴为y轴，
，
∴图象开口向下，故A、B错误；
，图象的顶点在y轴的正半轴上，故C正确；
故选：C．
2．抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，当 为直角三角形时， 满足的
关系为： ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，理解 的性质是解题关键．先分别求得抛物线与坐标
轴的交点，然后根据等腰直角三角形的性质分析求解．
【详解】解：当 时， ，
∴抛物线与y轴交于点 ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，且a，c异号，
当 为直角三角形时，此时 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
3．已知抛物线 ，则当 时， 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小，然后把 的值代入进行计算即可得解．
【详解】解： ，
时， 随 的增大而减小，，
时， 的最大值 ；
当 时， 最小 ．
的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
类型四、y=a (x-h)²的图像与性质
【解惑】顶点为 且开口方向、形状与函数 的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线 中，
值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与
值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解： 抛物线的顶点为 ，且开口方向，形状与函数 的图象相同，
这个二次函数的解析式为 ．
故选：A．
【融会贯通】
1．对于函数 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是
C．最大值为0 D．交y轴于点
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质即可一一判断．【详解】解：对于函数 的图象，
∵ ，
∴开口向下，对称轴 ，顶点坐标为 ，函数有最大值0，
时， ，
交y轴于点 ，
故A、C、D正确，
故选：B．
2．已知二次函数 （h为常数），当自变量x满足 时，其对应函数y的最大值为 ，则
h的值为 ．
【答案】6或1
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当 时，y随x增大而增大，
当 时，y随x增大而减小，再分若 ，则当 时，y最大，若 ，则当 时，y最大，若
，则最大值为0，三种情况根据最大值为 进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数 （h为常数）当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小，
若 ，则当 时，y最大，即 ，解得 （舍去）， ；
若 ，则当 时，y最大，即 ，解得 ， （舍去）；
若 ，则最大值为0，与题意不符；
由上可得，h的值是6或1．
故答案为：6或1．
3．已知二次函数 （h为常数），当 时，函数y的最大值为 ，则h的值为 .
【答案】0或7/7或0
【分析】先判断出二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，当 时，y随x的增大而增
大，当 时，y随x的增大而减小，然后分h＜2， 和h＞5三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
∴若h＜2，则当 时，函数y取最大值，即 ，
解得： 或 （舍去），
若 ，则当 时，函数y取最大值0，不符合题意；
若h＞5，则当 时，函数y取最大值，即 ，
解得： （舍去）或 ，
综上，h的值为0或7，
故答案为：0或7．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题．
类型五、y=a (x-h)²+k的图像与性质
【解惑】与抛物线 关于直线 对称的图象的解析式是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，抛物线 的顶点坐标是 ，根据关于直线 对称
求出对称点是 ，即可写出函数解析式.
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
∵点 关于直线 的对称点是 ，
∴与抛物线 关于直线 对称的图象的解析式是 ，
故选：C
【融会贯通】1．对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与x轴没有交点
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由二次函数 得，该二次函数的图象开口向下，
对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，所以该二次函数与 轴没有交点．
【详解】解：由二次函数 得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标
为 ，故A、C不符合题意，B符合题意，
该二次函数与 轴没有交点，故D不符合题意，
故选：B．
2．把二次函数 的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为
，若 ，则 最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解
题的关键．
把函数 的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为
，从而可得 ， ，再代入 可得 ，由此
即可得到答案．
【详解】解：把函数 的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为
，
则 ， ，代入 得： ，
，
，
则 最小值是 ，
故答案为： ．
3．如图，已知 ， ， ，抛物线 过点C，顶点M位于第二象限且在线
段 的垂直平分线上，若该抛物线与线段 没有公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由
点 、 的坐标结合抛物线 的顶点 位于第一象限且在线段 的垂直平分线上，即可得
出 值以及 ，分点 在线段 下方及点 在线段 上方两种情况考虑抛物线与线段 无公共点，
当点 在线段 下方时，根据点 的坐标即可得出 ；当点 在线段 上方时，由抛物线过点
及当 时 值大于3，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 ，进而得解．
【详解】解： 抛物线 的顶点 位于第二象限且在线段 的垂直平分线上，且点 ，
，
， ．
抛物线与线段 无公共点分两种情况：
①当点 在线段 下方时，
点 的坐标为 ，
．
②当点 在线段 上方时，有 ，
解得： ．
综上所述： 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
类型六、y=ax²+bx+c的图像与性质
【解惑】二次函数 的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据表格中数据，可以求出抛物线
的对称轴，再根据对称性即可得到大小关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由表格可以得到：抛物线对称轴为直线 ，
∴点 与 关于对称轴 对称，
∴ ，
故选： ．
【融会贯通】
1．已知二次函数 的图像上有三点 ， ， ，则 、 、 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的对称性及增减性，属于基础题型，需牢固掌握．先根据函数解析式的表达
形式为顶点式，可知其对称轴为 ，图象开口向下；再根据在对称轴的右侧，y随x的增大而减小即可
判断．【详解】解：∵二次函数 ，
∴对称轴为 ，且 ，图象开口向下，
又∵点 ， ， 都在对称轴的右侧，
∴y随x的增大而减小，
故选：A ．
2．无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征先把解析式变形为 ，利用m有无数
个解得到 ，然后解出x和y，即可得到定点坐标．
【详解】解：
，
∵无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点
∴当 ，即 时，m可以任意实数，
此时 ，
即无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点 ．
故答案为：
3．已知二次函数 （其中x是自变量），当 时，y随x的增大而增大，且 时，
y的最小值为 ，则a的值为 ．
【答案】 /-0.2
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据抛物线对称轴为 ，结合二次函数的性质可得当时， ，再代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为 ，
∵当 时，y随x的增大而增大，且 时，y的最小值为 ，
∴当 时， ，
把 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
故答案为： ．
类型七、二次函数与x、y轴的交点
【解惑】抛物线 与x轴的两个交点分别为（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求
出一元二次方程 的两个根 ， ，即可得出抛物线 与x轴的两个交点 ，
．
【详解】解：令 ，
即 ，
解得一元二次方程的根为： ， ；
则抛物线 与x轴的两个交点分别为 和 ；
故答案选：A．
【融会贯通】1．如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，那么关于x的一元二次方程
的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对
称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次
函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函
数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：二次函数 图象的对称轴为直线 ，
∵图象与 轴的一个交点为 ，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴关于 的一元二次方程 的两实数根是
故选B．
2．已知二次函数 图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … －3 －4 －3 0 5 …
请根据上表直接写出方程 的解为 ．【答案】 ，
【分析】由表格信息可知，二次函数的对称轴为 ，当 时，函数值为零，根据函数的对称性，即可
求解．
【详解】解：据题意得，当 时， ；当 时， ，
∴对称轴为 ，
当 时， ，根据函数关于对称轴对称可知，
当 时， ，
∴方程 的解为 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程
是解题的关键．
3．如图是二次函数 的部分图象，其与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线
，则当 时， 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．根
据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛
物线的增减性可求当 时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
即抛物线与x轴的另一个交点横坐标为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
由图象可知，当 时，x的取值范围是 ．故答案为： ．
类型八、待定系数法求二次函数的解析式
【解惑】已知抛物线 的图象顶点为 ，且过 ，试求a、b．c的值．
【答案】 ， ，
【分析】由题意设出抛物线为 ，把 代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，
熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：由题意设抛物线为 ；
把 代入，得：
解得：
∴
∴ ， ，
【融会贯通】
1．已知二次函数 经过点 与 ．
(1)求b，c的值．
(2)求该二次函数图象的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c
的值；
（2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标．
【详解】（1）解：将 代入二次函数解析式得： ，解得： ；
（2）二次函数解析式为 ，
则顶点坐标为 ．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题
的关键．
2．如图，已知抛物线 与直线 的一个交点 在 轴上、另一交点为点 ，直线
与 轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直接写出 时 的取值范围；
(3)点 是抛物线上 之间的一点，连接 ，当 面积最小时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) ．
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；；
（ ）求出 ， ，观察图象即可求解；
（ ）设 ，求出 ， ，由 ，即可求出 的最小值及 ；
此题考查了二次函数的图象及性质，正确掌握抛物线的图象及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，
∴ ，
把 代入抛物 得： ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解： 得： 或 ，
∴ ， ，
由图象可得， 时 的取值范围是 或 ；
（3）由点 是抛物线上 之间的一点，设 ，其中 ，
在 中，令 得 ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴直线 交 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴当 时， 取最小值 ；
此时 ；
∴当 面积最小时，点 的坐标为 ．
3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，抛物线经过 、
两点，且对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果点 是这抛物线上位于 轴下方的一点，且△ 的面积是 ．求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，图形与坐标的性质等知识．
（1）根据直线方程求得点A、B的坐标；然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式，通过方程组来求系
数b、c的值；
（2）如图，过Q点作 轴并延长交直线 于C．设点 ， ，则．由 得到： ，则易求m的值．注意点Q位于第四象
限．
【详解】（1）解：把 代入 得， ；
把 代入 得， ；
∴ ， ，
将A、B两点的坐标代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）过Q点作 轴于点D，并延长交直线 于C
设点Q )，C ，
，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴Q (舍去)，Q ．
【一览众山小】
1．函数 和函数 （ 是常数，且 ）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，关键是 的正负的确定，对于二次函数
，当 时，开口向上；当 时，开口向下．对称轴为 ，与y轴的交点坐标为
．
【详解】A．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，与图象不符，故A选
项错误；
B．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，对称轴为 ，则
对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向下，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，对称轴为 ，则
对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数顶点的求法，将二次函数 化为顶点式 的形式，
顶点为 ，据此接可求解；掌握求法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
顶点为 ，
故选：B．
3．将抛物线 向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线 向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线
解析式为 ．
故选：D4．函数 图象的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】解：函数 图象的顶点坐标为 ，
故答案为：
5．如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与 的图象重合，那么这个二次
函数的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变形的性质是解答此题的关键．
先设原抛物线的解析式为 ，再根据经过平移后能与抛物线 重合可知 ，即可得出
这个二次函数的解析式是 ．
【详解】解：先设原抛物线的解析式为 ，
经过平移后能与 的图象重合，
，
这个二次函数的解析式可以是 ．
故答案为： ．
6．若二次函数 （a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式 的解
集为 ．【答案】 或 / 或
【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即
可．
【详解】解：由图象可知，当时， ．
故答案为： 或 ．
7．抛物线 经过 ， ， 三点，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三
个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：将 ， ， 代入抛物线 中得：
，
解方程组得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
8．已知二次函数 的图象如图所示．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)根据图象回答：当 时， 的取值范围；
(3)当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设抛物线解析式为 ，再代入 ，解出 ，即可作答．
（2）运用数形结合思想，即可作答．
（3）先化为顶点式得 ，结合 ，得出 的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ．
（2）解：依题意，结合图象，当 或 时， ．
（3）解：∵二次函数解析式为 ．
∴ ，
∴当 时，y有最小值 ；
当 时， ；
当 时，y的取值范围为 ．
