文档内容
23.2&23.3中心对称 图案设计
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或
中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．
技巧：轴对称与中心对称的区别
轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的
连线被对称轴垂直平分．
中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的
连线被对称中心平分．知识点二．关于中心对称的图形的性质
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；
（3）关于中心对称的两个图形是全等图形．
技巧：．确定对称中心的方法
（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心．
（2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．
知识点三．利用尺规作关于中心对称的图形
这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各
个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来．
知识点四．中点对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图
形，这个点就是对称中心．
知识点四．关于原点对称的点的坐标特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）．
知识点五．图案设计
图案的设计与日常生活息息相关，通常是利用基本图形的变换来完成设计工作．图形之间基本变换关系有轴对
称、平移、旋转这三种基本形式，也有很多图形的形成是经过 n次变换复合而成的，其复合形式灵活多样，我
们可以根据各自的审美情趣，创造出各种各样的图案．
技巧：利用基本图案进行组合设计
几个基本图案组合在一起，可能形成一个复合型图案，我们还可以进行多次变换，设计出较大型美丽图案．
【题型探究】
题型一：中心对称的判断
【例1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）下列各组图形中， 和 成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称 是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形
重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中
心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键．
【详解】解：由题意， 和 成中心对称，如图所示：故选：D．
【变式1】．（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关
键．
【详解】解：A、绕点 旋转 后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意；
B、绕点 旋转 后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
C、绕点 旋转 后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
D、绕点 旋转 后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
故选：A．
【变式2】．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形 是正方形， ， ， ， 分别为各边的中
点， 与 交于点 ，下列三角形中，与 成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案．
【详解】解：∵ 绕点O旋转 后与 重合，
∴与 成中心对称的是 ．
故选：A．
题型二：画中心对称图形
【例2】．（25-26九年级上·北京海淀·期中）已知，如图四边形 与点 ．
求作：四边形 ，使得四边形 与四边形 关于点 成中心对称图形．【答案】详见解析
【分析】本题考查作图 中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称变换的性质分别作出
的对应点 ，顺次连接即可．
【详解】解：如图，四边形 即为所求．
【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别为
、 、 ．
(1)画 关于原点成中心对称的 ；
(2)求 的面积；
(3)若点 在第二象限，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，则 的坐标为_____．
【答案】(1)见解析(2)
(3) ，
【分析】（1）分别作点 、 、 关于原点成中心对称的点 、 、 ，并依次连接即可；
（2）利用分割法求三角形面积即可；
（3）根据平行四边形的性质，利用平移法即可解决问题；
本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质，熟练掌握平移或旋转前后点的坐标的变化关系是解题的
关键．
【详解】（1）解：如图，
（2）
（3）①四边形 是平行四边形时， ， ，
根据平移的性质把 向左移3个单位，再向上移1个单位，就可得到 ．
因此将 向左移3个单位，再向上移1个单位，即可得到 ．
②四边形 是平行四边形时， ， ，
根据平移的性质把 向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到 ．
因此将 向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到 ．
③四边形 是平行四边形时， ， ，
根据平移的性质把 向右移2个单位，再向下移3个单位，就可得到 ．因此将 向右移2个单位，再向下移3个单位，即可得到 ，此时 在 轴上，不符合题意，舍去．
综上，满足条件的 点的坐标为 ， ．
故答案为 ， ．
【变式2】．（25-26九年级上·广东·期中）在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ，
．
(1)画出 关于原点 O 成中心对称的 ；
(2)画出将 绕点 O 顺时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，
【分析】本题考查的是画中心对称图形，画旋转图形．
（1）分别确定 关于原点 O 对称的 ，再顺次连接即可．
（2）分别确定 绕点 O 顺时针旋转 后得到的对称点 ，再顺次连接，再根据 的位置可得其坐
标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．（2）解：如图， 即为所求，
∴ ．
题型三、中心对称的性质求解
【例3】．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ，对角线 ，且 ，点P
是边 上的一点（点P不与点B重合），作点A关于点P的对称点M，作点B关于点P的对称点N，连结
，
(1) 的面积为______．
(2)求证：四边形 是平行四边形．
(3)当四边形 为菱形时，求线段 的长．
(4)当四边形 为矩形时，连结 ， 的面积为______．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) ；(4) ．
【分析】（1）根据勾股定理求出 的长度，再根据平行四边形面积公式即可求解；
（2）根据对称的性质得到 ， ，即可得出结论；
（3）由菱形的性质得到 ，再根据三角形面积公式即可求解；
（4）当四边形 为矩形时，点 与点 重合，此时点 在一条直线上， D为直角三角形，根
据矩形和平行四边形的性质求出 和 的长度，再利用三角形面积公式计算面积．
【详解】（1）解： ， ，
，
的面积 ，
故答案为： ；
（2）证明：∵点 ，点 关于点 的对称，
，
∵点 ，点 关于点 的对称，
，
∴四边形 是平行四边形；
（3）解：∵四边形 为菱形，
， ，
在 中，
，
，
，
；
（4）解：当四边形 为矩形时，点 与点 重合，如图：∴点 在一条直线上，
为直角三角形，
∵四边形 为矩形，
， ，
∵四边形 为平行四边形，
，
，
的面积 ，
故答案为： ．
【变式1】．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，四边形 为菱形，对角线交于点E， 与
关于B点中心对称，已知 ，则 的长为 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了菱形的性质，中心对称图形的性质，勾股定理．根据菱形的性质，可得
，再结合中心对称图形的性质，可得 的长，然后根据勾股定理
解答即可．
【详解】解：∵四边形 为菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 关于B点中心对称，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：13
【变式2】．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在 中， ， 是 上一点， 和
关于点 对称，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，求四边形 是菱形时 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
（1）由中心对称的性质证明 ， 即可证明；
（2）利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出 ，利用勾股定理求 即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 关于点 对称，
， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 ，∵ 和 关于点 对称，四边形 是平行四边形；
∴ 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型四、判断中心对称图形
【例4】．（25-26九年级上·全国·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下
列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.熟知二者的定义是解题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．
【变式1】．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据轴对称图形的意义，中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作判断．
【详解】
解： 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合；
不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合；
既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故选：C．
【变式2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转
，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一
个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．题型五、中心对称图形的对称中心
【例五】．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，若 与 关于点E成中心
对称，则对称中心点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称的性质：中心对称图形的对应点的连线段被对称中心所平分；根据此性质，对应点
的中点即为点E，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】解：由图知， ，其中点坐标为 ，
即点E的坐标为 ；
故选：A．
【变式1】．（2023·北京大兴·一模）如图，在正方形网格中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是网
格线交点，若 与 中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，根据A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是 的
网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是 的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M．
【详解】解：如图，相交于点M，
∴点M是 与 对称中心，
故选：A．
【变式2】．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 若 与 关于E点成中
心对称， 则对称中心E点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，根据中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心所
在的位置，得到点E即为 的中点，根据两点中点坐标公式即可得到答案．
【详解】解：∵中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心所在的位置，
∴点E即为 的中点，
∵ ，
∴ ，
故选A
题型六：中心对称图形的规律问题
【例6】．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， ， ， ， ……都是平
行四边形的顶点，点 ， ， ……在 轴正半轴上， ， ， ， ， ，， ……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第 个平行四边形的对称中心坐标为 ，即可
求解．
【详解】解：如图所示，作 轴于点 ，
， ，
，
，
， 重合，
，
则 的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为 ；
同理可得： ， ， ，
则 的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为 ；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是 ；
同理可得：第 个平行四边形的对称中心的坐标是 ；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是 ，即 ， ， ，故选：D．
【变式1】．（2025·河南周口·一模）如图，正方形 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵
爽弦图”．以顶点 为原点、 边所在直线为 轴建立平面直角坐标系，已知点 ，将正方形 绕点
顺时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转结束后，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 的坐标为 ，则 ，因为 是直角三角形，根据勾股定理可得
，解方程求出 的值，即可求出正方形的边长，从而可得点 的坐标，根据旋转的性
质可知正方形 绕点 顺时针旋转 次，到达的位置与点 的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质
即可得到第 次旋转结束后，点 的坐标．
【详解】解：设点 的坐标为 ，则 ，
点 的坐标为 ，
， ，
是直角三角形，
，
，
解得： ，
正方形 的边长为 ，点 的坐标是 ，
正方形 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，
又 ，
正方形 绕点 顺时针旋转 次回到出发点，
，
正方形 绕点 顺时针旋转 次，到达的位置与点 的位置关于原点中心对称，
将正方形 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转结束后点 的坐标为
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股
定理求出点 的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转 次后点 到达的位置的坐标．
【变式2】．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别为 ，
， ．一个电动玩具从原点 出发，第一次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第二次
跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第三次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；
第四次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点 的坐标是
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后 、 、 、 、 、 、
的坐标，可得出规律，继而可求点 的坐标．【详解】解：由题意得：点 、 、 、 、 、 、 ，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵ ，
∴点 的坐标是 ．
故选：B．
题型七、关于原点对称的点的坐标问题
【例7】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 关于坐标原点的对称点 的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键．
根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可．
【详解】解：∵点 关于坐标原点的对称点是点 ，
∴点 的坐标为 ，
故选A．
【变式1】．（25-26九年级上·西藏日喀则·期中）已知点 与 是关于原点的对称点，则 的值
是（ ）
A．8 B． C． D．11
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相
反数．
根据关于原点对称的点的坐标特征，分别求出 和 的值，再计算 ．
【详解】解：因为关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点 与 关于原点对称，所以 ，
．
则 ．
故选：C．
【变式2】．（25-26九年级上·重庆忠县·阶段练习）已知点 和 关于原点对称，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2025
【答案】B
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进而求出 的值，再根据有
理数的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：由题意 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
题型八、图案设计
【例8】．（25-26九年级上·全国）如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（ ）
A．旋转 B．轴对称 C．轴对称和旋转 D．平移
【答案】D
【分析】本题主要考查了几何变换的类型，熟知旋转、轴对称、平移的定义和性质是解题的关键．
观察时紧扣图形变换特点，认真判断即可．
【详解】解：平移是沿直线移动一定距离得到新图形，
旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，
轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．
观察图形结合上述知识可知，该图案不包含的变换是平移．
故选：D
【变式1】．（25-26九年级上·全国）下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示的图
案的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换作图的知识，掌握各种图形变换是解题的关键．
根据平移、旋转和轴对称变换的定义和性质，逐一分析每个选项即可．
【详解】解：A、经过平移即可得出原图；
B、经过一次平移，再绕顶点顺时针旋转 ，逆时针旋转 即可得出原图案；
C、经过平移、旋转或轴对称变换后，都不能得到原图形；
D、绕顶点旋转 即可得出该图案．
故选：C
【变式2】．（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另
一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键．
根据图形变换，数形结合分析即可判定．
【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称
轴 折叠，再沿着对称轴 折叠可以与另一条“鱼”重合，
∴经过①③的变换即可，故选：A ．
题型九：中心对称综合问题
【例9】．（25-26九年级上·重庆）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图
所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上．
(1)画出将 绕原点顺时针旋转 得到的 ．
(2)画出 关于原点成中心对称的 ，并直接写出点 的坐标．
(3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以 ， ，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出
所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或 或 或 或 或 或
或 或 ．
【详解】（1）解：如图， 为所求；（2）解：如图， 为所求，
的坐标为 ；
（3）解：由（2）图可得 ， ．
．
当点 在 轴上时，设 ，
若 ，则 ，
解得 ，即 ．
若 ，则 ，
解得 ．即 或 ．
若 ，则 ，
两边平方得 ，
即 ，解得 或 ，即 或 ．当点 在 轴上时，设 ：
若 ，则 ，
解得 ，即 ．
若 ，则 ，
解得 或 ，即 或 ．
若 ，则 ，
解得 ．即 或 ．
综上，点P的坐标为 或 或 或 或 或 或
或 或 ．
【变式1】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ，
．
(1)请你画出 向左平移5个单位长度后得到的 ；
(2)请你画出 关于原点对称的 ；
(3)在x轴上求作一点P，使 的周长最小，此时点P的坐标为______．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．（2）解：如图， 即为所求．
（3）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，连接 ，
此时 ，为最小值，
∴ 最小，
即 的周长最小，
则点 即为所求．
由图可知，点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【变式2】．（22-23九年级上·全国·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建
立如图所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上．
(1) 的面积为 ；
(2)将 向右平移6个单位长度得到 ，请画出 ；
(3)画出 关于点O的中心对称图形 ；
(4)若将 绕某一点旋转可得到 ，旋转中心的坐标为 ．【详解】（1）解： ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：如图， 即为所求；
（4）解：根据图形可知：对应点的连线交于点 ∴旋转中心的坐标为：
故答案为： ．
【高分演练】
一、单选题
1．（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M 与点N 关于原点对称，则 的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点
对称时，它们的坐标符号相反，即点P 关于原点O的对称点是 ，进而求出即可．
【详解】解：∵点M 与点N 关于原点对称，
∴ ， ，故 ．
故选：C．
2．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．
根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可．
【详解】解：A、变换方式是平移，不符合题意；
B、变换方式是旋转，符合题意；
C、变换方式是轴对称，不符合题意，
D、变换方式不是旋转，不符合题意．
故选：B．
3．（23-24九年级上·广西梧州·期末）下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形与旋转对称图形的识别，掌握这两个概念是解题的关键；根据轴对称图形与旋转
对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、只能利用轴对称得到图形，不能利用旋转得到图形，故不符合题意；
B、不能利用轴对称得到图形，只能利用旋转得到图形，故不符合题意；
C、不能利用轴对称得到图形，能利用旋转得到图形，故不符合题意；
D、能利用轴对称得到图形，又能利用旋转得到图形，故符合题意；
故选：D．
4．（24-25九年级上·安徽淮北·自主招生）能用来证明勾股定理的“赵爽弦图”曾作为2002年在我国举行的第24
届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题
的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】
解： 是中心对称图形，但不是轴对称图形．
故选：B
5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知 和 关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质．
根据中心对称的性质进行求解即可．
【详解】解：∵ 和 关于点O成中心对称，
∴ ，
∴ ，故选项A，C正确，
根据对顶角相等得 ，
故选项B正确．
故选：D．
6．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）若点 和点 关于原点对称，则 的值为
（ ）
A．1 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，求代数式的值，熟练掌握关于原点对称的点横、纵坐标都互为相
反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征，分别列出关于 的方程，求出 的值即可求解．
【详解】解：∵点 和点 关于原点对称，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
故选：A．
7．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图， 与 关于点 成中心对称，已知 ， ，
，则 （ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据 与 关于点O成中心对称，推出
， ，得到 ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 与 关于点O成中心对称，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故选：D．
8．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，正方形 和正方形 的对称中心都是点O，其边长分别是4
和3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接 ，根据
中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一．
【详解】解：连接 ， ，
∵正方形 的边长为4和正方形 的边长为3，
∴正方形 的面积为16，正方形 的面积为9，
∵正方形 和正方形 的对称中心都是点 ，
∴ ．
故选B．
9．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示， 与 关于点 成中心对称，则下列结论成立的是
（ ）①点 与点 关于点 对称；② ；③ ；④ ．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得
，点 与点 关于点 对称， ，即可求解．
【详解】解： 与 关于点 成中心对称，
，点 与点 关于点 对称， ，
①②③正确，④错误，
故选：A
10．（23-24九年级上·广西玉林·期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面
上取定一点 称为极点：从点 出发引一条射线 称为极轴；线段 的长度称为极径．点 的极坐标就可以用
线段 的长度以及从 转动到 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如 或
或 ，则点 关于点 成中心对称的点 的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质解答即可，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质．
【详解】解： 或 或 ，
点 关于点 成中心对称的点 的极坐标表示为： 或 或 ，
故选：B．
11．（23-24九年级上·吉林·期中）如图， 是等腰三角形 的底边的中线， ， ， 与
关于点C成中心对称，连接 ，则 的长是（ ）A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质得出 ， ，根据中心对称的性质得出 ， ，然后利用勾股
定理求解即可．
【详解】解：∵ 是等腰三角形 的底边的中线， ，
∴ ， ，
∵ 与 关于点C中心对称， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
二、填空题
12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计
的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正
确的是 （填序号）．
【答案】③④
【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质以及旋转图形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.
利用轴对称图形的性质以及旋转的性质分别分析得出答案即可.
【详解】根据图形的特殊性可以得出，内层图案是按轴对称设计的，外层图案是按旋转设计的，说法①②错误，
说法③④正确．
故答案为：③④.
13．（25-26九年级上·陕西·期中）如图为某桥梁模型的示意图，其中 与 关于点 成中心对称，点 、
分别是 、 的中点，横梁 的长度为 ，则模型中的主承重钢梁 的长是 ．【答案】
【分析】本题考查了中心对称以及三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解答本题的关键．根据三角
形的中位线定理可得 ，再根据中心对称的性质可得 ，即可得解．
【详解】解： 点 、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
，
与 关于点 成中心对称，
．
故答案为： ．
14．（25-26九年级上·四川·阶段练习）已知点 和 关于原点对称，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质．
根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可．
【详解】解： 点 和 关于原点对称，
， ，
， ，
．
故答案为： ．
15．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图是由边长为 的小正方形组成的 网格，点 ， ， ， ， ，
， 均在格点上，下列结论： 点 与点 关于点 中心对称； 连接 ， ， ，则 平分
； 连接 ，则点 ， 到线段 的距离相等．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关键是根据描述，正确地画图，熟练掌握相关知识点．根据描述，作图，逐一进行判断即可；
【详解】解：①如图：
点 与点 关于点 中心对称；故①正确；
②如图：
由图可知： ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ 经过 的中点，
∴ 平分 ，故②正确；
③如图， 点到 的距离为 ， 点到 的距离为 ，
∴ ，
∴点 ， 到线段 的距离相等，故③正确；
综上，正确的有①②③；
故答案为：①②③．
16．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，直线 ， 垂直相交于点 ，曲线 关于点 成中心对称，点 的
对称点是点 ， 于点 ， 于点 ．若 ， ，则阴影部分的面积之和为 。【答案】
【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点 作 于点 ，过点 作 于
点 ，证明四边形 是矩形，则 ，同理可知，四边形 是矩形，则 ，由中心对
称，得到 ， ，图形①与图形②面积相等，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ 于点 ．
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
同理可知，四边形 是矩形，
∴ ，
∵曲线 关于点 成中心对称，点 的对称点是点 ，，
∴ ， ，图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和=长方形 的面积 ．
故答案为： ．
17．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如果两个二次函数 与 的图象的形
状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数
的梦函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，关于原点对称的点的特征，先得出 的顶点坐标为 ，再结合关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行分析，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴这个二次函数的顶点坐标为 ，
则 关于原点对称的点为
∴二次函数 的梦函数解析式为 ，
故答案为：
三、解答题
18．（2018·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
．
(1)将 以点 为旋转中心顺时针旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)画出 关于点 的中心对称图形 ；
(3)在 轴上有一点 ，使得 的值最小，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质，将 三个顶点以点 为旋转中心顺时针旋转 ，连接旋转后的三个点作图即可画出旋转后对应的 ；
（2）根据旋转的性质，将 三个顶点以点 为旋转中心顺时针旋转 ，连接旋转后的三个点作图即可画出
旋转后对应的 ；
（3）取点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，由动点最值问题-将军饮马模型可得，点 即为所求，
从而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：取点 关于 轴的对称点 ，连接 ，连接 交 轴于点 ，连接 ，如图所示：由对称性可知， ，则 ，
即当点 三点共线时， 值最小，为线段 ，
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、作图-中心对称、轴对称﹣最短路线问题、动点最值问题-将军饮马模型、三角
形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、将军饮马模型解法是解答本题的关键．
19．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， 的顶
点均在格点上．
(1)将 向右平移4个单位长度得到 ，画出 ，点 的坐标是_____；
(2)画出将 关于点 的中心对称图形 ，点 的坐标是_____；
(3)我们发现点 、 关于某点中心对称；对称中心的坐标是_____．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，(3)
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（3）连接 ，取线段 的中点 ，则点 、 关于点 中心对称，即可得出答案．
本题考查作图 旋转变换、作图 平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
由图可得，点 的坐标是 ．
故答案为： ．
（2）解：如图， 即为所求．
由图可得，点 的坐标是 ．
故答案为： ．
（3）解：连接 ，取线段 的中点 ，
则点 、 关于点 中心对称，
对称中心的坐标是 ．
故答案为： ．
20．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中， 顶点的坐标分别是 ，， ．
(1)把 向右平移4个单位长度后得到对应的 ，请画出平移后的 ；
(2)把 绕原点O旋转 后得到对应的 ，请画出旋转后的 ；
(3)观察图形可知， 与 关于点________中心对称．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平移(作图)， 画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，解题关键是掌握上述知识点并
能运用求解．
（1）把 向右平移4个单位长度得到 ；
（2）分别找出 关于原点的对称点，得到 ；
（3）分别连结 与 ， 与 ， 与 ，它们都相交于同一点 ，由此可得出结论．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；（2）如图， 即为所求；
（3）观察图形可知， 与 关于点 中心对称，
故答案为： ．
21．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标
系， 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出 向左平移4个单位长度后得到的 ，并写出点 的坐标；
(2)作出 关于原点 对称的 ，并写出点 的坐标； 可看作 以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________ 得到的．
(3)已知 关于直线 对称的 的顶点 的坐标为 ，请直接写出直线 的函数解析式．
【详解】（1）解：如图 即为所求，
此时， ；
（2）解：如图， 即为所求，
此时， ，
可看作 以点 为旋转中心，旋转 得到的，
故答案为： ， ，180；
（3）解：如图所示，因为A的坐标为 ， 的坐标为 ，则线段 的中点坐标为 ，
所以直线必过点 ，且直线 垂直平分线段 ，
∵ 可以看作 的正方形的对角线，
∴直线 经过点 ，假设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， 解得
所以直线 的解析式为 ．
22．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是点 ，
， ．
(1)请画出将 绕点 旋转180°得到的 ，并写出点 的坐标；(2)将 沿着某个方向平移一定的距离后得到 ，已知点 的对应点 的坐标为 ，此时 与
恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)画图见解析， 的坐标
(2)
【分析】本题考查坐标与图形的旋转和平移，对称中心．
（1）根据旋转的性质得出点的对应点 ， ， ，连线即可；
（2）根据已知可得对应点的中点坐标，即为对称中心的坐标．
【详解】（1）解：作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称点 ，点 与点 重合，连接 ， ，
，即可得 ， ，
如图， 为所求，点 的坐标为
（2）解：∵点 的对应点 的坐标为 ， ， ，
∴将 向下平移 个单位长度得到 ，
设 与 恰好关于点 成中心对称，则点 为 的中点，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴这个对称中心的坐标为 ．
故答案为： ．
23．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对于平面直角坐标系 内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕
原点O顺时针旋转 得到点 ，点 落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点
．
(1)在点 ， ， 中，点________是线段 关于原点O的“伴随点”；
(2)如果点 是 关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；(3)已知抛物线 ，其关于原点对称的抛物线上存在两个 关于原点O的“伴随点”，直接写出n
的取值范围．
【答案】(1) 和
(2)
(3)
【分析】本题考查旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解
并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．
（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，证明 ，求出 的坐标，再求出点
在线段 上和在线段 上时， 的值，即可得出结论；
（3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将 绕点O逆时针
旋转 得到 ，根据抛物线上存在 关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点 时n有最大值，
当抛物线过点 时n有最小值，即可得解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
轴，
如图所示，点 ， ， 绕点O顺时针旋转 得到的对应点分别为： ，
其中点 ，在线段 上，
∴ 和 是线段 关于原点O的“伴随点”，
故答案为： 和 ；
（2）解： ，在第一象限，
∵点 是 关于原点O的“伴随点”，
∴点 在第二象限，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
则： ，
绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴ ，当 在 上时，m值最大，即 ，解得： ，
当 在 上时，m值最小，即 ，解得： ，
∴ ；
（3）解：∵抛物线的解析式为 ，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为 ，
如图， 绕点O逆时针旋转 得到 ，其中 ，
∵抛物线上存在 关于原点O的“伴随点”，
∴当 过 时，n的值最大，
把 代入得 ，
解得： ，
n的最大值为 ，
当 过 时，n的值最小，
把 代入得 ，
解得： ，
n的最小值为 ．
∴ ．
