文档内容
22.2 二次函数与一元二次方程
【考点归纳】
考点一、抛物线与x轴或y轴的交点左边
考点二、已知二次函数的值求自变量或代数的值
考点三、图像法确定一元二次方程根的近似解
考点四、图解法解一元二次不等式
考点五、由不等式求自变量或函数值的范围
考点六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根
考点七：截线长问题
考点八、二次函数与一元二次方程的综合
【知识梳理】
知识点 二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
b2-4ac 的根的情况
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x ，0），（x ，0）两 有两个不相等的实数根x ，x
b2-4ac>0 1 2 1 2
点
b2-4ac=0
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（ ， 有两个相等的实数根x =x =
1 2
0）
b2-4ac<0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点 在实数范围内无解
【题型探究】
题型一、抛物线与x轴或y轴的交点左边
1．（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线 （其中a为常数）的对称轴为直线 ，与
轴交于 两点，则 的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024·广东广州·二模）已知二次函数 （a为常数）的图象经过 和 两点，
则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）抛物线 与 轴的一个交点坐标是 ，那么它与
轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型二、已知二次函数的值求自变量或代数的值
4．（2023九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线 经过点 ，则代数式 的值为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （a为常数）．
（1）当抛物线经过 时， ．
（2）当 时， 时， ，则m的取值范围是 ．
题型三、图像法确定一元二次方程根的近似解
7．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知二次函数y=ax2+bx+c（ ， ， ， 为常数）的 与 的部分对
应值如下表：
判断方程ax2+bx+c=0的一个解 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数 中 ， 的一些对应值，则一元二次方程
的一个近似解（精确到 ）为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …y … 0.25 0.76 …
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝
试：在直角坐标系中作出二次函数 的图象．由图象可知，方程 有两个根，一个在
和 之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
0.56
A． B． C． D．
题型四、图解法解一元二次不等式
10．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数 和一次函数 的图象，观察图象，
当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
11．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式
的解集是（ ）A． B．
C． 且 D． 或
12．（2023·四川绵阳·一模）二次函数 与一次函数 的图像如图所示，则满足
的 的取值范围为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
题型五、由不等式求自变量或函数值的范围
13．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数 （a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，
都有 ，且当 时，有 成立，又 时， ，则b的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．0
14．（2024·山东济南·模拟预测）对于一个函数，如果自变量 取 时，函数值 也等于 ，那么我们称 为这个
函数的不动点．如果二次函数 有两个相异的不动点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数 中两个变量 与 的 组对应值，
其中 ，… …
… …
根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根
16．（22-23九年级上·广西百色·期末）已知二次函数 的部分图像如图所示，若关于 的一元二次方
程 的一个解为 ，则另一个解是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．关于x的一元二次方程 的根是 ，
C． D．18．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知二次函数 的部分图象如图所示，图象经过点(0,2)，其
对称轴为直线 ．下列结论中正确的有（ ）个．
①
②若点 ， 均在二次函数图象上，则
③关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根
④满足 的x的取值范围为
A．1 B．2 C．3 D．4
题型七：截线长问题
19．（23-24九年级上·安徽合肥）已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点．若 ，
则 ．
20．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，抛物线 （其中 为常数）的对称轴为直线 ，与x
轴交于点 ，点 ，则AB的长度为 ．
21．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知关于 的方程 的两个根分别是 ，若点 是
二次函数 的图象与 轴的交点，过 作 轴交抛物线于另一交点 ，则 的长为 ．题型八、二次函数与一元二次方程的综合
22．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线 与直线 交于点A和点B，直线 与y轴交于
点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式 的解集．
(3)若关于x的方程 在 的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．
23．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求该抛物线的对称轴，以及点A的对称点B的坐标．
(2)若该抛物线与x轴交于 和 两点（其中 ．
①若 ，求a的值；
②若 ，求a的取值范围．
24．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数 经过点 和点C(0,-3)，(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数 经过B、C两点，直接写出不等式 的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求 的面积．
【高分演练】
一、单选题
25．（24-25九年级上·广西南宁）如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x
的取值范围是（ ）A． B． C． D． 或
26．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二
次方程 的一个解的范围是（ ）
x
A． B． C． D．
27．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知 为实数，抛物线 与 轴的交点情况是（ ）
A．没有交点 B．只有一个交点
C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点
28．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数 的图像与 轴的一个交点坐标为 ，那
么关于 的一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
29．（2024·河南商丘·模拟预测）抛物线 的对称轴为直线 ，部分图像如图所示，下列判断中：
① ；②方程 的两个根是 ， ；③当 时，y的值随x增大而增大；其中正确的判
断是（ ）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
30．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相
交于点 和 ，则使不等式 成立的 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
31．（2024·四川乐山·模拟预测）设 ，二次函数 的图象为下列四种情形之一：
九年级（2）班数学兴趣小组在研究此题时，给出了四个结论：① ；②二次函数y的最小值为 ；③
时，y随x的增大而增大；④当 时，关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确
的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
32．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点B(4,0)，直线 与抛物线交于A，B两点，下列结论：① ；
② ；③方程 有两个相等的实数根；④ ；⑤当 时，有 其中正确的有个
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
33．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程 有两个实数根 ， ，则二次函
数 的对称轴是直线 ．
34．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，是二次函数 图象的一部分，其对称轴为直线
，若与 轴的其中一个交点为 ，则由图象可知，与 轴的另一个交点坐标是 ．
35．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）若抛物线 与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是
．
36．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数 的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对
应值如表：
x … -2 0 1 2 3 …
y … 0 -2 -2 0 …
有如下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线 ；③抛物线与y轴的交点坐标为 ；④由抛物线可知
的解集是 ．其中正确的是 ．
37．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线 （a，b，c是常数）， ，下列三个结论：
①若抛物线经过点 ，则 ；
②若 ，则方程 一定有根 ；
③抛物线与 轴一定有两个不同的公共点．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题
38．（24-25九年级上·湖北武汉·开学考试）如图，抛物线 经过点 ，与坐标轴分别交于B，
C，D三点．
(1)求B，C，D三点的坐标；
(2)当 时，则函数y的取值范围是________．
(3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式．
39．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 （b、c为
常数）与x轴交于A， 两点，与y轴交于点 ，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)将此抛物线上P、C两点之间的部分（包括P、C两点）记为图象G．图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6
时，求m的值．40．（2024·吉林白城·模拟预测）如图、在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．点A在抛
物线上，点A的横坐标为m．点C的坐标为 ，以 为对角线作矩形 ，使 轴．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求抛物线与y轴的交点坐标；
(3)当 时，求抛物线在矩形 内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差；
(4)当抛物线与矩形 的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出m的取值范围．
41．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：
（1）若二次函数 （m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数 的图象有两个公共点，则m的取
值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数 的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数 的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个公共点，求m的取值范围．42．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与
轴交于点 ，抛物线的顶点为 ．
(1)求 的面积；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
