文档文本内容
22.1．4 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
【考点归纳】
考点一、把一般式化成顶点式
考点二、二次函数的平移问题
考点三、待定系数法求二次函数解析式
考点四、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
考点五、根据二次函数的图像判断系数符号
考点六、一次函数、二次函数的图像综合问题
考点七、根据二次函数的对称性求函数值
考点八、利用二次函数的对称性求最短路径
考点九、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质综合问题
【知识梳理】
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标
（ ， ） （ ， ）
对称轴
x= x=
x> 时，y 随 x 的增大而增 x> 时，y 随 x 的增大而减
增减性 大； 小；
x< 时，y随x的增大而减小 x< 时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x= 时，y = 当x= 时，y =
最小值 最大值
知识点二 二次函数的三种解析式
b
⑴一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）. 对称轴x ，顶点坐标（ ， ）.
2a
⑵顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）. 对称轴x= h，顶点坐标（h，k）.
x x ax x 2
⑶交点式：y=a（x-x 1 ）（x-x 2 ）. 对称轴x
x
1
x
2 ，顶点坐标
1
2
2， 2
2
1
.
2
知识点三 二次函数的平移问题解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）
分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0
由y=ax2向左平移| 由y=ax2向左平移| 由y=ax2向右平移| 由y=ax2向右平移|
变换过程 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平
移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位
左加右减，上加下减
总结
【题型探究】
题型一、把一般式化成顶点式
1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
运用配方法即可将其化为顶点式．
【详解】解：
故选：C．
2．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是把二次函数的一般式化为顶点式并写出顶点坐标，熟记二次函数的顶点式与顶点坐标是解
本题的关键．
先把二次函数 通过配方转化为顶点式 ，再写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵ ，
∴顶点坐标是： ．故选：B．
3．（23-24九年级上·北京顺义·期末）将二次函数 化为 的形式，则所得表达式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了将二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的
方法和步骤，以及完全平方公式．
【详解】解： ，
故选：B．
题型二、二次函数的平移问题
4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨）通过平移 的图象，可得到 的图象，下列平移方法正确的
是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动2个单位B．向右移动1个单位，向上移动2个单位
C．向左移动1个单位，向下移动2个单位D．向右移动1个单位，向下移动2个单位
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．根据平
移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ．
抛物线 的顶点坐标是 ．
则由二次函数 的图象向左移动1个单位，向下移动2个单位，可得到 的图象．
故选：C
5．（2024·广东河源·一模）将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(
)
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 向左平移1个单位所得直线解析式为： ；
再向下平移3个单位为： ，即 ．
故选：D．
6．（2024·山西朔州·二模）将二次函数 的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
后得到的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础题．
根据函数图象平移变换原则可得平移后的二次函数解析式，进而得到顶点坐标．
【详解】解：将 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度可得：
，
则平移后的二次函数图象的顶点为 ．
故选：B．
题型三、待定系数法求二次函数解析式
7．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像过点 ， 两点，对称轴为直线 ，这个二次函
数的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式， 利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的另一个交点为
，则可设交点式 ，然后把 代入求出 的值即可．解题的关键是掌握：在利用待定系
数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，
当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴
时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴的一个交点为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，设抛物线解析式为 ，过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，即 ．
故答案为： ．
8．（21-22八年级下·浙江金华·期末）求分别满足下列条件的二次函数解析式：
(1)二次函数图像经过 三点．
(2)二次函数图像的顶点坐标是 ，并经过点 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设二次函数的解析式为 ，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设二次函数的解析式为 ，将点 代入求得 的值即可求解．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 ，将 代入得，
，
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
（2）设二次函数的解析式为 ，将点 代入得，
，解得 ，
二次函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握 二次函数解析式的方法是解题的关键．
9．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．
(1)已知抛物线的顶点坐标是 ，且过点 ；
(2)已知抛物线过点 、 、 ；
(3)已知抛物线过点 、 、 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式．
（1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点(2,3)即可求解；
（2）已知抛物线与 的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点 即可求解；
（3）已知抛物线上的普通三点，可设表达式为一般式，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：设其对应的二次函数的表达式为 ，
把(2,3)代入得： ，
解得： ，
二次函数的表达式为 ，即 ；
（2）设其对应的二次函数的表达式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
二次函数的表达式为 ，即 ；（3）设其对应的二次函数的表达式为 ，
则 ，
解得： ，
二次函数的表达式为： ．
题型四、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
10．（23-24九年级上·云南保山·期末）二次函数 ，自变量x与函数y的对应值如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是y轴 B．当 时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线 ，从而得到抛物线开
口向上，当 时，y随x的增大而增大，函数有最小值 ，即可求解．
【详解】解：由数据可得：当 和3时，对应y的值相等，
∴函数的对称轴为：直线 ，
∴顶点为 ，
∵数据从 到1对应的y值不断减小，
∴抛物线开口向上，当 时，y随x的增大而减小，函数有最小值 ，
故选项A，B，D都错误．
故选：C．
11．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知抛物线 经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物
线，下列说法正确的是（ ）A．表达式为 B．图象开口向下
C．图象与 轴有两个交点 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)，
∴ ，
将(0，5)代入 得 ，
解得 ，
∴ ，故选项A不符合题意；
∵a=1>0，
∴图象开口向上，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上，
∴图象与 轴没有有两个交点，故选项C不符合题意；
∵a=1>0，且对称轴为直线x=2，
∴ 时， 随 增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
12．（21-22九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的是
（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当 时，y的值随x值的增大而增大，当 时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质和函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，a=1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x
值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，
故选项D的说法正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质解答．
题型五、根据二次函数的图像判断系数符号
13．（23-24九年级上·全国）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：① ；
② ；③ ；④ ；其中正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象及性质可知二次函数的系数 ， ，对称轴对称轴为 ，二次函数与 轴
的交点坐标为 ， 进而即可解答．
【详解】解：∵当 时， ，
∴ ，
即 ，，
故①不正确；
由图象可知：二次函数 的系数 ， ，对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
由图象可知：二次函数 的对称轴为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故③不正确；
∵由图象可知：二次函数 的对称轴为 ，与 轴的一个交点为 ，
∴二次函数 与 轴的另一交点为 ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
∴正确的序号为②④，
故选 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴，与坐标轴交点坐标，掌握二次函数的图象及性质是解题的
关键．
14．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其
部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ ，y）、C（ ，y）、D
1 2
（ ，y）是抛物线上的三点，则y<y<y．其中正确结论的个数有（ ）
3 1 2 3
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则 ， ，
对称轴为直线 ，则 ，
∴ ，故①正确；当 时， ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ，故②错误；
∵对称轴为直线 ，
∴抛物线与x轴负半轴的交点为（ ，0），
∴ ，
∵ ，
两式相加，则 ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有 ，故④正确；
∴正确的结论有2个，
故选：B
15．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象如图所示，有下
列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛
物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝ ＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴ ，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：④⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方
程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．
题型六、一次函数、二次函数的图像综合问题
16．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可
能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由二次函数 图象得到系数字母的正负，再与一次函数 的图象相比较看是否一
致．
【详解】解： 由抛物线可知， ，即 ；由直线可知， ，二者矛盾，故本选项错误；
B．由抛物线可知， ，即 ，根据对称轴 ，可得 ，两者矛盾；由直线可知， ， 的
范围不一致，故本选项错误；
C．由抛物线可知， ，即 ，根据对称轴 ，可得 ，两者矛盾；由直线可知， ， 的
范围不一致，故本选项错误；
D．由抛物线可知， ，即 ，根据对称轴 ，可得 ；由直线可知， ， 的范围一致，
故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一
次函数的图象与性质是解题的关键．
17．（2023·广东清远·一模）函数y=ax2+bx+c和 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质逐项判断即可．
【详解】A．图象中二次函数 ，一次函数 ，故A符合题意．
B．图象中二次函数 ，一次函数 ，故B不符合题意．
C．图象中二次函数 ，一次函数 ，故C不符合题意．
D．图象中二次函数 ，一次函数 ，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的
关键．
18．（22-23九年级下·全国·课后作业）在同一坐标中，一次函数 与二次函数 的图像可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次函数 得抛物线开口向上， 根据一次函数 ，得直线与y轴的正半轴相交，交点
为 ， 根据A、C图像可知，抛物线交y轴于负半轴得 ，即可得．
【详解】解：由二次函数 得抛物线开口向上，
根据一次函数 ，得直线与y轴的正半轴相交，交点为 ，
根据A、C图像可知，抛物线交y轴于负半轴，
∴ ，
故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
题型七、根据二次函数的对称性求函数值
19．（2022·浙江温州·二模）已知，点 ， 在抛物线 上，若 ，存在一个正数
m，当 时，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】先根据二次函数的对称性可知，当满足 时， ，即只要 的范围不在此范围即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴为 ，由二次函数的对称性可知，
当 和 时，函数值y相等，
当 和 时，函数值y相等，
即当满足 和 的函数值相同，
当 ，存在一个正数m，当 时，都有 ，
∴ 或 ，解得 或 ；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的大小判断，根据函数的对称性，准确找到函数值与自变量之间的关系是解题的关键．
20．（21-22九年级上·福建福州·期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当
1 1 2 2
＝1， ＝3时， ．若对于任意实数x、x 都有 ≥2，则c的范围是（ ）
1 2
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【答案】A
【分析】由当 ＝1， ＝3时，y＝y 可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化
1 2
为顶点式可得y＋y 的最小值，进而求解．
1 2
【详解】∵当 ＝1，x＝3时， ．
2∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝ ﹣4x＋c＝ ＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y＝y＝c﹣4时，y＋y 取最小值为2c﹣8，
1 2 1 2
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式
的关系．
21．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为 ，
且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y） 是抛物线上的两
1
点，则y＜y，其中说法正确的是（ ）
1 2
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
【答案】A
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b=-a；
③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点（-2，y）关于直线x= 的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y 和y 的大小．
1 1 2
【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，∵对称轴是直线x= ，
∴- = ，
∴b=-a＞0，
∴abc＜0．故①正确；
②∵由①中知b=-a，
∴a+b=0，故②错误；
③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；
④∵（-2，y）关于直线x= 的对称点的坐标是（3，y），
1 1
又∵当x＞ 时，y随x的增大而减小， ＜3，
∴y＜y．故④正确；
1 2
综上所述，正确的结论是①④．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0
时，二次函数的图象开口向下．
题型八、利用二次函数的对称性求最短路径
22．（2021·四川绵阳·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 ．
【答案】(2， )/
【分析】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．【详解】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
△
令y= x2- x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x= （1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得 ，
故直线BC的表达式为y=- x+5，
当x=2时，y=- x+5= ，
故点M的坐标为（2， ）．
故答案为：
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确
定最短路线是解题的关键．
23．（19-20九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数 的图象与 轴分别交于 、 两点，如
图所示，与 轴交于点 ，点 是其对称轴上一动点，当 取得最小值时，点 的纵坐标与横坐标之和为
．【答案】
【分析】根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标和纵坐
标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题．
【详解】解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值，
∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x＝﹣3，x＝1，当x＝0时，y＝2，
1 2
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得 ，
即直线AC的解析式为 ，
∵点P在二次函数 的对称轴上的一动点，
∴点P的横坐标为﹣1，
∵点P在直线AC上，
∴点P的纵坐标 ，
∴点P的纵坐标与横坐标之和为： ，
故答案为： ．．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数
的性质和数形结合的思想解答．
24．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是
抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．
【答案】 ．
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线 ，C（0，﹣6），通过解方程 得 A（﹣3，0），B
（1，0），再根据三角形中位线性质得 ， ，所以 ，连接AC交直线
于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时PB+PC的值最小，其最小值为AC的长，从而得到DE+ DF的最
小值．
【详解】解：抛物线 可化为：
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当x＝0时， ，则C（0，﹣6），
当y＝0时， ，解得 ， ，则A（﹣3，0），B（1，0），
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，∴DE和DF都为△PBC的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
连接AC交直线 于P，如图，
∵PA＝PB，
∴PB+PC＝PA+PC＝AC，
∴此时PB+PC的值最小，其最小值为
∴DE+DF的最小值为 ．
故答案为 ．
题型九、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质综合问题
25．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数 ．
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2)当 时，函数的最大值和最小值分别为多少？
【答案】(1)
(2)当 时，函数的最大值为16，最小值为0
【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标；
（2）由于开口向下，抛物线有最大值，即顶点的纵坐标为最大值，当x=1时取得最小值代入计算即可解题．
【详解】（1）解：∴二次函数图象的顶点坐标为 ；
（2）∵ ，
抛物线有最大值，当 时， ，
抛物线x=1离对称轴最远，即x=1时， ，
∴当 时，函数的最大值为16，最小值为0．
【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的配方法求顶点坐标是解题的关键．
26．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点 和点 的坐标；
(3)若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) ．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数解析式求图象与 交点坐标，顶点坐标即可，（3）设点 坐标，然后根据数量关系列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由点 和点 得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）得： ，
当 时， ，
∴点 ，
由 ，
∴顶点 ；
（3）设 ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （不合题意，舍去）， ，
∴点 ．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性
质的应用．
27．（2022九年级下·江苏·专题练习）抛物线 经过A、 、 三点．点D为抛物线的顶点，
连接 、 、 、 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使 为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在，符合题意的点E的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况： ， ， 讨论即可．
【详解】（1）解：∵ 经过 、 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：在y轴上存在点E，使 为直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式为 ，
∴ ，
设E点坐标为 ，
∴ ， ， ，
当 时，有 ，
∴ ，
解得 ，∴此时点E的坐标为 ；
当 时， ，
，
解得 ，
∴此时点E的坐标为 ；
当 时， ，
，
解得 或 ，
∴此时点E的坐标为 或 ．
综上所述，符合题意的点E的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与特殊三角形，掌握待定系数法，勾股定理等知识是解题的关键．
【高分演练】
一、单选题
28．（23-24九年级下·全国）用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可．
【详解】解： ；
故选D．
29．（23-24九年级下·全国·课后作业）将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长
度后，得到的抛物线的关系式是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，左加右减，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
先将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得抛物线的关系式为
．
故选D．
30．（23-24九年级上·全国·课后作业）函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别．首先分两种情况进行分析，当 时，可以确定一次
函数与二次函数的大致走向；同理当 时也可以，再结合两函数图象交于 点即可得出答案．
【详解】解：当 时，直线过一、三象限，抛物线开口向上；
当 时，直线过二、四象限，抛物线开口向下，
可得选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意，
故选：A．
31．（23-24九年级上·山东泰安·期中）若 、 、 三点都在函数 的图象上，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出 ， ， ，比较大小即可．
【详解】解： 、 、 三点都在函数 的图象上，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，求出 ， ， 的值是解题的关键，本题也可以根据各点到对
称轴的距离判断．
32．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数 ，若 ， 是该二次函数
图象上的两点，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将点 ， 坐标代入二次函数解析式即可得到一个不等式，再求出 的取值范围．
【详解】解： ， 是函数 的图象上的两点，且 ，
，
化简整理得， ，
，
实数 的取值范围是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出不等式是解题的关键．
33．（19-20九年级上·天津河西·期中）二次函数 （ ， ， 是常数， ）的自变量 与函数值
的部分对应值如表：… 0 1 2 …
… …
且当 时，与其对应的函数值 ，有下列结论：① ；② ；③ 和3是关于 的方程
的两个根；④ ．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据表中的 ， 得到 ，对称轴 ，得到 ，判定①正确；根据抛物线的对称
性，判定②、③都正确；根据①中的数据和 时， ，得到 ，得到 ，判定④不正确．
本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握表格信息，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函
数与一元二次方程的关系，是解决问题的关键．
【详解】∵由表格可知，当 和 时的函数值相等，都为 ，
∴ ，抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ， ，a、b异号，
∴ ，
故①正确；
根据抛物线的对称性可知，当 和 时的函数值相等，
∴ ，
故②正确；
∵根据抛物线的对称性可知，当 和 时的函数值相等，都为t，
∴ 和3是关于 的方程 的两个根；
故③正确；
由①知， ， ，
∴二次函数为 ，
∵当 时，对应的函数值 ，
∴ ，∴ ，
故④不正确．
∴正确的结论有①、②、③，共3个．
故选：C．
34．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个
交点坐标为 ），下列结论：① ；② ；③当 时，x的取值范围是 ；④点 ，
都在抛物线上，则有 ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图
像，可判断③错误，求出 ， ，结合①②的结论即可判断出④正确．
【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c>0，
∴ ，故①正确；∵抛物线与x轴交于(-1,0)，
∴当x=-1时， ，
∵ ，
∴将 代入 ，得3a+c=0，故②正确；
根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，
根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，
∴y＞0时，有 ，故③错误；
∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，
当x=-2时， ，
当x=2时， ，
∵ ，3a+c=0，a<0，
∴ ， ，
∴ ，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看
抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
35．（21-22九年级上·陕西西安·期末）如图所示，抛物线 与 轴交于点 、 ，
对称轴与此抛物线交于点 ，与 轴交于点 ，在对称轴上取点 ，使 ，连接 、 、 、 ，
某同学根据图象写出下列结论：① ；②当 时， ；③四边形 是菱形；④ ．
其中正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C【分析】 由抛物线与 轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为 ，由此即可得出 ， 正
确； 根据抛物线的开口向下以及抛物线与 轴的两交点坐标，即可得出当 时， ， 正确； 由
关于 对称，即可得出 ，再结合 以及 ，即可得出四边形 是菱形，
正确； 根据当 时， ，即可得出 ， 错误．综上即可得出结论．
【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 、 ，
该抛物线的对称轴为 ，
， ， 正确；
抛物线开口向下，且抛物线与 轴交于点 、 ，
当 时， ， 正确；
点 、 关于 对称，
，
又 ，且 ，
四边形 是菱形， 正确；
当 时， ，
即 ， 错误．
综上可知：正确的结论为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及菱形的判定，解题的关键是逐条分析四条结论是否正
确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的
结论是关键．
二、填空题
36．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）抛物线 的顶点坐标 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式转化为顶点式，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴顶点坐标为 ．故答案为：
37．（23-24九年级上·全国·课后作业）若点 ， ， 为二次函数 的图象上的三
点，则 ， ， 的大小关系是 ．
【答案】 /
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线 ，根据 时， 随 的增大而增大，
即可得出答案．
【详解】解： ，
图象的开口向上，对称轴是直线 ，
关于直线 的对称点是 ，
，且 随 的增大而增大，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用
二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
38．（23-24九年级上·全国·课后作业）若把抛物线 向左平移6个单位长度后得到抛物线 ，
且知抛物线 的顶点为 ，且与 轴交于点 ，抛物线 的顶点为 ，则
．
【答案】144
【分析】根据抛物线的平移规则，求出 的值，进而求出两条抛物线的顶点坐标和点 的坐标，再利用面积公式
进行求解即可．
【详解】解：∵把抛物线 向左平移6个单位长度后得到抛物线 ，
∴ ，
∴ ，∴平移以前的抛物线为 ，平移后的抛物线为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，当 时， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查抛物线的平移，与 轴的交点，求顶点坐标．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下
减，是解题的关键．
39．（21-22九年级下·山东菏泽·期中）如图，若二次函数 的图象的对称轴为直线 ，与
轴交于点 ，与 轴交于点 、点 ，则下列结论：① ；②二次函数的最大值为 ；③
；④ ；⑤当 时， ．⑥ ；其中正确的结论有 ．
【答案】②⑤⑥
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象与 轴的交点等知识点，根据对称轴在 轴的右
侧，与 轴相交在正半轴，可判定①；由顶点坐标即可判断②；由 即可判断③；由抛物线与 轴有两个交
点即可判断④；有抛物线与 轴交点的横坐标即可判断⑤；由对称轴方程得到 ，由 时函数值为 即可
判断⑥．
【详解】解： 二次函数对称轴在 轴的右侧，与 轴相交在正半轴， ，故①不正确；
二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ，且开口向下，二次函数的最大值为 ，故②正确；
抛物线过 ，
时， ，即 ，
故③不正确；
抛物线与 轴有两个交点，
，
故④不正确；
对称轴为直线 ， ，
，
有图象可知， 时， ，
故⑤正确；
，即 ，
而 时， ，即 ，
，
，
故⑥正确，
故答案为：②⑤⑥．
三、解答题
40．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为 ．
(1)当函数为 时，y的最大值为______，y的最小值为______；
(2)当函数为 时，求y的最大值和最小值．
【答案】(1)3；1
(2) ，12
【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据一次函数的增减性求解即可；
（2）根据二次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时， 是最大值；
当 时， 是最小值．
故答案为：3；1；
（2）解：∵抛物线
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
当 时， 是最小值；
当 时， 是最大值．
41．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点 ，对称轴为直线
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点 向上平移2个单位长度，向左平移m（ ）个单位长度后，恰好落在 的图象上，求
m的值；
(3)当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为 ， 时， 时，建立方程解题即可．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 ，把 代入得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：点B平移后的点的坐标为 ，
则 ，解得 或 （舍），
∴m的值为 ；
（3）解：当 时，
∴最大值与最小值的差为 ，解得： 不符合题意，舍去；
当 时，
∴最大值与最小值的差为 ，符合题意；
当 时，
最大值与最小值的差为 ，解得 或 ，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为 ．
42．（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线 与x轴相交于点A(-2,0)，点C，与y轴相交于点B，其
对称轴为直线 ．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在直线 上，且在第四象限，过点M作 轴于点N．
①若点N在线段 上，且 ，求点M的坐标；
②以 为对角线作正方形 （点P在 右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为 ，求t的值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象
和性质是解题的关键．
（1）先根据对称轴公式得到 ，再利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线 的表达式为 ，然后设点N的坐标为 ．可得 ．可得到
， ．再由 ，即可求解；②连接 与 交与点E．设点M的坐标为 ，
则点N的坐标为 ，根据正方形的性质可得E的坐标为 ，进而得到P的坐标 ．再由点P
在抛物线上，即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线
∴ ，即 ，
把A(-2,0)代入 得 ，
∴ ，
∴
抛物线的表达式为 ．
（2）解：①设直线 的表达式为 ．
点A，B的坐标为A(-2,0)， ，∴ ， 解得： ，
直线 的表达式为 ．
根据题意得∶点C与点A(-2,0)关于对称轴直线 对称，
．
设点N的坐标为 ．
轴，
．
∴
．
，
解，得 ．
点M的坐标 ；
②连接 与 交与点E．
设点M的坐标为 ，则点N的坐标为
四边形 是正方形，
， ， ．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为 ．
．
．
∴P的坐标 ．
点P在抛物线 上，．
解，得 ， ．
点P在第四象限，
舍去．
即 ．
43．（2022·湖南常德·一模）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点
N，过A点的直线 与y轴交于点C，与抛物线 的另一个交点为 ，已知P点为抛
物线 上一动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作 轴交直线l于点E，作 轴交直线l于点F，求
的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以 为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点
坐标．
【答案】(1)
(2)18
(3) ，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，平行四边形的性质，并利用数形
结合思想解答是解题的关键．（1）先求出点 ，再利用待定系数法，即可求解；
（2）设点 ，可得 ， ,从而得到
， ，进而得到 ，即可求解；
（3）根据以 为平行四边形的一边，可得 ， ，设点 ，则 ，可得
，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 过点A，
∴ ，
又∵ ，
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得： ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：如图，
设点 ，
∵ 轴， 轴，
则 ， ，∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
∵ ，
∴当x=2时， 取得最大值，最大值为18．
（3）由（1）可求 ，
∵ 是所求平行四边形的一边，
∴ ，设点 ，则 ，
由题意知： ，即 ．
化简得： 或 ，
解得： （舍去）， ， ， ．
则符合条件的M点有三个： ， ．
44．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数 ，该函数图象的对称轴为直线 ，与x轴相
交于点A和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点 ．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图①，点D是直线 下方抛物线上的动点，过点D作 轴交直线 于点E，求 的最大值；
(3)如图②，点P是直线 下方抛物线上的动点， 于点Q，当 取最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求得 ，再用待定系数法求直线 的函数表达式为 ，设 ，根据 轴，
得点E的纵坐标为 ，然后代入 ，求得 ，从而得 ，则
，然后根据二次函数的最值求解即可．
（3）过点P作 轴交 于点H，先求得 ，则 ，再根据 轴，则
，从而得到 是等腰直角三角形，由勾股定理得 ，设 ，则
，则 ，从而得到 ，然后
根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 图象的对称轴为直线 ，与y轴交于点 ，
∴ 解得
∴该二次函数的表达式为 ．
（2）解：在二次函数 中，令 得
，解得 或 ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为 ，
把 、 代入，得，解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ．
设 ，
∵ 轴，
∴点E的纵坐标为 ，
把 代入 中，得
，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵点D是直线 下方抛物线上的动点，
∴ ，
∵ ，
∴当 时 有最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值为 ．
（3）解：过点P作 轴交 于点H，如解图．
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵点P是直线 下方抛物线上的动点，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取最大值 ，
此时点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的图象性质，等腰直角三角形的判定，勾股定
理，平行线的性质．熟练掌握二次函数最值的解法是解题的关键．
