文档内容
22.1．4 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
【考点归纳】
考点一、把一般式化成顶点式
考点二、二次函数的平移问题
考点三、待定系数法求二次函数解析式
考点四、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
考点五、根据二次函数的图像判断系数符号
考点六、一次函数、二次函数的图像综合问题
考点七、根据二次函数的对称性求函数值
考点八、利用二次函数的对称性求最短路径
考点九、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质综合问题
【知识梳理】
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标
（ ， ） （ ， ）
对称轴
x= x=
x> 时，y 随 x 的增大而增 x> 时，y 随 x 的增大而减
增减性 大； 小；
x< 时，y随x的增大而减小 x< 时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x= 时，y = 当x= 时，y =
最小值 最大值
知识点二 二次函数的三种解析式
b
x
⑴一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）. 对称轴 2a ，顶点坐标（ ， ）.
⑵顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）. 对称轴x= h，顶点坐标（h，k）.
x x ax x 2
x x 1 2， 2 1
⑶交点式：y=a（x-x
1
）（x-x
2
）. 对称轴x 1
2
2 ，顶点坐标
2 2
.
知识点三 二次函数的平移问题解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）
分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0
由y=ax2向左平移| 由y=ax2向左平移| 由y=ax2向右平移| 由y=ax2向右平移|
变换过程 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平
移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位
左加右减，上加下减
总结
【题型探究】
题型一、把一般式化成顶点式
1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·北京顺义·期末）将二次函数 化为 的形式，则所得表达式为
（ ）
A． B． C． D．
题型二、二次函数的平移问题
4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨）通过平移 的图象，可得到 的图象，下列平移方法正确的
是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动2个单位B．向右移动1个单位，向上移动2个单位
C．向左移动1个单位，向下移动2个单位D．向右移动1个单位，向下移动2个单位
5．（2024·广东河源·一模）将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(
)
A． B．
C． D．6．（2024·山西朔州·二模）将二次函数 的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
后得到的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型三、待定系数法求二次函数解析式
7．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像过点 ， 两点，对称轴为直线 ，这个二次函
数的解析式为 ．
8．（21-22八年级下·浙江金华·期末）求分别满足下列条件的二次函数解析式：
(1)二次函数图像经过 三点．
(2)二次函数图像的顶点坐标是 ，并经过点 ．
9．（23-24九年级下·全国）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．
(1)已知抛物线的顶点坐标是 ，且过点 ；
(2)已知抛物线过点 、 、 ；
(3)已知抛物线过点 、 、 ．
题型四、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
10．（23-24九年级上·云南保山·期末）二次函数 ，自变量x与函数y的对应值如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是y轴 B．当 时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下
11．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知抛物线 经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为 B．图象开口向下
C．图象与 轴有两个交点 D．当 时， 随 的增大而减小
12．（21-22九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的是
（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当 时，y的值随x值的增大而增大，当 时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
题型五、根据二次函数的图像判断系数符号
13．（23-24九年级上·全国）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：① ；
② ；③ ；④ ；其中正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
14．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其
部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ ，y）、C（ ，y）、D
1 2
（ ，y）是抛物线上的三点，则y
