文档文本内容
22.1．4 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
【考点归纳】
考点一、把一般式化成顶点式
考点二、二次函数的平移问题
考点三、待定系数法求二次函数解析式
考点四、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
考点五、根据二次函数的图像判断系数符号
考点六、一次函数、二次函数的图像综合问题
考点七、根据二次函数的对称性求函数值
考点八、利用二次函数的对称性求最短路径
考点九、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质综合问题
【知识梳理】
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标
（ ， ） （ ， ）
对称轴
x= x=
x> 时，y 随 x 的增大而增 x> 时，y 随 x 的增大而减
增减性 大； 小；
x< 时，y随x的增大而减小 x< 时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x= 时，y = 当x= 时，y =
最小值 最大值
知识点二 二次函数的三种解析式
b
x
⑴一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）. 对称轴 2a ，顶点坐标（ ， ）.
⑵顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）. 对称轴x= h，顶点坐标（h，k）.
x x ax x 2
x x 1 2， 2 1
⑶交点式：y=a（x-x
1
）（x-x
2
）. 对称轴x 1
2
2 ，顶点坐标
2 2
.
知识点三 二次函数的平移问题解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）
分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0
由y=ax2向左平移| 由y=ax2向左平移| 由y=ax2向右平移| 由y=ax2向右平移|
变换过程 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平
移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位
左加右减，上加下减
总结
【题型探究】
题型一、把一般式化成顶点式
1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·北京顺义·期末）将二次函数 化为 的形式，则所得表达式为
（ ）
A． B． C． D．
题型二、二次函数的平移问题
4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨）通过平移 的图象，可得到 的图象，下列平移方法正确的
是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动2个单位B．向右移动1个单位，向上移动2个单位
C．向左移动1个单位，向下移动2个单位D．向右移动1个单位，向下移动2个单位
5．（2024·广东河源·一模）将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(
)
A． B．
C． D．6．（2024·山西朔州·二模）将二次函数 的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
后得到的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型三、待定系数法求二次函数解析式
7．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像过点 ， 两点，对称轴为直线 ，这个二次函
数的解析式为 ．
8．（21-22八年级下·浙江金华·期末）求分别满足下列条件的二次函数解析式：
(1)二次函数图像经过 三点．
(2)二次函数图像的顶点坐标是 ，并经过点 ．
9．（23-24九年级下·全国）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．
(1)已知抛物线的顶点坐标是 ，且过点 ；
(2)已知抛物线过点 、 、 ；
(3)已知抛物线过点 、 、 ．
题型四、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
10．（23-24九年级上·云南保山·期末）二次函数 ，自变量x与函数y的对应值如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是y轴 B．当 时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下
11．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知抛物线 经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为 B．图象开口向下
C．图象与 轴有两个交点 D．当 时， 随 的增大而减小
12．（21-22九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的是
（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当 时，y的值随x值的增大而增大，当 时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
题型五、根据二次函数的图像判断系数符号
13．（23-24九年级上·全国）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：① ；
② ；③ ；④ ；其中正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
14．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其
部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ ，y）、C（ ，y）、D
1 2
（ ，y）是抛物线上的三点，则y<y<y．其中正确结论的个数有（ ）
3 1 2 3A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象如图所示，有下
列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型六、一次函数、二次函数的图像综合问题
16．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·广东清远·一模）函数y=ax2+bx+c和 在同一坐标系中的图象大致是（ ）A． B． C． D．
18．（22-23九年级下·全国·课后作业）在同一坐标中，一次函数 与二次函数 的图像可能是
（ ）
A． B． C． D．
题型七、根据二次函数的对称性求函数值
19．（2022·浙江温州·二模）已知，点 ， 在抛物线 上，若 ，存在一个正数
m，当 时，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
20．（21-22九年级上·福建福州·期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当
1 1 2 2
＝1， ＝3时， ．若对于任意实数x、x 都有 ≥2，则c的范围是（ ）
1 2
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜621．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为 ，
且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y） 是抛物线上的两
1
点，则y＜y，其中说法正确的是（ ）
1 2
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
题型八、利用二次函数的对称性求最短路径
22．（2021·四川绵阳·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 ．
23．（19-20九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数 的图象与 轴分别交于 、 两点，如
图所示，与 轴交于点 ，点 是其对称轴上一动点，当 取得最小值时，点 的纵坐标与横坐标之和为
．24．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是
抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．
题型九、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质综合问题
25．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数 ．
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2)当 时，函数的最大值和最小值分别为多少？
26．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点 和点 的坐标；
(3)若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标．27．（2022九年级下·江苏·专题练习）抛物线 经过A、 、 三点．点D为抛物线的顶点，
连接 、 、 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使 为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【高分演练】
一、单选题
28．（23-24九年级下·全国）用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
29．（23-24九年级下·全国·课后作业）将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长
度后，得到的抛物线的关系式是（ ）
A． B．C． D．
30．（23-24九年级上·全国）函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
31．（23-24九年级上·山东泰安·期中）若 、 、 三点都在函数 的图象上，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
32．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数 ，若 ， 是该二次函数
图象上的两点，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
33．（19-20九年级上·天津河西·期中）二次函数 （ ， ， 是常数， ）的自变量 与函数值
的部分对应值如表：
… 0 1 2 …
… …
且当 时，与其对应的函数值 ，有下列结论：① ；② ；③ 和3是关于 的方程
的两个根；④ ．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．434．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个
交点坐标为 ），下列结论：① ；② ；③当 时，x的取值范围是 ；④点 ，
都在抛物线上，则有 ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
35．（21-22九年级上·陕西西安·期末）如图所示，抛物线 与 轴交于点 、 ，
对称轴与此抛物线交于点 ，与 轴交于点 ，在对称轴上取点 ，使 ，连接 、 、 、 ，
某同学根据图象写出下列结论：① ；②当 时， ；③四边形 是菱形；④ ．
其中正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
36．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）抛物线 的顶点坐标 ．
37．（23-24九年级上·全国·课后作业）若点 ， ， 为二次函数 的图象上的三
点，则 ， ， 的大小关系是 ．38．（23-24九年级上·全国·课后作业）若把抛物线 向左平移6个单位长度后得到抛物线 ，
且知抛物线 的顶点为 ，且与 轴交于点 ，抛物线 的顶点为 ，则
．
39．（21-22九年级下·山东菏泽·期中）如图，若二次函数 的图象的对称轴为直线 ，与
轴交于点 ，与 轴交于点 、点 ，则下列结论：① ；②二次函数的最大值为 ；③
；④ ；⑤当 时， ．⑥ ；其中正确的结论有 ．
三、解答题
40．（24-25九年级上·全国）已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为 ．
(1)当函数为 时，y的最大值为______，y的最小值为______；
(2)当函数为 时，求y的最大值和最小值．
41．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点 ，对称轴为直线
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点 向上平移2个单位长度，向左平移m（ ）个单位长度后，恰好落在 的图象上，求
m的值；(3)当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
42．（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线 与x轴相交于点A(-2,0)，点C，与y轴相交于点B，其
对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在直线 上，且在第四象限，过点M作 轴于点N．
①若点N在线段 上，且 ，求点M的坐标；
②以 为对角线作正方形 （点P在 右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为 ，求t的值．
43．（2022·湖南常德·一模）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点
N，过A点的直线 与y轴交于点C，与抛物线 的另一个交点为 ，已知P点为抛
物线 上一动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作 轴交直线l于点F，求
的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以 为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点
坐标．
44．（24-25九年级上·全国）已知二次函数 ，该函数图象的对称轴为直线 ，与x轴相交于点A
和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点 ．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图①，点D是直线 下方抛物线上的动点，过点D作 轴交直线 于点E，求 的最大值；
(3)如图②，点P是直线 下方抛物线上的动点， 于点Q，当 取最大值时，求点P的坐标．
