文档内容
22.2—22.3 二次函数与一元二次方程 实际问题与二次函数二次函数与一元二次方程
一、二次函数与一元二次方程的关系
理解二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）之间的内在联系。一元
二次方程是二次函数在y=0时的特殊形式，二次函数的图像与 x轴的交点即为一元二次方
程的根。
二、二次函数的图像
1.开口方向与开口大小：由二次项系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；|a|越大，
开口越小。
2.对称轴与顶点：二次函数的对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为−b/2a,c−b²/4a。
3.图像与x轴的交点：即一元二次方程的根，可通过判别式Δ=b²-4ac判断交点的个数。Δ>0
时有两个不相等的交点，Δ=0时有两个重合的交点，Δ<0时没有交点。
三、一元二次方程的解法与应用
1.直接开平方法：适用于形如(x-a)²=b（b≥0）的方程。
2.配方法：将一元二次方程化为完全平方的形式，从而求解。
3.公式法：即求根公式x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b²-4ac。
4.图像法：通过绘制二次函数的图像，观察图像与x轴的交点，从而求得一元二次方程的
近似解。
实际问题与二次函数
1.列二次函数解应用题
通性解法列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是学
习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式。对于应用题要注意
以下步骤：
审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，
找出等量关系（即函数关系）。设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意
所设变量的单位要准确。列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为
含变量的等式，这就是二次函数。按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。检
验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案。
常见的问题有求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、
抛物体、抛物线、一次函数的模型问题等。解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际
问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。
2.建立二次函数模型求解实际问题
通性解法一般步骤包括：恰当地建立直角坐标系；将已知条件转化为点的坐标；合理地设
出所求函数关系式；代入已知条件或点的坐标，求出关系式；利用关系式求解问题。巩固课内例1:小球飞行问题
1．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条
抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间
具有函数关系： ．有下列结论：
①小球飞行中的高度可以是 ；
②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度；
③当 时，小球的飞行高度不低于 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线是一条
抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间
具有函数关系 ，则小球飞出 s时，达到最大高度．
3．二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运
行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到
启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P
从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小
球P飞行轨迹的 段为抛物线 的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为 的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段 为直线
的一部分．
(1)求b的值．
(2)已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为 ，下降阶段在竖直方向上的平均
速度为 ，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为 ，那么小球P从点O发射
开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？
(3)现要在线段 上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦
截轨迹为直线的一部分，且与 平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出
点M的横坐标m的取值范围．
巩固课内例2:利用函数图象求一元二次方程的近似根
1．根据方程 可列表如下（ ）
x … 4 5 6
13 5 … 5 13
则x的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
2．如图是抛物线 的图象，结合图象，可知方程 有 个
实数根．3．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般
好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体
会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题：
(1)如图1，画出了二次函数 的部分图象，则关于x的方程
的解为________；
(2)已知关于x的方程 有两个实数根m，n，且 ，若 ，求k的取
值范围；
(3)已知方程 ．
①直接回答此方程有几个实数根；
②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！）
【友情提示：图2已给出函数 的图象】
巩固课内例3:投球问题
1．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位： ）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：
①小球在空中经过的路程是40 ；
② 与 之间的函数关系式为 ；
③小球运动的时间为6 ；
④当小球的高度 时， ．以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶
一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一
条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度 与水平距离 之间的函数关系图
象，投出时箭头距地面的高度 为 ，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最
高点 处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于 轴的线段），且
，若小西投壶恰好投中，则 的长为 m．
3．贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是
一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形
状相同．馨宝在地面竖立一块高度为 的木板 ，然后以斜坡底端 为坐标原点，地
面水平线为 轴，收单位长度为 ，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽
略不计，经测量发现，抛球点 的坐标为 ，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为 ．
(1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
(2)当乒乓球第二次弹起高度为 时，求乒乓球到 轴的距离；
(3)馨宝需将水板立在距斜坡底端 多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，
直接写出OC的取值范围________________．
巩固课内例4:矩形面积问题
1．如图，在矩形 中， ， ，点P从A点出发，以每秒 的速度
沿 的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作 的平行线交对角线
于点E．设点P运动的时间为t， 的面积为S，则S与t的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．2．如图1，已知矩形 ，射线 绕点 顺时针旋转 得到射线 ，
点 是点 关于直线 的对称点．连接 ，设 的长为 ， 与 的关系图象如图2
所示，其中点 是图象的最低点，最高点的纵坐标是 ，则图2中 的值是 ，
的值是 ．
3．在矩形 中， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B以
的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动．如果P、
Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ________ ， ________ （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；
若不存在，请说明理由．
(4)是否存在t的值，使 的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说
明理由．
巩固课内例5:销售问题
1．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就
会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列
结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；
③宾馆每天的最大利润为12250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市
场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种
玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大．
3．第九届亚洲冬季运动会于 年 月 日 日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪
同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合
作，共同发展 亚冬会吉祥物“ 滨滨”和“妮妮 ”寓意 “哈尔滨欢迎您” 亚运会特许商品
零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为 元，规定售价不低于进价现在售价为
每个 元，每天可销售 个．经市场调查发现，若售价每降价 元，则每天的销售量将
增加 个．设每个吉祥物降价 元（ 为整数），每天的销售量为 个．
(1)写出 与 之间的函数关系式；
(2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为 元，求出 与 的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润 最大？
最大利润是多少元？
巩固课内例6:拱桥问题
1．某拱桥呈抛物线形，水面宽度 为8米时，拱顶 离水面4米．当水面上升2米后，
宽度变为（ ）．
A．4米 B． 米 C． 米 D．6米
2．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 来表示，已知 米，距离 点2米处的棚高 为 米，若借助横梁
建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁 的长度是 米．
3．天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大
提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一
部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当
两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不
计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
类型一、求抛物线与x、y轴的交点坐标1．二次函数 的图象与 轴的交点坐标为 和 ，则一元二次方程
的解为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．二次函数 的图象，与y轴的交点坐标为 ．
3．已知 ， 是抛物线 上的两个不相同的点．
(1)求该抛物线与 轴的交点坐标；
(2)若抛物线关于 轴对称，直线 过坐标原点 ，求 的值．
类型二、二次函数的应用——三角形问题
1．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和
为 ，则这个三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
2．一块三角形材料如图所示， ， ，用这块材料剪出一个矩形
，其中，点D，E，F分别在 上，能够剪出的矩形 的面积最大为
．
3．如图，抛物线 的图象经过 ，和x轴交于 ，和y轴交于C．(1)求该抛物线的表达式；
(2)求经过A、C两点的直线表达式；
(3)求以A、B、C为顶点的三角形面积．
类型三、二次函数的应用——四边形问题
1．如图，四边形 为矩形， ， ，点 从点 出发沿
以 的速度向终点 匀速运动，同时，点 从点 出发沿 以
的速度向终点 匀速运动，设 点运动的时间为 ， 的面积为 ，下列
选项中能表示 与 之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在四边形 中， 是 边上的动点， ，连接 为 的
中点，连接 ，若 ， ，则 的最小值是 ．3．如图，抛物线 的最大值为4，顶点为 ， 轴于 ，经过 中点
的任意直线与抛物线交于 分别与 轴交于 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当四边形 是平行四边形时，求四边形的面积 ．
(3)判断 是否为定值，并说明由．
类型四、二次函数的应用——增长率问题
1．据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季
度的累计销量为 万辆，平均月增长率为 ，则 关于 的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某商店一月份销售额为 万元，月平均增长率 ，一季度的销售额为 万元，那
么 关于月平均增长率 的函数解析式是 ．
3．某种产品现在的年产量是 ，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增
加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应
怎样表示？类型一、根据二次函数图象确定方程根的情况
1．如图，二次函数 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，
其中 ．则下列结论：
① ；②方程 没有实数根；③ ； ④ ．
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．二次函数 的图象如图所示，下列结论中，正确的有 ．（填序号）
① ；② ；③方程 的两个根是 ， ；④ ．
3．小明利用一次函数和二次函数知识设计了一个运算程序，其框图如图1所示，输入x的
值为 时，输出y的值为3；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为4时，输
出y的值为5．(1)求出一次函数和二次函数的表达式；
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图2，
①当y随着x的增大而减小时，直接写出x取值范围________；
②若关于x的方程 （t为实数），在 时无解，求t的取值范围；
③若在函数图象上有M，N两个点（M，N不重合），点M的横坐标为m，点N的横坐标
为 ．当M，N之间（含M，N两点）的图象对应函数的最大值和最小值不随m的变
化而变化，直接写出m的取值范围：________________．
类型二、图像法解一元二次不等式
1．二次函数 的图象如图所示，则函数值 时，自变量x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D． 或
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于
两点，则不等式 的解集是3．已知抛物线的顶点坐标为 ，且图象经过点 ，交 轴于 、 两点，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求 、 点坐标，
(3)根据图象，当函数值 时，写出自变量 的取值范围．
类型三、滑行问题
1．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是
．有下列结论：
①飞机着陆后滑行时间t的取值范围是 ；
②飞机着陆后滑行40m才能完全停下来；
③飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10s滑行了450m．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．飞机着陆后滑行的距离 （单位：米）与滑行的时间 （单位：秒）之间的函数关系式
是 ，那么飞机着陆后滑行 秒停下．
3．小球以一定速度从发射口出发后沿直线轨道向前滑行．小球从发射口A出发后的滑行速
度m（米/秒）与滑行时间x（秒）满足： ．测得滑行距离y（米）与滑行时间
x（秒）的部分对应数据如下表所示：x 0 1
y 0 6 9
(1)①由表格中的数据可以推测出y是x的______函数（填“一次”，“反比例”或“二
次”）；
②求y与x的函数关系式；
(2)求小球滑行停止时，所滑行的距离和滑行的时间；
(3)若在小球滑行1秒时，遇到障碍物B后腾空飞行，此时小球的速度记为 ．小球腾空飞
行高度h（米）与腾空飞行时间t（秒）的关系为： ．请直接写出：当e满足
什么条件时，小球腾空的最大高度不低于1.25米．
类型一、图形运动问题
1．如图，在边长为 的正方形 中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的
速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以 的速度运动．当点Q到达
点B时，点P，Q同时停止运动．设 的面积为y（ ），运动时间为x（ ），下
列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A． B． C．
D．
2．如图1，在 中， ， ，动点 从点 ，出发以 的速
度沿折线 方向运动到点 停止，动点 以 的速度沿 方向运动到点 停
止．设 的面积为 ，运动时间为 ．表示 与 之间关系的图象如图2所示，则
当面积 时，对应的运动时间 的值是 ．
3．如图，在 中， ， ， ，点 为边 的中点．点 从点
出发，以3单位长度/s的速度沿 方向运动，到点 停止．当点 与 、 两点不重合
时，过点 作 交 于点 ，点 在点 右侧， ，以 、 为边作矩形．设点 的运动时间为 ．
(1)直接写出线段 长．（用含 的代数式表示）
(2)求当点 落在线段 上时 的值．
(3)设矩形 与 重叠部分图形面积为 ，求 与 之间的函数关系式．
类型二、面积最值问题
1．如图，在 中， ， ， ．动点 从点 开始以
的速度沿 边向点 运动；动点 从点 开始以 的速度沿 边向点 运动．
如果 ， 两点分别从 ， 两点同时出发，设运动时间为 秒．①当 时， 的面
积为 ；② 有两个不同的值，都使 的面积为 ；③ 面积的最大值为
；其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知抛物线 过点 ，点 ．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．（2）点C是 上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接 ， ，则 面
积的最大值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交
于点C，连接 ，对称轴为 ，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若连接 ，则 ________
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点 为顶点的四边形是矩形时，
请直接写出点Q的横坐标．
类型三、角度问题
1．如图，抛物线交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，抛物线的对称轴交
轴于点 ，交线段 于点 ，点 是抛物线上一点，且 ，则 的长为
（ ）
A． B． C． 或 D．
2．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 交 轴于点 ，过作 轴，交抛物线于点 ，点 为 上方抛物线上一点，连接 ，作 于
点 ．若 ，则点 的坐标为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过
点 、 的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，连接 、 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
(3) 是抛物线上的任意一点（不与点 重合），且点 的横坐标为 ，过点 作
轴于点 ，作 轴于点 ，当此抛物线在矩形 内部的点的纵坐标 随 的增
大而增大时，直接写出 的取值范围．
