文档文本内容
22.2 二次函数与一元二次方程
一、教学目标
【知识与技能】
了解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置
关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别，了解用图象法确定一元
二次方程的近似解的方法.
【过程与方法】
通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，
体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.
【情感态度与价值观】
进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题能力.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用
二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【教学难点】
一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等.
六、教学过程
（一）导入新课
出示课件2：以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：
m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-5t2．
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？（二）探索新知
探究一二次函数与一元二次方程的关系
出示课件5：⑴小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时
间？
学生板演：解：15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
解得t =1,t =3.
1 2
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
教师问：你能结合图形，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？
学生独立思考.
出示课件6：（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时
间？
学生板演：解：20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
解得t =t =2.
1 2
故当球飞行2秒时，它的高度为20米.教师问：你能结合图形，指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
学生独立思考.
出示课件7：（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行
时间？
学生板演：解：20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
教师问：你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?
学生独立思考.
出示课件8：（4）球从飞出到落地要用多少时间？学生板演：解：小球飞出时和落地时的高度均为0m，
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
解得t =0,t =4.
1 2
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
教师问：从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?（出示
课件9）
学生答：一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
教师举例说明：二次函数与一元二次方程关系．（出示课件10）
例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元
二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为
0，求自变量x的值．出示课件12：例 已知二次函数:y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的
值，可以看作解一元二次方程 .反之，解一元二次方程2x2-3x-5=0,
又可以看作已知二次函数 的函数值为0时自变量x的值.
学生答：2x2-3x-4=1；y=2x2-3x-5
解之得：x =-1，x =2.5
1 2
出示课件13：练一练：1.二次函数y=x2-3x+2，当x=1时，y= ;当
y=0时，x= .
2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为 ;与x轴的交点坐标为
.
学生自主思考后口答：1.0；1或2
2.(0,-1)；(0.5,0)和（-0.5,0）
探究二：利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况
教师问：观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点
的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得
出相应的一元二次方程的根吗？（出示课件14）
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.
学生自主思考后，教师加以指导：先画出函数图象---图象与x轴交点横坐
标是多少--对应一元二次方程的根是多少.（出示课件15）
教师问：由上述问题，你可以得到什么结论呢？（出示课件16）
学生思考后，师生共同总结：方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线
y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的
方程无实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象
与
x轴的位置关系.
出示课件19：观察图象，完成下表：抛物线与x轴 公共点横坐标 相应的一元二次方程的
公共点个数 根
y=x2－x＋1
y=x2－6x＋
9
y=x2＋x－2
生观察后，独立完成表格.
答案：0个；无；x2-x+1=0无解
1个；3；x2-6x+9=0，x =x =3
1 2
2个；-2,1；x2+x-2=0，x =-2,x =1
1 2
师生共同总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0根的关系（出示课件20）
二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0的
b2-4ac
的图象与x轴交点 根
有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0没有交点 没有实数根 b2-4ac＜0
出示课件21：例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数
m的值．
师生共同解决如下:
解：(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）令y=0，则（x-1）（mx-2）=0，即x-1=0或mx-2=0，解得
x =1,x = .当m为正整数1或2时，x 的值为整数，因为当m为2时，Δ=0，
1 2 2
抛物线与x轴只有一个交点，所以正整数m的值为1.
出示课件22：已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围
是 ．学生自主解决.
出示课件23-26：例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面
的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
学生自主思考后，师生共同解决.
解：⑴由抛物线的表达式得
即
解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
⑵由抛物线的表达式得
即
.
解得x =x =3.
1 2
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.
⑶由抛物线的表达式得
即
因为
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
出示课件28：如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷
水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的
直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？教师分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地
点D到A的距离.即y=0 .
学生独立解答：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5=0，
解得x =5，x =-1(不合题意舍去).
1 2
答：水流的落地点D到A的距离是5m.
探究三：利用二次函数求一元二次方程的近似解
x2 2x10
出示课件29：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.
教师分析：一元二次方程x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的
交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的
交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
师生共同解答.
出示课件30，31：解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象
可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器
进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见
在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求
精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故
x ≈-0.4.同理可得另一近似值为x ≈2.4.
1 2
教师总结归纳：一元二次方程的图象解法（出示课件32）
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,
分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x ≈-3,x ≈2.5.
1 2
出示课件33：根据下列表格的对应值:x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx -0.06 -0.02 0.03 0.09
+c
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24
C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26
学生口答：C
（三）课堂练习（出示课件34-41）
1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是
（ ）
A．abc＞0 B．2a+b＜0
C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根
2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0的近似根为( )A．x ≈－2.1，x ≈0.1 B．x ≈－2.5，x ≈0.5
1 2 1 2
C．x ≈－2.9，x ≈0.9 D．x ≈－3，x ≈1
1 2 1 2
3.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-
x2+2x+k=0的一个解x =3，则另一个解x = .
1 2
4.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x =－2，x = ，那么二次函数
1 2
y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
5.若一元二次方程 无实根，则抛物线
图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
6.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k<3 B．k<3且k≠0
C．k≤3 D．k≤3且k≠0
7.已知函数y＝(k－3)x²＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．8.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手
时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时
到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高
为3.1米，那么他能否获得成功？
参考答案：
1.C
2.B
3.-1
4.（-2,0）（ ,0）
5.A
6.D
7.解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
8.解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为 A(0， )，
B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝﹣
(x﹣4)2+4.
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝﹣ (7﹣4)2+4＝3，左边＝右
边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中.
⑵将x＝1代入函数关系式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
（四）课堂小结
1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？
2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？
（五）课前预习
预习下节课（22.3第1课时）的相关内容.
七、课后作业
1.教材习题22.2第1、2、3、4、6题.
2.配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题
的思路，然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的
关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引
导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外，通过观察图象直观理解、
解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法，重在让学生自主体会.
