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第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的）
1．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A： 是一次函数，不符合题意；
B： 是二次函数，符合题意；
C： 含有分式，不是二次函数，不符合题意；
D：当 时， 不是二次函数，不符合题意．
故选：B．
2．根据下列表格的对应值，判断方程 （ 为常数）的一个解 的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令 ，由二次函数的图像与 轴的交点横坐标是对应
方程 的解，判断当 时， 的图像与 轴有一个交点，即可求解．
【详解】解：令 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 的图像与 轴有一个交点，方程 有一个解的范围是 ．
故选：C．
3．若点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由二次函数 ，则它的对称轴为 ，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则 的值越大，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
4．在同一平面直角坐标系中，函数 和函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，进行判断即可．
【详解】解： A、由一次函数的图象可知， ，则： ，由二次函数的图象可知， ，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知， ，则： ，由二次函数的图象可知， ，对称轴在 轴右侧，当 时，
抛物线的对称轴为 ，在 轴左侧，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知， ，则： ，由二次函数的图象可知， ，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知， ，则： ，由二次函数的图象可知， ，当 时，抛物线的对称轴为
，在 轴左侧，符合题意；
故选D．
5．若抛物线 向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：抛物线 向右平移2个单位，所得的抛物线为 ，
平移后的顶点坐标为 ，根据题意可得 ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故选：B．
6．在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度 与飞行时间 满足二次函
数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，足球飞出 时，足球的飞行高度是 ，足球从飞出到落
地共用 ，则足球最大的飞行高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
根据题意，设 关于 的函数解析式为 ，当 时， ，当 时， ，运用待定系数
法可求出解析式，再运用顶点坐标公式即可求解．
【详解】解：设 关于 的函数解析式为 ，
依题可知：当 时， ，当 时， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∴顶点坐标的横坐标为： ，纵坐标为 ，
∴该函数的顶点坐标为 ，
∴足球最大的飞行高度是 ，
故选： ．
7．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴有两个交点，且这两个交点分别位于
轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当 时， 的值随 值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当 时，
【答案】D
【详解】解：由题意可得：方程 的两根异号，
∴ ，
解得 ，
∴二次项系数 ，开口向上，故A不符合题意；
∵ 的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当 时， ，
∴最小值为 ，故C不符合题意；
当 时， ，
∵ ，
∴此时 ，故D符合题意；
故选：D
8．如图所示，抛物线 的顶点为 ，与x轴的交点A在点 和 之间，以下结论：①
，② ，③ ；④y有最大值是3，其中正确的有（ ）个．（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：由图易知抛物线 与x轴有两个交点，即 有两个实数根，因此 ，
故①错误；
由图可知抛物线的对称轴为 ，因此 ，所以 ，故②正确；
由抛物线与x轴的交点A在点 和 之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点 和 之间，因此
当 时， ，故③正确；
由抛物线 的顶点为 ，可知y的最大值是3，故④正确；
综上可知，正确的有②③④，共3个，
故选C．
【点睛】本题主要考查根据二次函数判断式子的符号，属于中等题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的
关键．
9．如图，在 中， ， ，正方形 的边 与 在同一条直线上， ，将
沿 平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x， 与正方形 重合部分的
面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】解：当 时， 向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为 ，这是
一个二次函数，图象开口向上，对称轴为 轴；
当 时，重合部分是一个四边形，面积等于 的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：
，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为 ．
综上，选项A的图象符合题意，
故选：A．
10．如图，二次函数 的图象过点 ，对称轴为直线 ．有以下结论：
① ；② ；③若 ， 是抛物线上的两点，当 时， ；④点 ， 是
抛物线与 轴的两个交点，若在 轴下方的抛物线上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围为 ；⑤若
方程 的两根为 ， ，且 ，则
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象开口向上，与 轴相交于下半轴，对称轴为直线 ，可得 ， ， ，
即可判断 ；由抛物线的对称轴为直线 ，可得 ，当 时， ，得 ，
即可判断 ； 由 ， 是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知： ，当 时，
，即可判断 ；由 ， 到对称轴的距离为 ，当抛物线的顶点到 轴的距离不小于 时，在
轴下方的抛物线上存在点 ，使得 ，即 ，可得 ，所以 ，即可判断 ；抛物线与 轴的另外一个交点坐标为 ，得 ，若方程
，即方程 的两根为 ， ，则 、 为抛物线与直线 的两个交点的横
坐标，因为 ，所以 ，即可判断 ．
【详解】解： 由图象可知： ， ， ，
，故 正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
当 时， ，
，
，故 错误；
， 是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知： ，
当 时， ，
故 正确；
由题意可知： ， 到对称轴的距离为 ，
当抛物线的顶点到 轴的距离不小于 时，
在 轴下方的抛物线上存在点 ，使得 ，
即 ，
，
，
，
，
解得： ，故④正确；
∵对称轴为 ，抛物线过点∴抛物线与 轴的另外一个交点坐标为 ，
若方程 ，
即方程 的两根为 ， ，
则 、 为抛物线与直线 的两个交点的横坐标，
，
，故 错误；
故选：C．
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键．
把 代入 得 ，再利用整体代入的方法，即可求得结果．
【详解】解： 抛物线 与 轴的一个交点为 ，
，
，
，
故答案为： ．
12．已知二次函数 经过 ， ，二次函数 经过 ， ，则
．
【答案】
【分析】先根据 ， 且在 的图象上，求出对称轴，则可求出 的值，再由二次函数
经过 ， 求出 ， ，代入即可求解．【详解】解：∵ ， 且在 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∵二次函数 经过 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，抛物线经过坐标原点O，顶点 ，矩形 的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，
点A的纵坐标是 ，则矩形 的周长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．
先由题意得出抛物线的解析式为 ，然后将点A的纵坐标代入解析式得到 两点的坐标，进而
即可得解．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线经过坐标原点O，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，∵点A的纵坐标是 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴矩形 的周长 ，
故答案为： ．
14．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则
所获利润 （万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系： ；如果单独投资B种产品，则
所获利润 （万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系： ，如果企业同时对A、B两
种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ．
【答案】14万元
【详解】解：设投资A产品a万元，投资B产品 万元，利润为W万元，
则
；
∴当 时，能获得的最大利润；
故最大利润为14万元．
故答案为：14万元．15．如图， 中， 为 中点， 是边 上的动点， 从 出发向
运动，同时 以相同的速度从 出发向 运动， 运动到 停止，当 为 时， 的面积最大．
【答案】4
【详解】解：根据题意，设点 运动的距离 ，则点 运动的距离 ，
，
，
，
，
，
抛物线开口向下，当 时， 的面积最大，即当 时， 的面积最大，
故答案为：4．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．如图，抛物线分别经过点 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)直接根据图象写出当 时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．（1）设交点式 ，然后把C点坐标代入，求出 即可；
（2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
所以抛物线的解析式为 ，
即 ；
（2）由图像可得当 时，自变量x的取值范围为 或 ．
17．已知二次函数 ．
(1)画出这个二次函数的图象；
(2)根据表格图象可知，当 时，y的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，掌握相关知识点即可；
（1）列表、描点、连线即可作图；
（2）由图象可知：当 时，函数在顶点处取得最大值3，在 时取得最小值 ；即可求解；
【详解】（1）解：列表：
画出二次函数的图象如下：（2）解：由图象可知：当 时，函数在顶点处取得最大值3，在 时取得最小值 ；
∴y的取值范围是 ．
故答案为： ．
18．如图，对称轴为 的抛物线 与 轴相交于 、 两点，其中点 的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线 的解析式；
(3)求出 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又抛物线经过 ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：对于 ，
当 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，测得它的跨
度 为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到 中点O的距离）， 为7.2m，以 所在直线为x轴， 所在
直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为 ．(1)结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01）
(2)当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度 不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点
C到水面 的距离 只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2)需要采取紧急措施，理由见解析
【详解】（1）解：由已知可得，抛物线顶点 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，令 ，
得： ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ ，
故需要采取紧急措施．
20．如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边
上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为 米．
（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．
【答案】（1）y＝﹣2x2+8x+64；（2）4；（3）当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72
平方米
【详解】（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；
（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，
解得：x＝4，x＝0（不合题意，舍去），
1 2
答：BE的长为4米；
故答案为：4；
（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，
所以当x＝2时，y有最大值，
∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．
21．如图，点A、B在 的图象上．已知A、B的横坐标分别为 、4，直线 与y轴交于点C，连接
．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)求 的面积；
(3)若函数 的图象上存在点P，使 的面积等于 的面积的一半，则这样的点P共有________个．
【答案】(1) (2)6 (3)4【详解】（1）解：把 代入 ，得： ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
（3）如图，过 的中点作 的平行线，与抛物线的交点满足题意，再作该直线关于直线 的对称直线，与抛
物线的交点也满足题意；
即符合题意的 点有4个；
故答案为：4．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．已知抛物线 经过点 和点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求 的面积；
(3)当自变量x满足 时，此函数的最大值为p，最小值为q，求 的最小值，并求出对应
的m的值．【答案】(1)
(2)
(3) 时， 有最小值为
【详解】（1）解：已知抛物线 经过点 和点 ,
,
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）解： 时 ，
，
，
；
（3）解：当 时，
时，此函数的最大值为 ，
时，此函数的最小值为 ，
，
时， 的最小值为 ，
当 时，
时，此函数的最大值为 ，
时，此函数的最小值为 ，
，
时， 的最小值为 ，综上所述：
，
时， 有最小值为 ．
23．如图，抛物线 （b，c为常数）与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点 ，作直线 ．
若点P在线段 上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若 ，求此时点P的坐标；
(3)连接 ，若 是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解；
（2）求出 ，从而即可求出直线 的表达式为 ， 设点 ，则 ， ，
表示出 ， ．再根据 ，得出方程 ，求解即可；
（3）设点 ，分两种情况：当 时， ；当 时，过点C作 于点
H，则有 ，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，点 ，
∴ ，解得 ．
∴该抛物线的表达为 ；
（2）解：由（1）得：抛物线的表达式为 ．
当 时， ，解得 ， ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
代入 和 ，得 ．
解得 ．
∴直线 的表达式为 ，
设点 ，则 ， ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
整理，得 ，解得 ， （舍去）．
当 时， ．
∴点P的坐标为 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 轴，
∴ 轴．
∴ ．
由（2）知直线 的表达式为 ，
设点 ．如答图1．当 时， ．
∴ ，即 ，解得 ， （舍去）．
∴此时 ；
如答图2，当 时，过点C作 于点H，则有 ，
∴ ，解得 ， （舍去）．
∴此时 ．
综上，点P的坐标为 或 ．
