文档内容
22.1.1 二次函数 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.1.1 二次函数第1课时，内容包括：从实例中归纳出二次函数的概念及二次函数的辨析。
2.内容解析
教材中本课时的主要内容是通过对三个实际问题列方程，得到三个不同于以前学过的函数解析式，给
学生以疑问。让学生通过观察、探究与归纳，得到二次函数的概念，最后进行应用。本节内容体现了由特
殊到一般、数学建模、从具体到抽象以及分类讨论等思想方法。这样安排的目的有两个，一是让学生体会
生活中处处有数学，数学源于生活、又服务于生活的教学理念，体会数学就在我们身边的道理；二是从简
单的实际问题入手，激发学生学习数学的兴趣。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次函数的概念。
二、目标和目标解析
1.目标
1）理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。
2）从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何
用二次函数表示变量之间的数量关系，并通过合作交流体验学习数学的乐趣。
2.目标解析
本章是在学生学习了一次函数、正比例函数的基础上，进一步学习函数的知识，是函数知识螺旋发展
的一个重要环节。二次函数是初中阶段研究的一个非常重要的函数，在历年中考题中占有较大比例。同时，
二次函数和一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。通过进一步学习二次函数将为它们的解法提
供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。通过本节课的学习，学生能够掌
握二次函数的概念，为后续学习二次函数图像与性质打好基础，所以这节课在整个教材中具有承上启下的
重要作用。
二次函数是解决实际问题的一个有效手段，本节课只要求学生通过题目内容列出二次函数解析式，内
容较为简单。但需注意在后续学习利用二次函数解决实际问题中，二次函数解析式中自变量的取值范围一
定要从理论和实际中加以综合讨论和认定。
达成目标（1）的标志是：能正确判断二次函数。
达成目标（2）的标志是：根据实际问题列出二次函数关系式。
三、教学问题诊断分析1 1
学生在思考S=6a2 ，m= n2− n，y=20x2+40x+20的共同特征时，发现函数的特征不容易统一，所
2 2
以引导学生先回忆一次函数的定义，对比一次函数与以上等式的异同，发现以上等式：①等号左边是函数
②右边是关于自变量x的二次式 ③未知数最高次数是2。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从实例中归纳出二次函数的概念及二次函数的辨析。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】
1. 你还记得函数的概念吗？
2. 想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系？
3. 到目前为止我们学过了哪些函数？它们的关系式分别是怎样的？
师生活动：学生积极回答问题，教师给出正确答案。
【设计意图】先回顾函数的相关知识，为本节课学生学习二次函数做好铺垫。
（二）探究新知
【问题1】正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S ，则S与a之间有什么
关系？
S=6a2 ①
【问题2】n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数有什么关系？
1 1
m= n2− n ②
2 2
【问题3】某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。如果每一年都比上一年的
产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？
y=20x2+40x+20③
师生活动：学生积极回答问题。
【设计意图】以学生比较熟知的，贴近学生生活的例子引入课题，一方面可以提高学生的兴趣，另一
方面可以降低学生理解的难度。并且问题2、问题3在学习一元二次方程时学生已有接触，所以引入本课，
可以增强知识的延续性。
【提问】上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？
1 1
1）S=6a2 2）m= n2− n 3) y=20x2+40x+20
2 2
师生活动：教师引导学生共同归纳：
①等号左边是函数 ②右边是关于自变量x的二次式 ③未知数最高次数是2师：根据一次函数概念，尝试归纳二次函数的概念？
师生活动：先由学生尝试归纳总结，再由教师给出二次函数的概念：
一般地，形如y=ax²+ bx +c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，
a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
【提问】同学们，谈谈你对二次函数的理解，需要注意些什么？
1）含有一个自变量，且自变量的最高次数为2。
2）二次项系数不等于0。
3）等式两边都是整式。
4）一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数。
师生活动：先由学生回答，老师帮助引导与完善。
【设计意图】让学生经历合作探究过程，通过观察、发现、归纳，结合一次函数的概念概括二次函数
的概念，培养学生抽象概括的能力。再通过提问环节，引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到
本节课的学习中来。
师：尝试说出二次函数的特殊形式？
师生活动：先由学生回答，老师通过多媒体展示特殊形式类型：。
1)当b＝0时， y＝ax2＋c（a≠0）
2)当c＝0时， y＝ax2＋bx （a≠0）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （a≠0）
【设计意图】加深理解二次函数的概念。
（三）典例分析
例1 判断下列函数是否为二次函数，并说明原因？
1）y＝2x 一次函数
1
2）y= +x 不是整式方程
x
3）y＝x+5 一次函数
4）y＝(x+1)(x﹣3) 二次函数
5）y＝ (x+1)2 -x2 化简后为一次方程
例2 二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
【详解】解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．
例3 一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x(x>0)厘米，则面积随之增加y平方厘米，那
么y关于x的函数解析式为____．
【详解】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：（x＋2）厘米，
则面积为：（x＋2）2 平方厘米，
∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x．
故答案为：y＝x2＋4x．
师生活动：请学生积极回答，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题
过程中做到有的放矢，对症下药。
【设计意图】加深学生对二次函数的理解与掌握。
（四）知识归纳
【提问】如何根据实际问题列二次函数关系式？
一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式。
师生活动：通过归纳总结，使学生掌握根据实际问题列二次函数关系式的方法，在课堂上允许学生有
不同的见解，积极鼓励学生发言回答问题，调动学生学习数学的兴趣。
【设计意图】为后续学习教材22.3 实际问题与二次函数做好铺垫。
（五）针对训练
1．以x为自变量的函数：① ；② ；③ ；
y=(x+2)(x−2) y=(x+2) 2 y=1+2x−3x2
④ ．是二次函数的有（ ）
y=x2−x(x−1)
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【详解】
解：① ，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
y=(x+2)(x−2)=x2−4
② ，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
y=(x+2) 2
③y=1+2x−3x2，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④ ，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
y=x2−x(x−1)=x2−x2−x=−x
所以，是二次函数的有①②③，
故选：C．
2．下列关系中，是二次函数关系的是（ ）A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
【详解】
A.路程=速度×时间,所以当路程一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系;
B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系;
C.圆的面积=πr2,所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系;
D. 正方形的周长C=边长a×4, 故C与边长a之间是一次函数关系；
故选C.
3．一个边长为8cm的正方形，把它的边长延长xcm后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分
和面积增大的部分 分别是 的函数．求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；
y (cm) y (cm2 ) x(cm)
1 2
如果是二次函数，写出表达式中a，b，c的值。
【详解】
由题意得：y =4(8+x)−4×8=4x，此函数是正比例函数；
1
，此函数是二次函数，
y =(8+x) 2−82=x2+16x
2
其中a=1，b=16，c=0．
4.函数y=（kx-1）（x-3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
【详解】
∵y=(kx-1)(x-3)=kx2-3kx-x+3=kx2-（3k+1）x+3，
∴k=0时，y是x的一次函数，
k≠0时，y是x的二次函数．
[能力提升]
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
y=(m−1) 2x2 y=(m+1) 2x2
C． D．
y=(m2+1)x2 y=(m2−1)x2
【详解】
A、当m＝1时，(m－1)2＝0，函数y＝(m－1)2x2不是二次函数；
B、当m＝－1时，(m＋1)2＝0，函数y＝(m＋1)2x2不是二次函数；C、无论m取何值，m2＋1≠0，所以函数y＝(m2＋1)x2一定是二次函数；
D、当m＝1或－1时，m2－1＝0，函数y＝(m2－1)x2不是二次函数．
故选C．
2 已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
1）当m为何值时，此函数是一次函数？
2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【详解】
1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是一次函数，
∴m2+2m=0，m≠0，
解得：m=﹣2；
2）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
3 已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
y=(m2−m)xm2−2m−1+(m−3)x+m2
【详解】
根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【设计意图】通过配套练习，加深学生理解一次函数与二次函数的区别。
（六）直击中考
1．（2023·北京·校考模拟预测）线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线
段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的
运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数
关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系
【详解】解：由题意得，y=4t，属于正比例函数关系，
S=π（5-t）2，属于二次函数关系，
故选：C．2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校 校考模拟预测）如果函数 是二次函
y=(m+1)xm2−m+3
数，则m的值为______．
【详解】解：∵ 是二次函数，
y=(m+1)xm2−m+3
{ m+1≠0
{m≠−1
∴ ，解得： m=−1，
m2−m=2
m=2
∴m=2；
故答案为：2．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点。
（七）归纳小结
1.本节课你学到了哪些知识？用到了哪些数学思想方法？
2.关于二次函数，你想对你的同学说些什么？
3.函数y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数）当a、b、c满足什么条件时：
1）它是二次函数； a≠0
2）它是一次函数； a=0、b≠0
3）它是正比例函数。 a=0、b≠0、c=0
4.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？
（八）布置作业
P29:课后练习第2题
P41:习题22.1第1题和第2 题
五、教学反思
