文档内容
y= ax2
22.1.2.1 二次函数 的图象和性质
【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
【考点3 二次函数y=ax²图象性质】
【考点4 二次函数y=ax²平移规律】
【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【考点7 二次函数y=ax²图象及性质的实际应用】
考点 1 y=ax²的图象画法：
（1）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选
取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。
【解答】解：（1）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
（2）描点、连线：
．
二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称
（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，
当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象．【解答】解：列表得：
﹣2 ﹣1 0 1 2
﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4
y＝﹣x2
描点、连线可得图象为：
二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图象是一条抛物线（2）关于y轴对
称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，
当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
总结： y=ax²的图象的性质
|a|
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 来说， 越大，抛物线的开口越
小 y = ax²
【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】【典例1】二次函数 的图象是 ，它的对称轴是 ，顶点坐
标是 ，开口方向是 ．
【变式1-1】抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若二次函数 的图象经过点 ，则该图象必经过点（ ）
A． B．（ C． D．
【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
【典例2-1】已知二次函数y =﹣3x2， ， ，它们的图象开口由小到大的
1
顺序是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1
【典例2-2】已知抛物线 开口向上，则 的取值范围是 ．
【变式2-1】抛物线 开口方向（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【变式2-2】如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：① ；② ；③
；④ ．比较 的大小，用“ ”连接为 ．【变式2-3】把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1） 的图象是 ；
（2） 的图象是 ；
（3） 的图象是 ；
（4） 的图象是 （填序号①，②等）．
【考点3 二次函数y=ax²图象性质】
【典例3】关于函数y＝－3x2的性质的叙述，正确的是（ ）.
A．顶点是原点 B．y有最小值
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小
【变式3-1】关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
【变式3-2】抛物线 的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式3-3】若点A（2，m）在抛物线y=x2上，则m的值为（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
【变式3-4】抛物线 的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
【考点4 二次函数y=ax²平移规律】
【典例4】抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线
解析式为 ．
【变式4-1】若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到的抛
物线是 ．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个
单位，得到的抛物线的表达式是 ．
【变式4-3】把函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得
到函数的关系式是 ．
【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
【典例5】已知点 ， ， 三点都在抛物线 的图象上，则
、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】点 ， 在抛物线 上，则 （填“＞”，
“＜”或“＝”）【变式5-2】已知二次函数 的图象上有两点 ， ，且 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知点 ， 都在函数 的图象上，则 与 大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【典例6】如图，已知一次函数 的图象与二次函数 的图象
交于点 和 ．
(1) 求两个函数的解析式；
(2) 求 的面积．
【变式6-1】在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象大致
是（ ）A． B．
C． D．
【变式6-2】已知一次函数y＝ax＋b和二次函数 ，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，
图象可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】图，在正方形 中，已知：点A，点B在抛物线 上，点C，点D
在x轴上．
(1)求点A的坐标；
(2)连接 交抛物线于点P，求点P的坐标．考点2：二次函数y=ax²的图象及性质的应用
二次函数y=ax²的图象关于y轴对称，因此图象左右两部分折叠可以重合，在比较二次
函数大小时，我们可以根据图中点具有的对称性转变到同一变化区域；根据图象中函数值
高低去比较；对于不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形
以方便求解。
【考点7 二次函数y=ax²图象及性质的实际应用】
【典例7】如图， 的半径为2， 是函数 的图象， 是函数 的图象，
则阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．2π C．π D．无法确定
【变式7-1】二次函数 的图象如图所示，点 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上，
点 、 在函数图象上，四边形 为菱形，且 ，则点 的坐标为 ．
【变式7-2】在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知A点坐标为 ，
过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，依次进行下去，则
点 的坐标为 ．
【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函数 和
分别交于A、B和C、D四个点，若 ，则a的值是 ．
1
1．抛物线y=-x2,y=6x2,y= x2的共同性质是（ ）
4
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
1
2．抛物线y=-x2,y=6x2,y= x2的共同性质是（ ）
4
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点1
3．抛物线y=mx2与y=- x2的形状相同，而开口方向相反，则m的值是（ ）
2
1 1
A．- B．2 C．-2 D．
2 2
4．已知二次函数y=x2，则其图象经过下列点中的（ ）
A．(-2,4) B．(-2,-4) C．(2,-4) D．(4,2)
5．下列关于二次函数 y=2x2的叙述中，说法错误的是（ ）
A．y的最小值为0 B．当x<0 时，y随x的增大而增大
C．图象的对称轴是y轴 D．图象的顶点是原点
6．抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取
值范围是（ ）
1 1 1 1
A． ≤a≤1 B． ≤a≤2 C． ≤a≤1 D． ≤a≤2
4 2 2 4
7．若点 在二次函数 的图象上，则
A(-1，y )，B(2，y )，C(3，y ) y=2x2
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ”“<”或“=”）
1 2
14．如图，y=ax2的图象上可以看出，当-1≤x≤2时，y的取值范围是 ．
1
15．已知二次函数y= x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且
2
点A的横坐标为2，则AB的长度为 ．
16．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[0.8]=0，[-1.4]=-2，[-3]=-3，函数
的图象如图所示，则方程 的解为 ．
y=[x] [x]=-x2
