文档内容
22.1.1 二次函数 导学案
学习目标
1 理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。
2 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何用二次
函数表示变量之间的数量关系，并通过合作交流体验学习数学的乐趣。
重点难点突破
★知识点1：一般地，形如y=ax²+ bx +c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是
自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
★知识点2： 二次函数的特殊形式：
1)当b＝0时， y＝ax2＋c（a≠0）
2)当c＝0时， y＝ax2＋bx （a≠0）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （a≠0）
★知识点3：根据实际问题列二次函数关系式的方法：
一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式。
核心知识
1.一般地，形如____________________(其中___________是常数，a__________0)的函数叫做二次函数。
其中，_____________是自变量，a、b、c 分别是函数解析式的__________、_____________和
____________。
2. 二次函数的特殊形式：
1)当___________________时， y＝ax2＋c（a≠0）
2)当___________________时， y＝ax2＋bx （a≠0）
3)当___________________时， y＝ax2 （a≠0）
3.根据实际问题列二次函数关系式的方法：
一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的____________；
2）然后用题设的__________________表示这个等量关系；3）列出相应二次函数的关系式。
思维导图
引入新课
1.你还记得函数的概念吗？
2.想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系？
3.到目前为止我们学过了哪些函数？它们的关系式分别是怎样的？
新知探究
【问题1】正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S ，则S与a之间有什么关系？
【问题2】n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数有什么关系？
【问题3】某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？
【提问】上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？
【提问】同学们，谈谈你对二次函数的理解，需要注意些什么？
【提问】尝试说出二次函数的特殊形式？
典例分析
例1 判断下列函数是否为二次函数，并说明原因？
1）y＝2x
1
2）y= +x
x
3）y＝x+5
4）y＝(x+1)(x﹣3)
5）y＝ (x+1)2 -x2
例2 二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
例3 一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x(x>0)厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关
于x的函数解析式为____．
[针对训练]
1．以x为自变量的函数：① ；② ；③ ；
y=(x+2)(x−2) y=(x+2) 2 y=1+2x−3x2
④ ．是二次函数的有（ ）
y=x2−x(x−1)
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
2．下列关系中，是二次函数关系的是（ ）A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
3．一个边长为8cm的正方形，把它的边长延长xcm后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分
和面积增大的部分 分别是 的函数．求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；
y (cm) y (cm2 ) x(cm)
1 2
如果是二次函数，写出表达式中a，b，c的值。
4.函数y=（kx-1）（x-3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
[能力提升]
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
y=(m−1) 2x2 y=(m+1) 2x2
C． D．
y=(m2+1)x2 y=(m2−1)x2
2 已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
1）当m为何值时，此函数是一次函数？
2）当m为何值时，此函数是二次函数？
3 已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
y=(m2−m)xm2−2m−1+(m−3)x+m2感受中考
1．（2023·北京·校考模拟预测）线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段
AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形
APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校 校考模拟预测）如果函数 是二次函数，
y=(m+1)xm2−m+3
则m的值为______．
归纳小结
1.本节课你学到了哪些知识？用到了哪些数学思想方法？
2.关于二次函数，你想对你的同学说些什么？
3.函数y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数）当a、b、c满足什么条件时：
1）它是二次函数；
2）它是一次函数；
3）它是正比例函数。
4.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？
【参考答案】新知探究
【问题1】正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S ，则S与a之间有什么关系？
S=6a2 ①
【问题2】n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数有什么关系？
1 1
m= n2− n ②
2 2
【问题3】某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。如果每一年都比上一年的产量
增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？
y=20x2+40x+20③
【提问】上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？
①等号左边是函数 ②右边是关于自变量x的二次式 ③未知数最高次数是2
【提问】同学们，谈谈你对二次函数的理解，需要注意些什么？
1）含有一个自变量，且自变量的最高次数为2。
2）二次项系数不等于0。
3）等式两边都是整式。
4）一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数。
【提问】尝试说出二次函数的特殊形式？
1)当b＝0时， y＝ax2＋c（a≠0）
2)当c＝0时， y＝ax2＋bx （a≠0）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （a≠0）
典例分析
例1 判断下列函数是否为二次函数，并说明原因？
1）y＝2x 一次函数
1
2）y= +x 不是整式方程
x
3）y＝x+5 一次函数
4）y＝(x+1)(x﹣3) 二次函数
5）y＝ (x+1)2 -x2 化简后为一次方程
例2 二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 - 5 、 3 、 1 ．
例3 一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x(x>0)厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关
于x的函数解析式为____．【详解】
解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：（x＋2）厘米，
则面积为：（x＋2）2 平方厘米，
∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x．
故答案为：y＝x2＋4x．
[针对训练]
1．以x为自变量的函数：① ；② ；③ ；
y=(x+2)(x−2) y=(x+2) 2 y=1+2x−3x2
④ ．是二次函数的有（ C ）
y=x2−x(x−1)
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
2．下列关系中，是二次函数关系的是（ C ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
3．一个边长为8cm的正方形，把它的边长延长xcm后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分
和面积增大的部分 分别是 的函数．求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；
y (cm) y (cm2 ) x(cm)
1 2
如果是二次函数，写出表达式中a，b，c的值。
【详解】
由题意得：y =4(8+x)−4×8=4x，此函数是正比例函数；
1
，此函数是二次函数，
y =(8+x) 2−82=x2+16x
2
其中a=1，b=16，c=0．
4.函数y=（kx-1）（x-3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
【详解】
∵y=(kx-1)(x-3)=kx2-3kx-x+3=kx2-（3k+1）x+3，
∴k=0时，y是x的一次函数，
k≠0时，y是x的二次函数．
[能力提升]
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ C ）A． B．
y=(m−1) 2x2 y=(m+1) 2x2
C． D．
y=(m2+1)x2 y=(m2−1)x2
2 已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
1）当m为何值时，此函数是一次函数？
2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【详解】
1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是一次函数，
∴m2+2m=0，m≠0，
解得：m=﹣2；
2）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
3 已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
y=(m2−m)xm2−2m−1+(m−3)x+m2
【详解】
根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
感受中考
1．（2023·北京·校考模拟预测）线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段
AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形
APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ C ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校 校考模拟预测）如果函数 是二次函数，
y=(m+1)xm2−m+3
则m的值为____2__．
【详解】解：∵ 是二次函数，
y=(m+1)xm2−m+3
{ m+1≠0
{m≠−1
∴ ，解得： m=−1，
m2−m=2
m=2
∴m=2；
故答案为：2．
归纳小结
1.本节课你学到了哪些知识？用到了哪些数学思想方法？
2.关于二次函数，你想对你的同学说些什么？
3.函数y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数）当a、b、c满足什么条件时：
1）它是二次函数； a≠0
2）它是一次函数； a=0、b≠0
3）它是正比例函数。 a=0、b≠0、c=0
4.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？
