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22.1.1 二次函数 分层作业
基础训练
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A、 符合二次函数的定义，本选项符合题意；
B、 是一次函数，不符合题意；
C、 是反比例函数，不符合题意；
D、 不是二次函数，不符合题意；
故选：A．
2.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当 时，不是二次函数，不符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
D、y=x2+ 中 不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
3．以x为自变量的函数：① ；② ；③ ；④ ．是
二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【详解】解：① ，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
② ，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③ ，符合二次函数的定义，故②是二次函数；④ ，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故选：C．
4．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
5．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为
圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与
t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系
C．一次函数关系， 二次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系
【详解】解：根据题意得 ， ，
即 ，是一次函数；
⊙A的面积为 ，即 ，是二次函数
故选C
6．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝
0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝ πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝ gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R
为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是
二次函数，故选C．
7．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y＝3x—1；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）
【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．
（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．
（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x．
（6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式．
故（2）（4）是二次函数．
8．如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
9．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，
绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2 ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，BC=x
∴AB= ．
根据题意得： ，因为墙长25米，所以 ．
10．已知函数 是关于x的二次函数，求满足条件的m的值．
【详解】解∶根据题意得∶ ，且 ，
解得m=5，
即满足条件的m的值为5．
11．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．
（1）若这个函数是一次函数，求k的值；
（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？
【详解】解：（1）若这个函数是一次函数，
则k2﹣k＝0且k≠0，
解得k＝1；
（2）若这个函数是二次函数，
则k2﹣k≠0，
解得k≠0且k≠1．
能力提升
1．线段 ，动点 以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段 运动至点 ．以点A为圆心、
线段 长为半径作圆心角为 的扇形 ，以线段 为边作等边 ．设点 的运动时间为t，扇形 的弧 的长为 ，等边 的面积为S，则 与 ， 与 满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系
【详解】解：设点 的运动时间为t，则 ， ，
则 ，
，
∴ 与 ， 与 满足的函数关系分别是正比例函数关系，二次函数关系，
故选：B．
2．已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
(1)函数为二次函数；
(2)函数为一次函数．
【详解】（1）当 时，函数为二次函数，
解得：a=±1，a≠-1，
∴a=1；
（2）当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
．
拔高拓展1．已知 ．
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
【详解】（1）由 是关于x的一次函数，
得 解得 ．
所以当 时，它是y关于x的一次函数．
（2）由 是关于x的二次函数，得
① ，解得 ；
② ，解得 ；
③ 解得 ；
④ ，解得 或 ．
综上所述，当m的值为4或 或 或0或1时，它是y关于x的二次函数．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速
度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到
达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．
(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？
(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？
【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C=30°，∴CD=2DF，AC=2AB，
∵AC＝30cm，
∴AB=15cm，
根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，
∴DF=2tcm，
∴DF=AE，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，
即30-4t=2t，解得：t=5；
（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，
∴ ， ，
由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，
∴
