文档内容
期中检测考点分类专题（解答题十大题型分类精析）
人教版九上
考查范围：第二十一章：一元二次方程 第二十二章：二次函数 第二十三章：旋转
目录
第一部分：计算与证明（基础巩固）............................................................................................1
【题型1】解一元二次方程..................................................................................................................1
【题型2】利用二次函数的性质求解...................................................................................................1
【题型3】旋转的基本求值与证明.......................................................................................................3
第二部分：应用与证明（综合提升）............................................................................................4
【题型4】根的判断式与根与系数关系综合.......................................................................................4
【题型5】一元二次方程根的应用.......................................................................................................5
【题型6】二次函数与几何综合..........................................................................................................7
【题型7】二次函数与实际问题..........................................................................................................8
第三部分：跨章节综合拓展（培优拓展）...................................................................................10
【题型8】 二次函数与一元二次方程综合.......................................................................................10
【题型9】二次函数与一次函数综合.................................................................................................11
【题型10】二次函数与旋转综合......................................................................................................13
第一部分：计算与证明（基础巩固）
【题型1】解一元二次方程
【例题1】（24-25九年级上·湖北·期中）解下列方程：
（1） （2）
【变式1】（25-26九年级上·广东·期中）用适当的方法解下列方程：
（1） （2）
【变式2】（25-26九年级上·陕西·期中）解方程：
（1） ； （2）
【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期中）按要求解方程：
（1） （配方法）． （2） （因式分解法）．
【题型2】利用二次函数的性质求解【例题2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数 （ 是常数）
（1）若 ，
①该函数的顶点坐标为___________；
②当 时，该函数的最大值___________；
③当 时，该函数的最大值为___________；
（2）当 时，该函数的最大值为4，则常数 的值为___________．
【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数 的图象与 轴
的交于 、 两点，与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的表达式及 点坐标；
（2） 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
【变式2】（24-25九年级上·广西河池·期中）函数 的图象如图所示，结合图象回答下
列问题：
（1）方程 的两个根为 ；
（2）当 时，则x的取值范围为 ；当 时，则变量y的取值范围为 ；
（3）若方程 有实数根，则k的取值范围是 ．【变式3】（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知二次函数 ．
（1）把函数配成 的形式；
（2）求函数与x轴交点坐标；
（3）用五点法画函数图象．
x … …
y … …
根据图象回答：
（4）当 时，则x的取值范围为 ．
（5）当 时，则y的取值范围为 ．
【题型3】旋转的基本求值与证明
【例题3】（24-25九年级上·广东韶关·期中）在 中， 是线段
上的动点．连接 ，将 绕点 逆时针旋转 至 的位置．连接 ，试按要求解答下列
问题：
（1）求证： ；
（2）求 的度数；【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，将 绕C点逆时针旋转一定角度 （
）后得到 ，点 恰好为 的中点．
（1）若 ，则旋转角 的值为 ；
（2）若 ，求 的长．
【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在 中， ． 绕点 逆时针旋转，
旋转角为 ，点 为点C的对应点．
（1）请用尺规作图法画出旋转后的 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【变式3】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图1， 为等边 内一点，将线段 绕点
逆时针旋转 得到 ，连接 ， 的延长线与 交于点 ，与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2） ________度；
（3）如图2，连接 ， 平分 吗？请说明理由．
第二部分：应用与证明（综合提升）【题型4】根的判断式与根与系数关系综合
【例题4】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若 ，求k的值；
（2）求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【变式1】（25-26九年级上·广东·期中）已知关于 x 的方程 有两个实数根．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）若这两个实数根的平方和等于9，求 k 的值．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若 为该方程的两个实数根，且满足 ．
①求k的值；
②若菱形 的一条对角线 的长为 ，另一条对角线 的长为 ，求菱形 的面
积．
【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）当 时，解该一元二次方程；
（2）求证：无论 为何实数，方程总有实数根；
（3）若 是方程的两个实数根，且 ，求 的值．
【题型5】一元二次方程根的应用
【例题5】（24-25九年级上·江苏·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风
貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街
区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子
定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价 元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子____________把（用含 的代数式表示）；
②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子
应降价多少元？
【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃 ．
苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，
分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，
设苗圃 的一边 长为 米．
（1） 长为________米（包含门宽，用含 的代数式表示）
（2）若苗圃 的面积为 ，求 的值；
（3）苗圃 的面积是否可以达到 ，请说明理由．
【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙
对面有一个 米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长 米，围成的长方形的鸡场除门之外四周
不能有空隙．
（1）若墙长为 米，要围成的鸡场的面积为 平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的鸡场的面积可能达到 平方米吗？
（3）若墙长为 米，对建 平方米面积的鸡场有何影响？
【变式3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为
固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品
生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包
装、运输等费用．
问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产
量（个）的关系如下表所示．成本
15100 15200 15300 15400 15500 …
（元）
生产量
1 2 3 4 5 …
（件）
（1）该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________．
（2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量 （个）与销售单价 （元/个）之间的对
应关系如图所示：
①销量 与销售单价 之间的函数关系式；
②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？
【题型6】二次函数与几何综合
【例题6】（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线 与 轴交于 、 两点
（点 在点 左方），与 轴相交于点 ，直线 经过点 、 ．
（1）求 的长度；
（2）点 为直线 下方抛物线上一点，当四边形 面积最大时，求点 的坐标．
【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线 与抛物线 交
于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．【变式2】（24-25九年级下·宁夏·期中）如图，抛物线 与 轴交于 两点，
与 轴交于点C．已知点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）第一象限内的抛物线上有一动点 ，使 的面积最大，求点 的坐标和 面积的最大
值；
（3）对称轴与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，求点
的坐标．
【变式3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线 与x轴交于 ，
B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点 ，直线 与x轴交于点
D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作 轴，垂足为P，交直线 于点 N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为
顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标．【题型7】二次函数与实际问题
【例题7】（2024·河北·模拟预测）如图，一女排运动员在比赛中将球从 处发出，把球看成
点，其运行的高度 与运行的水平距离 近似满足函数关系 ．已知球网与O
点的水平距离为 ，球网的高度为 ，球场的边界距O点的水平距离为 ．
（1）c的值为 ．
（2）当 ， 时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由．
（3）当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围．
【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·期中）跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强
心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预
防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线
解析式的二次项系数为 ．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米．
（1）请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表
达式；
（2）若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4
米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？【变式2】（24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、
热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，
其中一边靠墙（如图），另外三边用长为 的篱笆围成．已知墙长为 ，设这个矩形劳动实践
基地垂直于墙的一边的长为 ，其中 ，平行于墙的一边的长为 ，矩形劳动实践
基地的面积为 ．
（1）请直接写出 与 ， 与 的函数关系式；
（2）当 时，求垂直于墙的一边长；
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过 ，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳
动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
【变式3】（24-25九年级下·湖南·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营
销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售
量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式
（不必写出x的取值范围）．
（2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？
第三部分：跨章节综合拓展（培优拓展）
【题型8】 二次函数与一元二次方程综合
【例题8】（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知抛物线 经过 ， 两点．
（1）求b的值；（2）当 时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若方程 的两实根 ， 满足 ，且 ，求p的最大值．
【变式1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图：在平面直角坐标系中，抛物线
（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为 ，点P是抛物线上一点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，y的取值范围是________________；
（3）将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低
点的纵坐标之差为d，当 时，求m的值．
【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A，B两点，与 轴交于点 ，抛物线
的对称轴与 轴交于点 ．已知 ，点 是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．
设点 的横坐标为 ．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标．
（2）点P运动到什么位置时， 的面积最大，求出此时 点坐标和 的最大面积．【变式3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）九年级“数学兴趣小组”对函数 的图象和
性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实效，x与y的几组对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m 0 0 3 …
其中， ______；
（2）根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函
数图象的另一部分；
（3）进一步观察探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程 有______个实数根；
②方程 有______个实数根；
③关于x的方程 有4个实数根时，a的取值范围是______．
【题型9】二次函数与一次函数综合
【例题9】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线 与x轴交于 ，
B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点 ，直线 与x轴交于点
D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作 轴，垂足为P，交直线 于点 N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为
顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标．【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）若一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于A，C
两点，点B的坐标为 ，二次函数 的图象过A，B，C三点，如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，过点C作 轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若 恰好平分
，求直线 的表达式．
【变式2】（2022九年级下·西藏·专题练习）如图，抛物线 的图象交x轴于A，B两
点，交y轴于点C，直线 经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接 ，求 面积的最大值，并求出此时点
P的坐标．
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使 的周长最短？若存在，请直
接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
经过点 ，其对称轴为直线 点P是此抛物线上的点，其横坐标为 ，连
接 ，取 的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接 ．
（1）求此抛物线对应的函数关系式；
（2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而
增大时，直接写出m的取值范围；
（3）当 的边与x轴平行时，求 的面积．
【题型10】二次函数与旋转综合
【例题10】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 与x轴分别交于 、
两点，与 轴交于点 ，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线上一点，且 ，求点 的坐标；
（3）点 为抛物线第一象限上一点，连 、 ，若 ，求点 的坐标．【变式1】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，点 为拋物线上一点，且横坐标为1，连接
， ．
（1）求拋物线的解析式；
（2）如图1，点 是第三象限内抛物线上的一个动点，点 为 轴上一个动点．过点 作
交 于点 ，连接 交 于点 ．当 最大时，求 的最大值．
（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线 方向平移，使平移后的拋物线经过点 ，点
为平移后抛物线上一点， ，连接 ， ．点 为平面内任意一点，将 绕点
旋转 后得到对应的 （点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ）．若
中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点 不与点 重合），求点 的坐标．
【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与
轴交于点 ，抛物线 恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 的坐标是 ，将线段 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ．
①若点 在此抛物线上，求出 的值及相应 点的坐标；
②若点 是 轴上的任一点，当 取最小值时，求点 的坐标．
【变式3】（22-23九年级上·全国·期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
抛物线 过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线上位于 上方的一点，过点 作 于点 ，作 轴交 于点 ，
当 的周长最大时，求点 的坐标；
（3） 是平面内的一点，在（2）的条件下，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，当
时， 的两个顶点恰好落在抛物线上，求点 的横坐标．
