文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷
强化卷·考试版
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
1
A．y＝x+ B．y＝3（x﹣1）2
2
1
C．y＝ax2+bx+c D．y = - x
x2
2．一元二次方程3x2+1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣6，1 B．3，1，6 C．3，6，1 D．3，1，﹣6
3．用配方法解一元二次方程 x2+2x﹣2＝0 时，原方程可变形为（x+h）2＝k 的形式，则 h+k 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知二次函数y＝﹣3x2+12x﹣15，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
5．已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
6．如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为36m、宽为22m的矩形，为了方便管理，要在中间开
辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为 700m2，则小路的宽
为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意可列方程（ ）A．（36﹣x）（22﹣x）＝700 B．（36﹣x）（22﹣2x）＝700
C．（36+x）（22+2x）＝700 D．（36﹣2x）（22﹣x）＝700
7．二次函数y＝bx2+2b2x﹣6（b为常数，且b≠0）的图象经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则该二次函数
（ ）
A．有最大值﹣7 B．有最小值﹣7
C．有最小值﹣5 D．有最大值﹣5
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的
三角形说法正确的是（ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长c所对的角是90° D．边长a所对的角是90°
10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的解是x ＝1，x ＝﹣3，则另一个关于x的方程a（x+3）2+b
1 2
（x+3）﹣c＝0的解是（ ）
A．x ＝2，x ＝6 B．x ＝﹣2，x ＝﹣6
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝3 D．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
11．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数
据（单位：m）如图所示，某学习小组探究之后得出如下结论：①水面宽度为30m；
1
②抛物线的解析式为y= x2-5；
25
③最大水深为3.2m；
1
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 ．
3
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b+2a＝0；③a
﹣b＜m（am+b）（m≠﹣1）；④ax2+bx+c＝0两根分别为﹣3，1；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的项有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．下列选项：①x+1＝3﹣2x；②x2﹣4x+6＝0；③（2x+2）2＝4x2﹣2x+1；④（x﹣1）（x+3）＝0；
1 2
⑤ + -1=0．其中是一元二次方程的是 （填序号）．
x2 x
14．医保局第十批药品集采政策出台后，某种药品原价100元/盒，经过连续两轮降价后，现在仅卖49
元/盒．若两轮降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 ．
15．已知△ABC的两边长为3和6，若第三边的长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则该三角形的第三条边
长为 ．
16．已知点A（﹣1，y ），B（﹣3，y ），C（7，y ）均在二次函数y＝﹣x2+8x+m（m为常数）的图象上，
1 2 3则y ，y ，y 三者之间的大小关系是 ．（用“＞”连接）
1 2 3
√b √a
17．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b❑ +a❑ = ．
a b
1 3
18．如图，抛物线y= x2- x-2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，
2 2
0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点
A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时
点C'的坐标为 （点C'不与点A重合）．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣6；
（2）4x2﹣20x+25＝7；
（3）3x2﹣4x﹣1＝0；
（4）x2+2x﹣4＝0．
20．（8分）二次函数y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2），与y轴相交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的顶点是M，求△AMC的面积．
21．（8分）已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣1．
（1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
22．（8分）湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的
四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一
批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书
签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．
（1）求每件文化衫和每个书签的进价．
（2）社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．
社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？
23．（10分）【阅读材料】
方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0是一个一元四次方程，我们可以把x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝
y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①．
解方程①可得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1，即x2＝2，∴x=±❑√2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，即x2＝5，∴x＝±❑√5；
∴原方程的解为 ， ， ， ．
x =❑√2 x =-❑√2 x =❑√5 x =-❑√5
1 2 3 4
【解决问题】
（1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的（选填“降次”或“消
元”），体现了数学的转化思想；
（2）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，求x2+y2的值；
（3）请仿照材料中的方法，解方程：（x2﹣2x）2﹣4（x2﹣2x）＝0．
24．（10分）已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+1经过点A（1，a），将抛物线向左平移k个单位长度，再
向下平移k个单位长度（k＞0），再次经过点A．
（1）若a＝0时，求m的值．
（2）求m与k的关系式．
（3）当2≤x≤m+2时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围．
25．（10分）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数
式最大值，最小值等．例如，求代数式x2+2x﹣3的最小值．x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，
可知，当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4．请同学们利用配方法解决下列问题：
（1）请比较多项式2x2+2x﹣3与x2+3x﹣4的大小，并说明理由；
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+10b+33有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣4c+20＝0，求a+b+c的值．
26．（10分）一次足球训练中，小华从球门正前方11m的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．
当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为
原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球．
（2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是 2.25m，小明需要站在至多距离球门多远的地方才可能防守住这次射门？
（3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将
足球向球门方向移动一定距离，为争取时间避开防守，他采取吊射（即足球越过最高点下落）的方式射
门，他最多可以向球门移动 m．（结果精确到0.1m，参考数据：❑√6.72≈2.592）
