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第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是
A．（1，0） B．（2，0） C．（-2，0） D．（-1，0）
【答案】C
2．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是
A．无解 B．x=1 C．x=-4 D．x=-1或x=4
【答案】D
【解析】如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是（-1，0），（4，0），∴关于x的方程
x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4．故选D．
3．已知函数 的图象如图所示，那么关于x的方程 的根的情况是
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数 D．有两个同号不等实数根
【答案】D【解析】∵ 的图象与 x 轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是-3，∵方程
，∴ 时，即是y=-2求x的值，由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选D．
4．根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是
A．30，∴二次函数图象与x轴的交点个数为2．故选A．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是__________．
【答案】m>1
【解析】∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，∴方程x2+2x+m=0没有实数根，∴判别式
Δ=22−4×1×m<0，解得m>1．故答案为：m>1．
[来源:学科网]
7．若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为__________．
【答案】4
【解析】二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x=-1，
1
x=3，则AB=|x-x|=4．故答案为：4．
2 2 1
8．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网ZXXK]
y … 10 5 2 1 2 …则当y<5时，x的取值范围是__________．
【答案】00的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（4）∵抛物线y=ax2+bx+c经过（1，0），（2，2），（3，0），
∴ ，解得：a=−2，b=8，c=−6，
∴−2x2+8x−6=k，移项得−2x2+8x−6−k=0，
Δ=64−4×（−2）（−6−k）>0，
整理得：16−8k>0，
∴k<2时，方程ax2+bx+c=k有两个相等的实数根．
10．已知抛物线y=-x2+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
[来源:学科网ZXXK]（2）若抛物线与x轴的交点A（x，0）、B（x，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交y轴的正半
1 2
轴于C，求抛物线的解析式．
即（x +x）2-4xx=16，
1 2 1 2
由根与系数关系得x+x=m，xx=2m-7，
1 2 1 2
∴m2-4（2m-7）=16，
即m2-8m+12=0，
解得m=2或m=6，
∵抛物线交y轴的正半轴于点C，
∴7-2m>0，
∴m<3.5，
∴m=6舍去，即m=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
