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专题 20-1 数据的集中趋势
1.掌握平均数、中位数、众数的概念，会求一组数据的平均数、中位数、众数；
2.在加权平均数中，知道权的差异对平均数数的影响，并能用加权平均数解释现实生活中的一些简单现象；
3.理解平均数、中位数、众数的差别，初步体会他们在不同情景中的应用。
【知识点】
1
(x +x +¿⋅¿+x )
x n 1 2 n
1)算术平均数：一般地，有n个数x，x，…，x，那么 = 。简称平均数。
1 2 n
算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平。
注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数。
1
(x +x +¿⋅¿+x )
x n 1 2 n
2)结论：若 = ； = 。
x x
则：①x±y，x±y，…，x±y 的平均数为 ± ；②x，y，x，y…，x，y 的平均数为 ( + )。
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
x
③ax+b，ax+b，…，ax+b的平均数为a +b。
1 2 n
x x
∵ax，ax，…，ax 的平均数为a ； ∴x+b，x+b，…，x+b的平均数为 +b。
1 2 n 1 2 n
3)加权平均数：一般地，若n个数x，x，…，x 的权分别是ω，ω，…，ω，则叫做这n个数的加权平均
1 2 n 1 2 n
数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1。
注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆.
知识点01 平均数
【知识拓展1】算术平均数1
例1．．(2022·海南省直辖县级单位·七年级期末)某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示，那么在这6天内用水量高于平均用水量的是( )
A．第一天 B．第三天 C．第四天 D．第五天
【即学即练】
1．(2022·绵阳市初三月考)某中学宪法知识竞赛计分办法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余成绩
平均得分就是选手得分．7 位评委给杨明同学的打分分别是：82，84，85，90，86，85，90．杨明得分是
________分．
2．(2022·成都市·九年级期中)某校在开展“节约每一滴水”的活动中，从八年级的100名同学中任选20名
同学汇总了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如表：
节水量
人数/名 6 2 8 4
请你估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是( )
A． B． C． D．
【知识拓展2】算术平均数2
例2．(2022·浙江·宁波市八年级期末)若 ， ， ， 的平均数为 ， ， ， ， 的平均数为 ，
则 ， ， ， 的平均数为 ( )
A． B． C． D．
【即学即练】
1．(2022·山东威海·八年级期中)某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为
15，所求得的平均数为83，则实际平均数是( )
A．80 B．83.5 C．86 D．82.5
2．(2022·东营市九年级模拟)已知：2，4，2x，4y四个数的平均数是5；5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则x2+y3＝______．
【知识拓展3】算术平均数3
例3．(2022·浙江温州·八年级期中)已知样本数据 的平均值为4，则样本数据
的平均值为__________．
【即学即练】
1．(2022·福建安溪·八年级期末)已知一组数据x ，x ，x 的平均数为7，则3x +2，3x +2，3x +2的平均数为(
1 2 3 1 2 3
)
A．7 B．9 C．21 D．23
【知识拓展4】算术平均数4
例4．(2022·广西贺州·八年级期末)数据10，3，a，7，5的平均数是6，则a等于( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
【即学即练】
1．(2022·浙江杭州·一模)已知五个数a，b，c，d，e，它们的平均数是90，a，b，c的平均数是80，c，d，
e的平均数是95，那么你可以求出______(a，b，c，d，e选填一个)，它等于_____．
2．(2022·湖南·长沙市第十五中学八年级期末)一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
【知识拓展5】加权平均数
例5．(2022·河南·八年级期末)某建筑公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班(如下雨)发基
本工资80元/天，如果小张某月(30天)正常上班的天数为20天，则小张该月日平均工资为( )
A．140元 B．160元 C．176元 D．182元
【即学即练】
1．(2022·湖南怀化·八年级期末)一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占
60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的
物理最少要考( )分
A．86 B．88 C．90 D．92
2．(2023·江苏泰州市·九年级一模)某快餐店某天销售3种盒饭的有关数据如图所示，则3种盒饭的价格平
均数是_____元．知识点02 中位数和众数
【知识点】
1)中位数：将一组数据从小到大(或从大到小)排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据
是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数。
注：①所有数据需排列(从大到小或从小到大)；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中
间水平。
2)众数：一组数据中出现次数最多的数据.
注：①众数不一定唯一；②众数反应了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量。
【知识拓展1】中位数
例1．(2022·湖北·武汉九年级阶段练习)初三(8)班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果
如图所示：则这40名同学投掷实心球的成绩的中位数是______．
成绩(分) 6 7 8 9 10
正 正
正
人数 正 正 正
一
一
【即学即练1】
1．(2023·广东·惠州市九年级开学考试)小燕的父亲近六个月的手机话费(单位：元)如下：81，75，70，64，
98，92．这组数据的中位数是________．
2．(2022·浙江·一模)丽水市九县(市、区)的人数统计如下表，这些表示人数的数据中，中位数是( )
县域 莲都区 青田县 缙云县 遂昌县 松阳县 云和县 庆元县 景宁县 龙泉市人数(万人) 56.2 50.9 40.5 19.4 20.5 12.9 14.3 11.1 24.9
A．19.4万 B．24.9万 C．20.5万 D．14.3万
【知识拓展2】众数
例2．(2022·福建·福州立志中学九年级阶段练习)福州市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测
量体温，九(5)班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数是________．
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
体温(℃) 36.2 36.2 36.5 36.3 36.2 36.4 36.3
【即学即练2】
1．(2022·福建九年级开学考试)已知一组数据为1，10，6，4，7，4，则这组数据的众数为_____．
2．(2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试)小张同学的射击成绩为5，7，9，10，7，则这组
数据的众数是______．
【知识拓展3】统计量的选择-中位数
例3．(2022·河北·石家庄九年级阶段练习)在一次15人参加的歌唱比赛中，预赛成绩各不同要取前8名参加
决赛杨超越已经知道自己的成绩，她想知道自己是否能进入决赛，只需要再知道这15名选手成绩的( )
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【即学即练】
1．(2022·河南洛阳·八年级期末)在一次数学测试中，小明的成绩是75分，超过本班半数同学的成绩，分析
得出这个结论所用的统计量是( )
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
2．(2022·福建·莆田八中八年级期末)为了方便市民出行，打造健康莆田，莆田市政府推出“You Bike微笑自
行车”的社会公共服务项目．微笑自行车运营管理公司经过调查获得关于微笑自行车租用骑行时间的数据，
并由此制定了收费标准：若每次租用单车骑行a小时以内，则不收取费用；若超过a小时后，超过部分每
小时收费1元．为保证不少于50%的骑行是免费的，自行车运营管理公司应从此次调查得到的骑行时间的
数据中，选取下列哪个统计了作为a的值( )
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【知识拓展4】统计量的选择-众数
例4．(2022·河北秦皇岛·八年级期末)某幼儿园对全体小朋友爱吃哪种粽子做调查，以决定最终买哪种口味的粽子，下面的调查数据最值得关注的是( )
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【即学即练】
1．(2022·浙江衢州·八年级期末)一家鞋店对上周某一品牌的销售情况统计如下表：
尺码(厘米) 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量(双) 2 5 11 7 3
该店决定本周进鞋时多进些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是( )．
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．(2022·浙江杭州·八年级阶段练习)“冰墩墩”热潮持续不断，店家为合理进行资金分配，对上月各类型的
爆款数量进行数据统计分析，从而确定各款商品批发数量，此时店家应重点参考( )
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【知识拓展5】中位数与众数综合
例1．(2022·江苏·九年级月考)一组数据﹣1，3，1，2，b的唯一众数为﹣1，则这组数据的中位数为__．
【即学即练】
1．(2022·浙江湖州·八年级期末)若一组数据1，5，2，3，x，y的平均数为3，众数也为3，则这组数据的中
位数为_________．
2．(2022·湖北黄石·八年级期末)一组2，2x，y，12中，唯一的众数是12，平均数是10，这数据的中位数是
_______．
【知识拓展6】平均数、中位数、众数的综合运用
例6．(2022·北京门头沟·七年级期末)一组从小到大排列的数据：2，5，x，y ，2x，11，这组数据的平均数
与中位数都是7，则这组数据的众数是( )
A．2 B．5 C．7 D．11
【即学即练】
1．(2022·福建·厦门八年级期末)已知一组数据由五个正整数组成，它的中位数和众数都是2，则这五个数的
和的最小值是( )
A．7 B．8 C．9 D．102．(2022·江苏·九年级专题练习)五个正整数，中位数是 ，众数是 ，则这五个正整数的平均数是______ ．
题组A 基础过关练
1．(2022·海南·七年级期末)某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示，那么在这6天内
用水量高于平均用水量的是( )A．第一天 B．第三天 C．第四天 D．第五天
2．(2022·广西贺州·八年级期末)数据10，3，a，7，5的平均数是6，则a等于( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2022·河南·八年级期末)某建筑公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班(如下雨)发基本
工资80元/天，如果小张某月(30天)正常上班的天数为20天，则小张该月日平均工资为( )
A．140元 B．160元 C．176元 D．182元
4．(2022·江苏·无锡市九年级阶段练习)为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水
量，结果如表，则关于这若干户家庭的用水量，下列说法错误的是( )
月用水量/吨
户数/户
A．众数是 B．平均数是
C．调查了 户家庭的月用水量 D．中位数是
5．(2022·河南驻马店·八年级期末)杨靖宇将军纪念馆“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位
选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评
分，5个有效评分与7个原始评分相比．这两组数据一定不变的是( )
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．以上都不对
6．(2022·成都市·九年级单元测试)为了解体育锻炼情况，班主任从八(5)班45名同学中随机抽取8位同学开
展“1分钟跳绳”测试，得分如下(满分15分)：15，10，13，13，8，12，13，12，则以下判断正确的是(
)
A．这组数据的众数是13，说明全班同学的平均成绩达到13分；
B．这组数据的中位数是12，说明12分以上的人数占大多数；
C．这组数据的平均数是12，可以估计全班同学的平均成绩是12分；
D．以上均不正确．
7．(2022·黑龙江·木兰县八年级期末)某同学求30个数据的平均数时，漏加了一个数据50，正确计算出这
29个数据的平均数为20，则实际30个数据的平均数为__________．8．(2020·浙江·金华市南苑中学九年级期中)今年某果园随机从甲、乙两个品种的苹果树中各选了5棵，每
棵产量(单位：千克)如表所示：
1 2 3 4 5
甲 23 19 21 22 27
乙 18 26 20 23 28
明年准备从这两个品种中选出一种产量较高的苹果树进行种植，则应选的品种是__________．
9．(2022·辽宁盘锦·八年级期末)某校为推荐一部作品参加科技创新比赛，对甲、乙、丙三位学生的候选作
品进行量化评分，具体成绩如表，如果按照创新性占60%，实用性占40%，根据成绩择优在甲、乙、丙中
推荐一部作品，则应推荐的作品为 _____.(填“甲”、“乙”或“丙”)
项目作品 甲 乙 丙
创新性 85 95 90
实用性 90 85 90
10．(2022·甘肃·九年级期末)某初中毕业班有男生25人，女生29人，在一次数学测验中，男生成绩的中位
数是79，且中位数的频率为0.04；女生成绩的中位数是80，且中位数的频数是1，若学生成绩均为整数，
大于或等于80分为优秀，则这次测验全班学生成绩优秀率为_____．
11．(2022·浙江·九年级开学考试)北京冬奥会女子大跳台决赛的打分规则；6名裁判打分，去除一个最高分
和一个最低分，剩余4个分数的平均值为该选手成绩．下表是中国选手谷爱凌第一跳的得分情况，其中裁
判4，裁判5的打分(分别为94分和a分)被去除．
裁判1 裁判2 裁判3 裁判4 裁判5 裁判6 成绩
94分 94分 94分 b分 93.75分
请根据表中信息，解决以下问题；(1)求b的值．(2)判断a是否最低分并说明理由．
(3)从平均数的特征说说打分规则中去除一个最高分及一个最低分的合理性．
12．(2022·河北保定·九年级期末)某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了20名
工人每天每人加工零件的个数，整理得到如下统计表和条形统计图．
平均
统计量 众数 中位数
数
数值 19.2根据以上信息，解答下列问题：(1)分别求 ， 的值；(2)为调动积极性，该部门根据工人每天加工零件的
个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让60%左右的工人能获奖，应根
据______来确定奖励标准比较合适(填“平均数”、“众数”或“中位数”)；(3)该部门规定：每天加工零
件的个数达到或超过21个的工人为生产能手，若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
题组B 能力提升练
1．(2022·山东济宁·八年级期末)x、x、……、x 的平均数为m，x 、x 、……、x 的平均数为n，则x、
1 2 10 11 12 50 1
x、……、x 的平均数为( )
2 50
A．m+n B． C． D．
2．(2022·辽宁葫芦岛·八年级期末)将一组数据的每一个数都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则
原来那组数据的平均数为( )
A．31 B．30 C．1 D．29
3．(2022·河北·石家庄九年级阶段练习)某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼，规定体育科目学期成绩满
分100分，其中平时表现(早操、课间操)、期中考试和期末考试成绩按比例 计入学期总成绩．甲、乙
两名同学的各项成绩如下：( )
学生 平时表现/分 期中考试/分 期末考试/分
甲 96 91 86
乙 82 97 90A．甲、乙二人的总成绩都是90分 B．甲、乙二人的总成绩都是89分
C．甲的总成绩是90分，乙的总成绩是89分 D．甲的总成绩是89分，乙的总成绩是90分
4．(2022·河北·北师大石家庄长安实验学校九年级阶段练习)某公司共有51名员工(包括1名经理)，经理的
工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去
年一样，则这家公司所有员工今年的工资与去年相比，集中趋势相同的是( )
A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数
5．(2022·贵州黔东南·八年级期末)某装配车间为了较合理地确定每名工人标准目产量，车间管理者从过去
的工作日中随机地抽查了该车间15名工人在某一天中各自装配机器的数量(单位：台)，具体如下：6，7，
7，8，8，8，8，9，10，10，11，13，15，15，16．根据抽样的数据，车间管理者将每名工人标准日产量
定为9台，其依据是统计数据中的( )
A．最大数据 B．众数 C．中位数 D．平均数
6．(2022·云南昆明·八年级期末)一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，
则该组数据的平均数是( )
A．3.6 B．3.2或3.8 C．3.4或3.6 D．3.2或3.6
7．(2022·黑龙江牡丹江·八年级期末)一组数据为1，3，2，2，a，b，c，唯一众数是3，平均数是2，则这
组数据的中位数是_______．
8．(2022·河北·邢台市开元中学八年级阶段练习)已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是5，则另一
组新数组 、 、 、 、 的平均数是_____．
9．(2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中)某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个
数据105输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___．
10．(2022·北京·垂杨柳中学八年级期中)一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和
90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____(填“面试”或“笔试”)的权重较大．
11．(2022·浙江·余姚市兰江中学八年级期中)浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有
甲、乙两名学生，他们各自的三类成绩(已折算成满分100分)如表所示：
学生 学业水平测试成绩 综合测试成绩 高考成绩
甲 85 89 81
乙 88 81 83
(1)如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？(2)“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综合成绩按“学业水平测试成绩
×20%+综合测试成绩×20%+高考成绩×60%”计算形成，那么哪位同学排名靠前？
12．(2022·广东湛江·八年级期末)某跳水训练基地为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水
运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是 ，图①中m的值为 ；
(2)请把条形统计图补充完整；(3)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习)有5个正整数 ， ， ， ， ，某数学兴趣小组的同学对5个
正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．
① ， ， 是三个连续偶数 ，② ， 是两个连续奇数( )，③ ．
该小组成员分别得到一个结论：
甲：取 ，5个正整数不满足上述3个条件；乙：取 ，5个正整数满足上述3个条件；丙：当 满足“ 是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
丁：5个正整数满足上述3个条件，则 ， ， 的平均数与 ， 的平均数之和是10p(p为正整数)；
以上结论正确的个数有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2022·浙江杭州·八年级期中)已知数据1，2，3，4的平均数为 ；数据5，6，7，8的平均数为 ；
与 的平均数是k；数据1，2，3，4，5，6，7，8的平均数为m，那么k与m的关系是( )
A． B． C． D．不能确定
3．(2022·福建·厦门市海沧区北附学校八年级期末)为了绿化环境，柳荫街引进一批法国梧桐．三年后这些
树的树干的周长情况如图所示．计算这批法国梧桐树树干的平均周长时，下列式子最合理的是( )
A． B．
C． D．
4．(2022·河北邢台·九年级期末)现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，增加一个数x后，这列数的中位数仍
不变．则x可能是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．(2022·浙江杭州·八年级期中)一组数据为1，3，5，12，x，其中整数x是这组数据的中位数，则该组数
据的平均数可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6．(2022·广东湛江·八年级期末)两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并
为一组数据，则这组新数据的众数为________．
7．(2022·重庆·九年级阶段练习)A，B，C，D，E，F六人按顺序围成一圈做游戏，每人抽一个数，已知每人按顺序抽到数字的两倍与其他五个人的平均数之差分别为9，10，13，15，23，30，则C抽到的数字是
垫江第八中学校______．
8．(2022·湖北宜昌·八年级期末)国家统计局2022年6月10日公布了2022年1至5月全国居民消费价格指
数上涨为1.5%，其中城市上涨1.6%，农村上涨1.2%，请问在全国居民消费价格指数构成中，城市的权重
为__________．(百分比)
9．(2022·吉林·长春南湖实验中学七年级阶段练习)把自然数1，2，3，…，99分成三组，如果每一组的平
均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是 _____．
10．(2022·福建九年级开学考试)新世纪百货茶江商都统计了30名营业员在某月的销售额，统计图如图，根
据统计图中给出的信息，解答下列问题：
(1)设营业员的月销售额为x(单位：万元)，商场规定：当x＜15时为不称职，当15≤x＜20时为基本称职，
当20≤x＜25为称职，当x≥25时为优秀．称职和优秀的营业员共有的人数为 ．
(2)根据(1)中规定，所有称职以上(称职和优秀)的营业员月销售额的中位数为 ，平均数是多少？
(写出计算平均数的解答过程)
(3)为了调动营业员的工作积极性，决定制定月销售额奖励标准，凡到达或超过这个标准的营业员将受到奖
励．如果要使得称职以上(称职和优秀)的营业员有一半能获奖，你认为这个奖励标准应定月销售额为多少
元合适？并简述其理由．
11．(2022·江苏盐城·中考真题)合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育．综合实践小组为了解某
校学生膳食营养状况，从该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，调查数据整理如下：中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值
蛋白质 10%~15%
脂肪 20%~30%
碳水化合物 50%~65%
注：供能比为某物质提供的能量占人体所需总能量的百分比．
(1)本次调查采用___________的调查方法；(填“普查”或“抽样调查”)
(2)通过对调查数据的计算，样本中的蛋白质平均供能比约为14.6%，请计算样本中的脂肪平均供能比和碳
水化合物平均供能比；
(3)结合以上的调查和计算，对照下表中的参考值，请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议．
