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第二十二章 二次函数
【知识点01】二次函数的概念
一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （a，b，c是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数
【知识点02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： y = ax 2 + bx + c （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： y = a （ x – h ） 2 + k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： y = a （ x – x ）（ x – x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【知识点03】二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x = –顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而减小； 当x<– 时，y随x的增大而增
增减性
当x>– 时，y随x的增大而增大 大；当x>– 时，y随x的增大而
减小
【知识点04】二次函数的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后
的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当 y = 0 时，就变成了一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交点 的横坐标．
3）（1） b 2 – 4 ac > 0 ⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点 ；
（2） b 2 – 4 ac = 0 ⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴有且只有一个交点 ；
（3） b 2 – 4 ac < 0 ⇔方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点 ．
【知识点06】用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
易错点1 利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0”
1.易错总结：求二次函数待定系数时，易因忽略二次项系数 a\neq0 出错。比如设 y = ax^2 + bx + c 形
式，若没考虑 a 取值，会导致函数不是二次函数，得出错误结果 。
2.注意事项：确定二次函数待定系数，先明确二次项系数 a ，必须保证 a\neq0 ，再求解其他系数。解
题后检查，确认二次项系数符合 a\neq0 ，避免因遗漏条件致错 。
例题1．当 时，函数 是二次函数．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如 （ ）的函数是二次函数．
【详解】解：由题意可知： ，
解得
又∵ ，即 ，
综上所述：
故答案为 ．
易错点2 利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论
1.易错总结：利用二次函数增减性求待定系数时，常因未对二次项系数 a 的正负（即开口方向）分类讨
论，导致增减性判断错误，进而使待定系数求解出错，忽略不同开口下增减性的差异。
2.注意事项：先根据 a 的正负，分 a>0（开口向上）、a<0（开口向下）两类讨论增减性。结合自变量取
值范围与对称轴位置，对应增减性确定函数值变化，精准求解待定系数。
例题2．已知二次函数 （ 是常数），当自变量 时，函数有最大值为10，则
．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分 、和 三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
又∵当自变量 时，函数有最大值为10，
∴当 即 时， 时取最大值，即 ，
解得 ，
当 即 时， 号时取最大值，即 ，
则
∵ ，方程没有实数根，
当 时即 ， 时取最大值，即 ，
解得
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
易错点3 二次函数与一元二次方程的交点问题
1.易错总结：处理二次函数与一元二次方程交点问题时，易忽略二次项系数 a≠0 ，导致函数不是二次函
数；或未结合判别式△判断交点个数，误判方程解与函数图象和 x 轴交点的关系。
2.注意事项：先确认二次函数 y = ax2 + bx + c 中 a≠0 ，保证是二次函数。利用判别式△= b2 -
4ac ，判断方程ax2+ bx + c = 0 根的情况，对应函数与 x 轴交点个数 。
例题3．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线 ．
（1） 的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移 个单位长度后，在 范围内与 轴只有一个交点，
则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由题意可知 ，求出 的值即可；（ ）由题意可知平移后函数解析式为 ，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可
求解．
【详解】（ ）由题意可知 ，
解得 ，
故答案为： ；
（ ）由题意可知平移后函数解析式为 ，
当顶点在 轴上时， ，
解得 ，即需向上平移 个单位长度，不符合条件；
由于抛物线关于 对称，
∴抛物线在 内对称，
若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与 轴交点只能在 ，
故当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．
易错点4 利用二次函数解决实际问题中最值问题
1.易错总结：在利用二次函数解决实际问题的最值问题时，一是容易忽略自变量的实际取值范围，直接套
用二次函数顶点坐标公式求最值，得到不符合实际情况的结果；二是没有正确分析二次函数的开口方向，
导致对函数增减性判断失误，从而找错最值点。
2.注意事项：明确实际问题中自变量的取值范围，结合函数图象在该范围内的单调性来确定最值。准确判
断二次项系数的正负，确定函数开口方向，再依据自变量取值范围，精准找出能使实际问题取得最值的点。
例题4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4
元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷8元的价格销售，当每卷售价为6元时，每
天售出贴纸900卷；当每卷售价为7元时，每天售出贴纸850卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸
的数量 （卷）与每卷售价 （元）满足一次函数关系．(1)求每天销售贴纸的数量 （卷）与每卷售价 （元）满足的函数关系式；
(2)当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)当每卷售价定为8元时，每天获利最大，最大利润为3200元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系
式是解题的关键．
（1）设出解析式，并利用待定系数法求解即可；
（2）设利润为W元，根据利润等于单卷贴纸的利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，利用二次函
数的性质求解即可．
【详解】（1）解；设每天销售贴纸的数量 （卷）与每卷售价 （元）满足的函数关系式为
，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设利润为W元，
由题意得，
，
∵ ，
∴当 时，W随x的增大而增大，又∵ ，
∴ 时， ，
答：当每卷售价定为8元时，每天获利最大，最大利润为3200元．
易错点5 二次函数中的新定义型综合问题
1.易错总结：解二次函数新定义型问题时，常因未吃透新定义内涵，直接套用旧知识导致错解；或忽略新
定义中隐含的二次函数基本特征（如二次项系数非零），使推理偏离前提。
2.注意事项：先逐字分析新定义，明确其与二次函数知识的关联，转化为熟悉的函数问题。解题中紧扣二
次函数定义，验证是否满足 a≠0 等基本条件，确保逻辑严谨。
例题5．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线 的顶点坐标满足条件 ，
那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线 的顶点坐标为 ，此时由于 ，
，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．
(1)如果抛物线 是“优雅”抛物线，求 的值．
(2)如图，把（1）中的抛物线 向下平移得到抛物线 ，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，顶点为点 ，
对称轴与 轴交于点 ．
①点 在 延长线上，点 是 轴上一点，且四边形 是矩形，求点 的坐标．
②如果抛物线 为“优雅”抛物线，它的顶点 在 轴上，抛物线 与 交于点 ，且
，求抛物线 的解析式．
【答案】(1)(2)① ；②
【分析】（1）抛物线的对称轴为直线 ，则顶点坐标为 ，即可求解；
（2）①由点 的坐标得，直线 的表达式为 ，可得 ，四边形 是矩形，
由 解得 ，进而可得 ， ，由于 是 的中点，从而求出
点坐标；
②抛物线 为“优雅”抛物线，求出 ，由于 ，可得 ，结合
，求出 ，联立 与 ，求得 坐标，进而求出 的解析式．
【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为直线 ，则顶点坐标为 ，
即 ，
；
（2）解：①如图：由（1）知，点 ，设 ，
， ， ，
，
，
四边形 是矩形，，
，
，
， ，
，
② ，
，
，
，
，
，
，
， ，
解方程组 ，得 ， ，
将 代入 得： ，
解得
，1．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果 是二次函数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如
（a、b、c是常数， ）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为
2，二次项系数不能为0，可知 ， ，由此可解．
【详解】解： 函数 是二次函数，
， ，
解 得： 或 ，
解 得： ，
，
故答案为： ．
2．若 是关于x的二次函数，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条
件．利用二次函数定义进行解答即可．
【详解】解：由题意可知 ， ，
解得： ．
故答案为：2．3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数 ，当 时，若y的最大值与最小值
之差为8，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．
分三种情况：①当 时，即 ；②当 且 时，即 ；③当
时，即 ，．分别求解即可．
【详解】解：当 时， ，
①当 时，即 ，
时，y取得最小值，此时 ； 时，y取得最大值，此时 ；
，解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意；
②当 且 时，即 ，此时最小值为 ，
当 取得最大值时， ，
，解得： ，
∵ ， ，
∴ 不符合题意；
∴ 符合题意；
当 取得最大值时， ，
，解得： ，
∵ ， ， ，∴ 符合题意， 不符合题意，
∴ ；
③当 时，即 ，
时，y取得最小值，此时 ； 时，y取得最大值，此时 ；
，解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意；
综上所述，当 时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
4．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数 ，当 时，函数
的最小值为1，则 的值为 ．
【答案】0或3/3或0
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在 时， 随 的增大而减小；在 时， 随 的增
大而增大，所以分类讨论：当 时，则把 代入 ，当 时，把 代入
，进行计算即可作答．
【详解】解：∵函数 ，
∴二次函数的顶点坐标为 ，开口向上，
则在 时， 随 的增大而减小；在 时， 随 的增大而增大；
当 时，函数 的最小值为1，
∴当 时，则把 代入 ，
得 ，解得 （舍去），
∴当 时，把 代入 ，
得 ，
解得 （舍去），
综上： 的值为0或3．
故答案为：0或3．
5．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点 ，点 ，若抛物线
与线段 有两个不同的交点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线和直线的交点问题，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先求得交点坐标为： 和 ，然后分 和 进行讨论，然后即可求解；
【详解】解：已知点 ，点 ，
∴线段 在直线 上面，
联立方程组： ，
解得： ， ，
∴交点为 和 ，
由于线段 的 范围为： ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ， ，均在 之间，且 ，保证两点不同，
当 时， ，在 之间，但是 不在 之间，仅有一个交点，
综上所述：抛物线 与线段 有两个不同的交点，则 的取值范围是： ；
故答案为： ；6．（2025·安徽六安·二模）把函数 的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分
的图象不变，得到函数 的图象．
（1）函数 的顶点为 ．
（2）若函数 与函数 有3个交点，则b的值为 ．
【答案】 5或
【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，翻折的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标
特征，一元二次方程根的判别式确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出
函数图象是解本题的难点．
（1）把解析式化成顶点式即可求解；
（2）先根据原抛物线的解析式得出翻折后得出新图象的解析式，进而画出图象，结合图形确定出直线的
位置即可求出b的值．
【详解】解：（1） 函数 ，
函数 的顶点为 ；
故答案为： ；
（2）当 时， ，解得 ， ，
则抛物线 与x轴的交点为 ， ，
把抛物线 图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为
，顶点坐标 ，
如图，当直线 过点B时，直线 与该新图象恰好有三个公共点，
，解得 ，
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该新图象恰好有三个公共点，
即 有相等的实数解，整理得 ，
则 ，
解得 ，
所以b的值为5或 ；
故答案为：5或 ．
7．（2025·安徽合肥·三模）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点 是这个
函数的“二倍点”，已知二次函数 ．
（1）若点 是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是 ，
（2）若此函数有两个相异的“二倍点” 、 ，且 ，则k的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解同值点的定义，并根据定义列
方程求解．
（1）根据题意将点A代入确定 ，再由 “二倍点”的定义得出方程求解即可；（2）根据题意得出 ， ，然后利用一元二次方程的解及根与系数的关系求解
不等式即可．
【详解】解：（1）把点 代入 中得 ，
解得 ，
，
∴
根据题意得： ，
解得： ，
当 时， ，
∴
，
∴
故答案为：
（2）∵二次函数 图象上有两个相异的“二倍点” 、 ，
∴二次函数 与直线 有两个交点 、 ，
联立 得 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ；
，
∵
∴ ， ，
解得 ，综上所述，
故答案为： ．
二、解答题
8．某奶茶店用3000元按批发价购入一批椰果奶茶原料．若将原料批发价降低 ，则可多购买500杯椰
果奶茶所需原料．市场调研显示：该奶茶每杯售价8元时，每日可售出320杯；每杯每涨价1元，日销量
减少20杯．该奶茶每杯的配料、包装等其它成本为2元．
(1)该奶茶每杯原料成本是多少元？
(2)若销售该奶茶每天的利润为1920元，且销量尽可能大，该奶茶每杯售价是多少元？
(3)为了让利给顾客，该奶茶店决定每杯椰果奶茶涨价不超过5元，问该奶茶一天最大的销售利润是多少元？
【答案】(1)2元
(2)12元
(3)每杯椰果奶茶涨价不超过5元，一天最大的销售利润是1980元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用．
（1）设该奶茶每杯原料成本是x元，根据将原料批发价降低 ，则可多购买500杯椰果奶茶所需原料，
列出分式方程，解方程即可；
（2）设该奶茶每杯售价是a元，根据销售该奶茶每天的利润为1920元，列出一元一次方程，解方程并根
据问题的实际意义作出取舍即可；
（3）设该奶茶一天的利润为W元，每杯奶茶的售价为a元，根据题意得
，再根据二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）解：设该奶茶每杯原料成本是x元，由题意得 ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
答：该奶茶每杯原料成本是2元；
（2）解：设该奶茶每杯售价是a元，由题意得 ，
化简得 ，
解得 ， ，销量尽可能大，
答：该奶茶每杯售价是12元；
（3）解：设该奶茶一天的利润为W元，每杯奶茶的售价为a元，依题意得
，
每杯椰果奶茶涨价不超过5元，
．
时，W随a的增大而增大，
当 时，W有最大值为1980，
答：每杯椰果奶茶涨价不超过5元，一天最大的销售利润是1980元．
9．（24-25九年级下·江西抚州·期中）坐落于江西省南昌市赣江之畔的滕王阁，不仅是中国四大名楼之一，
也是国家重点风景名胜区．景区内的官方纪念品店销售一系列精美的手工艺品及地方特产，包括一种颇受
欢迎的儿童木质拼图．该拼图的成本价固定为40元/件，依据景区规定，销售利润必须限制在进价的50%
以内．近期的销售数据表明，当拼图定价为50元时，每日销量可达350件，然而，每当价格提升5元，销
售数量便会随之减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于50元）．
(1)当这种木质拼图以最高价出售时，每天的销售量为多少件？
(2)求这种木质拼图每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
(3)当销售单价为多少元时，该景区销售这种木质拼图每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
(2)
(3)当销售单价为60元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是5000元．
【分析】本题主要考查二次函数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出函数关
系式是解题的关键．
（1）先求出最高价，算出比50元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用
350减去少卖的件数即可解答；
（2）用含x的式子表示出每件木质拼图的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以
每天的销售量，据此列出函数关系式即可；（3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值并求解即可．
【详解】（1）解：每件的最高价为 （元），
（件）．
答：当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件．
（2）解：
∴w与x的函数关系式 ；
（3）解：
∵销售利润必须限制在进价的50%以内，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线的对称轴是 ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∴当 时，w有最大值，w的最大值为5000，
∴当销售单价为60元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是5000元．
10．（24-25九年级上·辽宁·期末）定义：若函数 和函数 的图象关于直线 对称，则称函数 和
关于直线 互为“友好函数”，函数 和 的图象交点叫做“友好点”．
例如：函数 关于直线 的“友好函数”为 ，“友好点”为
．
(1)求函数 关于直线 的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；
(2)函数 关于直线 的“友好点”的纵坐标为 ，当 时，求 的取值范围；(3)函数 关于直线 的“友好函数”为 ，“友好点”为 ．函数 的图象
的顶点为 ，与 轴交点为 ，函数 的图象的顶点为 ，与 轴交点为 ，函数 与 的图象组成的
图形记为 ．
①若 ，判断 的形状，并说明理由；
②若 ，求 的值；
③点 ，点 ，若 与线段 有且只有两个交点，直接写出 的值或取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3)① 是等腰直角三角形．理由见解析；② 或 ；③ 或 或
【分析】（1）根据“友好函数”的定义即可求解；
（2）由题易得 ，再根据 的取值范围即可得到 的范围；
（3）①当 时可得 和 的表达式，从而得到 、 、 的坐标，再根据图形性质易得其是等腰直
角三角形，或者由勾股定理逆定理亦可证明；
②用含 的式子表示出 和 的表达式，进而得到 、 、 的坐标，然后可得到 和 的长度，最
后根据 ，建立方程求解即可；
③分类讨论，开口向上或者开口向下，画出图形，找出临界值代入求解即可．
【详解】（1）解： ，
顶点 ，它关于直线 的对称点为 ，
“友好函数”为 ，
两个函数图象关于直线 对称，
其交点必在直线 上，将 代入 中， ，
“友好点”坐标为 ；（2）解：由题意得 ，
，
关于 的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为 ，
当 时， 有最小值 ，
当 时， ，当 时， ，
；
（3）解：① 是等腰直角三角形，
当 时， ，
，
，
，
当 时， ，
，
如图，直线 是线段 的垂直平分线，点 在直线 ，
，
设直线 交线段 于点 ，则 ，
，
， ．
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；② ，
，
在 中，当 时， ，
，
在 中，当 时， ，
，
，
将 代入 中， ，
，
点 ， 的纵坐标相同，
，
，
，
当 时， ，
；
当 时， ，
；
综上所述， 的值为 或 ；
③第一种情况， ，
如图，当“友好点”恰好在线段 上时，此时“友好点”坐标为 ，将 代入 得，
，
解得 ，
此时 ，与 轴恰好交于点 ，
当 时， 与线段 会有3个交点，
当 时， 与线段 有且只有两个交点；
，如图，当 的两个顶点恰好在线段 上时，
，
，
，
即当 时， 与线段 有且只有两个交点；
第二种情况： ，
此时 ，则 与 轴交正半轴，如图，当 经过点 ，此时 经过点 ， 与线段 有两个交点，
当 向下平移时，则 与 依然会有两个交点，
，
，
，
即当 时， 与线段 有且只有两个交点；
综上， 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形
结合是解题的关键．
