文档内容
专题 01 集合及其运算
目录一览
2023真题展现
考向一 交集的运算
考向二 集合间的关系
真题考查解读
近年真题对比
考向一 交集的运算
考向二 交、并、补集的混合运算
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 交集的运算
1．（2023•新高考Ⅰ）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}
【答案】C．
解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，
N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．
考向二 集合间的关系
2．（2023•新高考Ⅱ）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A B，则a＝（ ）
⊆
A．2 B．1 C． D．﹣1
【答案】B．
解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，
当a﹣2＝0时，解得a＝2，
此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；
当2a﹣2＝0时，解得a＝1，
此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司 1【命题意图】理解元素与集合的属于关系；会求两个集合的并集、交集与补集。
【考查要点】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本
运算、充要条件是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对
集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题
的能力．
【得分要点】
解集合运算问题应注意如下三点：
（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；
（2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；
（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
考向一 交集的运算
1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x| ＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0≤x＜2} B．{x| ≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x| ≤x＜16}
【答案】D．
解：由 ＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x| ＜4}＝{x|0≤x＜16}，
由3x≥1，得x ，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x }，
∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x }＝{x| ≤x＜16}．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}
【答案】B．
解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B＝{x|0≤x≤2}
∴A∩B＝{1，2}．
3．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2，3，4} B．{3，4} C．{2，3} D．{2}
【答案】C．
解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{2，3}．
考向二 交、并、补集的混合运算
4．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩ B
U
＝（ ）
∁
学科网（北京）股份有限公司 2A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}
【答案】B．
解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以 B＝{1，5，6}，
U
故A∩
∁ U
B＝{1，6}．
∁
分析近三年的新高考试题，可以发现数学试题的前1~2题都是考查集合的基本运算，只是每年考查的切入
点不同，但实质都是集合的最基本知识，属于送分题，偶尔会变换形式进行考查，预计2024年还是主要体
现在集合的基本运算上。
1．（2023•梅河口市校级一模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2，4}，则A∩B＝（
）
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，2} C．{1，2} D．{1，2，4}
【答案】C．
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，{﹣2，﹣1，1，2，4}，
∴A∩B＝{1，2}．
2．（2023•麒麟区校级模拟）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则（ A）∩B
R
＝（ ）
∁
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{0}
【答案】A．
解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴ A＝{x|﹣1≤x≤1}，（ A）∩B＝{﹣1，0，1}．
R R
3．（ ∁2023•河南模拟）已知集 ∁ 合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，4，5}，B＝{1，3，5}，则A∩ U B
（ ）
∁
A．{ 2，4} B．{4，6} C．{ 2，3，6} D．{ 2，4，6}
【答案】A．
解：U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，3，5}，
则 B＝{2，4，6}，则A∩ B＝{2，4}．
U U
4．（
∁
2023•大兴区校级模拟）已
∁
知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＜0}，则A⋂B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0} C．{﹣1} D．{1，2}
【答案】C．
解：由题知，A⋂B＝{﹣1}．
5．（2023•潮州模拟）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∪B＝（ ）
A．[1，3] B．（2，3] C．[1，+∞） D．（2，+∞）
学科网（北京）股份有限公司 3【答案】C．
解：A＝{x|x＞2}，由x2﹣4x+3≤0，得（x﹣3）（x﹣1）≤0，解得1≤x≤3，
所以B＝{x|x²﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|x＞2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≥1}．
6．（2023•武侯区校级模拟）若集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|x＞7}，则（ A）∩B＝（ ）
R
A．（﹣1，7] B．（﹣1，6] C．（7，+∞） D．（6，+∞）
∁
【答案】C．
解：∵x2﹣5x﹣6≤0，∴（x﹣6）（x+1）≤0，
集合A＝{x|﹣1≤x≤6}，
∴
R
A＝（﹣∞，﹣1）
⋃
（6，+∞），
∴
∁
（
R
A） ⋂B＝（7，+∞）．
7．（20∁23•三模拟）已知集合M＝{x||x﹣1|＜2}，N＝{x|2x＜8}，则M∩N＝（ ）
A．{x﹣3＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}
【答案】C．
解：因为M＝{x||x﹣1|＜2}＝（﹣1，3），N＝{x|2x＜8}＝（﹣∞，3），
则M∩N＝（﹣1，3）．
8．（2023•湖北二模）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣5x+6＜0}，B＝{x|x＜2}，则A∩（ B）＝（ ）
U
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．A D．A∪B
∁
【答案】C．
解：由x2﹣5x+6＜0可得（x﹣2）（x﹣3）＜0，即2＜x＜3，
于是A＝{x|2＜x＜3}，
又 B＝{x|x≥2}，
U
故 ∁A⋂ （
U
B）＝{x|2＜x＜3}＝A．
9．（2023•
∁
湖南模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x＜1}，B＝{x|x﹣2＜0}，则（
U
A） ⋃B＝（ ）
A．{x|0≤x＜2} B．R C．{x|0＜x＜2} D．{x|x＜2}
∁
【答案】B．
解：由集合A＝{x|2x＜1}＝{x|x＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}＝{x|x＜2}，
则（ A）∪B＝{x|x≥0}∪{x|x＜2}＝R．
U
10．（2∁023•全国四模）已知集合A＝{（x，y）|y＝x3}，B＝{（x，y）|y＝4x}，则A⋂B＝（ ）
A．{﹣2，0，2} B．{（0，0）}
C．{（0，0），（2，8）} D．{（﹣2，﹣8），（0，0），（2，8）}
【答案】D．
解：解方程组 可得 或 或 ，
又因为A＝{（x，y）|y＝x3}，B＝{（x，y）|y＝4x}，
学科网（北京）股份有限公司 4则A⋂B＝{（﹣2，﹣8），（0，0），（2，8）}．
11．（2023•湖南模拟）已知集合A＝{x|log
2
x≤2}，B＝{x|2x≥6}，则A⋂B＝（ ）
A．{x|3≤x≤4} B．{x|0＜x≤3} C．{x|x＞0} D．{x|1≤x≤3}
【答案】A．
【解答】解：由不等式log x≤2，可得0＜x≤4，
2
所以集合A＝{x|0＜x≤4}，
又由B＝{x|2x≥6}＝{x|x≥3}，
根据集合交集的运算，可得A∩B＝{x|3≤x≤4}．
12．（2023•湖南模拟）已知集合A＝{x|2x2﹣x﹣3＜0}，B＝{x|﹣2＜3﹣x＜3}，则A∩B＝（ ）
A． B．（0，5） C． D．（﹣1，5）
【答案】C．
解：因为 ，B＝{x|0＜x＜5}，
所以 ．
13．（2023•天门模拟）设全集 U＝R，集合 A＝{x|log
2
x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则 A⋂ （
U
B）＝
（ ）
∁
A．[1，2） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1） D．[1，2]
【答案】A．
解：由A＝{x|log x＜1}可得A＝{x|0＜x＜2}，
2
U
B＝（﹣∞，﹣1]⋃[1，+∞），
∁
则A⋂ （
U
B）＝[1，2）．
14．（2023•武侯区校级模拟）设集合A＝{x N|﹣1≤x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（ ）
∁
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
∈
C．{0，1} D．{1}
【答案】C．
解：因为A＝{x N|﹣1≤x≤2}＝{0，1，2}，
又B＝{﹣2，﹣1，0，1}，
∈
所以A⋂B＝{0，1}．
15．（2023•潮阳区三模）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{y|y＝ln（x2+1）}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3） B．[0，3） C．（﹣1，+∞） D．（0，3）
【答案】B．
解：解不等式得A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），
又x2+1≥1，所以y＝ln（x2+1）≥0，即集合B＝[0，+∞），
所以A∩B＝[0，3）．
学科网（北京）股份有限公司 516．（2023•西宁二模）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{2}，则（ A）∩B＝（
U
）
∁
A．{2} B．{1，2，3，5} C．{0，2，4} D．
【答案】A．
∅
解：U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，则 A＝{0，2，4，
U
则（
U
A）∩B＝{0，2，4}∩{2}＝{2}．
∁
17．（2∁023•长沙模拟）已知集合A＝{x|x2＜2x}，集合B＝{x|log
2
（x﹣1）＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|0＜x＜2}
【答案】B．
解：因为A＝{x|x2＜2x}，x2﹣2x＜0，
可得0＜x＜2，
因为B＝{x|log （x﹣1）＜1}，log （x﹣1）＜1，
2 2
即0＜x﹣1＜2，可得1＜x＜3，
取交集可得A∩B＝{x|1＜x＜2}．
18．（2023•阆中市校级二模）已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{y|y＝sinx}，则（
R
A） ⋂B＝（ ）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．[0，2] D．[0，1]
∁
【答案】D．
解：集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，
则 A＝{x|0≤x≤2}，
R
B＝{y|y＝sinx}＝{x|﹣1≤x≤1}，
∁
故（
R
A） ⋂B＝[0，1]．
19．（2∁023•香坊区校级三模）集合 A＝{x|log
2
x＞2}，集合 B＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}．则（
R
B）∩A 为
（ ）
∁
A．（﹣1，4） B．（4，6] C．（4，6） D．[6，+∞）
【答案】B．
解：∵log x＞2，∴log x＞log 2²，∴x＞4，
2 2 2
∵x2﹣5x﹣6＞0，∴（x﹣6）（x+1）＞0，∴x＞6或x＜﹣1，
则 B＝[﹣1，6]，则（ B）∩A＝（4，6]．
R R
20．（
∁
2023•道里区校级一
∁
模）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|y＝2x﹣3}，则A⋂B＝（
）
A． B．{（0，0）} C．{﹣3} D．R
【答案】A．
∅
解：因为直线2x﹣y＝0与2x﹣y﹣3＝0平行，
所以A∩B＝ ．
21．（2023•万州∅区校级模拟）已知集合A＝{x Z|（2x+3）（x﹣4）＜0}， ，则A⋂B
∈
学科网（北京）股份有限公司 6＝（ ）
A．（0，e] B．{0，e} C．{1，2} D．（1，2）
【答案】C．
解：A＝{x Z|（2x+3）（x﹣4）＜0}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{x|y＝ ∈ }＝{x|1﹣lnx≥0}＝{x|0＜x≤e}，
则A∩B＝{1，2}．
22．（2023•平顶山模拟）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k N}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则A⋂B＝（ ）
A．{﹣1，3} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
∈
【答案】C．
解：由题知集合A为正奇数组成的集合，且B＝[﹣1，3]，
则A⋂B＝{1，3}．
23．（2023•驻马店三模）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，1） C．[﹣3，1] D．[﹣3，1）
【答案】C．
解：A＝{x|x2+2x﹣3≤0}＝{x|﹣3≤x≤1}，
B＝{y|y＝1﹣x2}＝{y|y≤1}，
所以A⋂B＝[﹣3，1]．
24．（2023•黄州区校级三模）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合 ，
则 A＝（ ）
U
A．{﹣2，﹣1，2} B．{﹣2，2} C． D．{﹣2，﹣1，0，2}
∁
【答案】A．
∅
解：由题意得， ，解得﹣2＜x＜2，
因为x N，所以A＝{0，1}，
故 A＝{﹣2，﹣1，2}．
U ∈
25．（2023•密云区三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|0≤x＜3，x N}，则A∪B＝（ ）．
∁
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{2}
∈
【答案】C．
解：由题意，B＝{0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．
26．（2023•驻马店三模）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，B＝{y|y＝x2+4x+3，x A}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，1） D．（﹣1，1]
∈
【答案】A．
解：由x2+2x﹣3≤0，得﹣3≤x≤1，
学科网（北京）股份有限公司 7所以A＝[﹣3，1]，
因为y＝（x+2）2﹣1，且x [﹣3，1]，
所以﹣1≤y≤8，
∈
所以B＝[﹣1，8]，
所以A∩B＝[﹣1，1]．
27．（2023•龙湖区三模）设集合M＝{x|x2+2x﹣15≤0}，N＝{x|2x+1＞1}，则M∩N＝（ ）
A．（﹣5，1） B．（﹣1，3] C．[﹣7，3） D．（﹣5，3）
【答案】B．
【解答】解：因为x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3）≤0，所以﹣5≤x≤3，即M＝{x|﹣5≤x≤3}；
因为2x+1＞20＝1，所以x+1＞0，x＞﹣1，即N＝{x|x＞﹣1}；
所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤3}．
28．（2023•合肥模拟）已知集合A＝{x| ＜1，x R}，B＝{x N| ≤2x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{1，2} D．{0，1，2}
∈ ∈
【答案】D．
解：∵ ≤2x≤4，∴2﹣1≤2x≤2²，∴﹣1≤x≤2，B＝{x|﹣1≤x≤2，x N}＝{0，1，2}，
∈
∵ ＜1，∴ ﹣1＝ ＜0，∴x+1＞0，x＞﹣1，
A＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝{0，1，2}．
29．（2023•镇海区校级模拟）已知集合A＝{x|x+2＞0}， B＝{x|x＞4}，则A∩B＝（ ）
R
A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|﹣2＜x≤4} C．{x|x＞4} D．{x|﹣2＜x＜4}
∁
【答案】B．
解：∵A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≤4}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x≤4}．
30．（2023•高州市二模）设集合A＝{x|x2﹣16≤0}， ，则A⋂B＝（ ）
A．[1，4] B． C． D．[﹣4，+∞）
【答案】B．
解：因为A＝{x|x2﹣16≤0}＝{x|﹣4≤x≤4}， ，
所以A⋂B＝ ．
31．（2023•锦州一模）已知集合A＝{（x，y）|x＝1}，B＝{（x，y）|y＝1}，C＝{（x，y）|x2+y2＝1}，则
（A⋃B） ⋂C＝（ ）
A．{（0，0）} B．{（1，1）}
学科网（北京）股份有限公司 8C．{（1，0），（0，1）} D．
【答案】C．
∅
解：所求（A∪B）∩C中的元素（x，y）需满足 或 ，
解得 或 ，
所以共有两个元素（1，0），（0，1）满足．
32．（2023•全国模拟）设集合A＝{x N|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．{0，1} D．{0，1，2}
∈
【答案】C．
【解答】解：∵A＝{x N|﹣2＜x＜2}＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{0，1}．
∈
33．（2023•古冶区校级模拟）已知集合A＝{x|4x2﹣x﹣5≤0}， ，则A⋂B＝（ ）
A． B． C．[﹣1，+∞） D．
【答案】A．
解：由 ， ，
所以A⋂B＝ ．
34.（2023•包河区校级模拟）设集合 ，则
R
（A∩B）＝（ ）
∁
A． B．{0} C．{x R|x≠0} D．R
【答案】C．
∅ ∈
解：∵|x﹣1|≤1，∴﹣1≤x﹣1≤1，∴0≤x≤2，
∴A＝{x|0≤x≤2}，
∵B＝{y|y＝﹣x2，﹣ ≤x＜1}＝{y|﹣2≤y≤0}，
∴A∩B＝{0}，
∴ （A∩B）＝{x R|x≠0}．
R
∁ ∈
35．（2023•铁岭模拟）设 ，N＝{x|x＞a}，若M N，则实数a的取值范围为
（ ）
⊆
A．a＜1 B．a≤1 C． D．
【答案】A．
学科网（北京）股份有限公司 9解：∵ ，
∵N＝{x|x＞a}，M N，
∴a＜1．
⊆
36．（2023•湖北模拟）已知集合M＝{x|x2﹣2x＞0}和N＝{x|ln（x+1）＞1}，则（ ）
A．N M B．M N
C．M∩N＝（e﹣1，+∞） D．M∪N＝（﹣∞，0）∪（e﹣1，+∞）
⊆ ⊆
【答案】D．
解：∵M＝{x|x2﹣2x＞0}＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），N＝{x|ln（x+1）＞1}＝（e﹣1，+∞），A、B
选项错误；
∴M∩N＝（2，+∞），M∪N＝（﹣∞，0）∪（e﹣1，+∞），故C错误，D正确．
37．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合 ， ，若 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
解：因为 ， ，
所以 ，解得 ，所以 1．
38．（2023·山东德州·三模）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解； ，
，
因为 ，
所以 ，解得 .
39．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合 ， ， ，
则 的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．64个
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司 10解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，则 的子集共有 个，
40．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合
为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【答案】C
解：因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
的取值集合为
41．（2023·全国·模拟预测）设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由题意，集合 表示不等式 的解集，故 ，
集合 表示当定义域为集合 时，函数 的值域，因此 ，
故 和 之间没有包含关系， ， ，
42．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知 是全集，集合 ， 满足 ，则下列结论一定成
立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由 可得 ,进而 ，故C正确，ABD错误，
故选：C
43．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）设 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：由题意可知， ，则集合 为整数的 构成的集合，
学科网（北京）股份有限公司 11，则集合 为整数中奇数的 构成的集合，
所以 ，故B正确；A ，C错误；
所以 ，故D错误.
44．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合 ， ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：由题知， 错误；
错误：
，故C错误；
，D正确，
45．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
判断四个选项，只有B正确.
故选：B.
46．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解:根据已知得 ，所以 .
故选：A.
47.（2023·广东东莞·校考三模）已知全集 和它的两个非空子集 ， 的关系如图所示，则下列命题正确
的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 12A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
解：由图可知 ，且 ， 非空，
则根据子集的定义可得：
对于 ， ， 不正确，
对于 ， ， 正确，
对于 ， ， 不正确，
对于 ， ， 不正确，
48．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知全集 ，集合 ，则下列
区间不是 的子集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为 且 ，
所以 ，结合选项，可得 不是 的子集.
49．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若集合 ，则满足
的集合B的个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
解：对于集合 ，由 ,解得 ，
又∵ ，∴ .
又∵ ，
∴满足条件的集合 可能为 ， ， ， ， ， ， ，
，共8个．
50．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合 ， ，
若 ，则实数 的取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 13A． B． C． D．
【答案】C
解：由 ，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故 ．
51．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知集合 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：对于 可得：
xy -1 1
-1 -2 0
1 0 2
可得集合 ；
对于 可得：
xy -1 1
-1 0 2
1 -2 0
可得集合 ，所以 ，
则 成立， 不成立， ，
所以A正确，B、C、D错误.
52．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若 且 , ,则称a为集合A的孤立元素．若集合
,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：集合 的三元子集个数为 ，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为
学科网（北京）股份有限公司 14，一共35种，
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率 ．
53．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）以下四个写法中：① ；② ；③
；④ ，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
解：对于①， 正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以 正确；对于③，根据
集合的互异性可知 正确；对于④， ，所以 不正确；四个写法中
正确的个数有 个，
54．（2023·山东·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由 ，知 ，因为 ， ，
若 ，则方程 无解，所以 满足题意；
若 ，则 ，
因为 ，所以 ，则满足题意 ；
故实数 取值的集合为 .
1.集合的有关概念
（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为 .
（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）五个特定的集合
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N
＋
2.集合间的基本关系
文字语言 符号语言
集合间的 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B
学科网（北京）股份有限公司 15子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A B
基本关系 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中
⊆
真子集
至少有一个元素不是集合A中的元素
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集合A的
符号表示 A∪B A∩B
补集为∁ A
U
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } {x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁ A)＝ ，A∪(∁ A)＝U，∁ (∁ A)＝A.
U U U U
5．常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅ A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有 个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4）(∁ A)∩(∁ B)＝∁ (A∪B)，(∁ A)∪(∁ B)＝∁ (A∩B) ．
U U U U U U
6.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q ⇏ p
⇒
p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q p
⇒
p是q的充要条件 p q
⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p
⇔
7.充分、必要条件与集合的关系
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
（1）p是q的充分条件⇔A B，p是q的充分不必要条件⇔A B；
⊆
学科网（北京）股份有限公司 16（2）p是q的必要条件⇔B A，p是q的必要不充分条件⇔B A；
（3）p是q的充要条件⇔A⊆ ＝B．
8.全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
9.全称命题和特称命题
名称
全称命题 特称命题
形式
语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 M中存在元素x，使p(x)成立
0 0
符号表示 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
0 0
10.全称命题与特称命题的否定 ∀ ∃
<知识记忆小口诀>
集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢
记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．
<解题方法与技巧>
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
⇒ ⇒
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的
不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取
等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
学科网（北京）股份有限公司 17
