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第二十二章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）
1
A．y= B．y＝2x
x2
C．y＝（x+2）2 D．y＝ax2+bx+c
【答案】C
【解答】解：A、y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意；
B、y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y是关于x的二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．下列抛物线中，对称轴是直线x＝﹣1的是（ ）
A．y＝x2+4x B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2x2+4x D．y＝﹣2x2+4x
【答案】C
【解答】解：A、∵a＝1，b＝4，
b 4
∴− =− =−2，
2a 2
∴对称轴是直线x＝﹣2，
故A不符合题意；
B、对称轴是直线x＝1，故B不符合题意；
C、∵a＝2，b＝4，
b 4
∴− =− =−1，
2a 2×2
∴对称轴是直线x＝﹣1，
故C符合题意；
D、∵a＝﹣2，b＝4，
b 4
∴− =− = 1，
2a 2×(−2)
∴对称轴是直线x＝1，
故D不符合题意；故选：C．
3．把抛物线y＝x2向右平移2个单位，然后向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣（x+2）2﹣3
C．y＝（x+2）2+3 D．y＝﹣（x﹣2）2+3
【答案】A
【解答】解：根据题意，
原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，﹣3），
∴平移后抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2﹣3．
故选：A．
4．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x …… ﹣2 0 1 3 ……
y …… 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 ……
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y随x值得增大而增大
【答案】C
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
3
∴抛物线对称轴为直线x= ，
2
∵抛物线经过点（﹣2，6），
3
∴当x＜ 时，y随x增大而减小，
2
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
3
∴x＞ 时，y随x增大而增大，故D错误，不符合题意；
2
3
由对称性可知，在x= 处取得最小值，且最小值小于﹣6．故C正确，符合题意；
2
故选：C．
5．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物
线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QE，交AD于点M，E，
∴四边形PMEQ是矩形，
∴ME＝PQ，
∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，
1 1 1 1
∴PQ＝AD− AC− BD＝21− ×（10+5）− （5+6）＝8，
2 2 2 2
故选：B．
6．已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m﹣2，m+2时，
对应的函数值为y ，y ，则y ，y 满足（ ）
1 2 1 2
A．y ＜0，y ＜0 B．y ＞0，y ＞0 C．y ＞0，y ＜0 D．y ＜0，y ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：当y＝0时，x2﹣6x+8＝0，
解得x ＝2，x ＝4，
1 2
∴抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），
∵当自变量x取m时，对应的函数值小于0，
而抛物线开口向上，
∴2＜m＜4，
∵m﹣2＜2，m+2＞4，
∴y ＞0，y ＞0．
1 2
故选：B．
7．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；
故选：C．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则一元
二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣3 D．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
即x＝﹣1或x＝3时，y＝0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线另一侧于点B，点C，D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点，
则四边形CDFE周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．2❑√3−2 D．8❑√5−8
【答案】B
【解答】解：由条件可知4＝4a，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2，
设E点坐标为（m，m2）（m＞0），由抛物线的对称性得F点坐标为（﹣m，m2），
∴C点坐标为（m，4），
∴四边形CDFE周长＝2（EF+CE）＝2（2m+4﹣m2）＝﹣2（m﹣1）2+10，
∴最大值为10，
故选：B．
10．已知二次函数y＝x2﹣4x的图象过点A（3，y ），B（﹣1，y ），C（﹣2，y ），则y ，y ，y 的大小
1 2 1 1 2 3
关系为（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
b −4
抛物线的对称轴为x=− =− =2，
2a 2×1
根据对称性可得点A（3，y ）的对称点为（1，y ），
1 1
∵a＝1＞0，
∴当x＜2时，y随x增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y ＞y ＞y ，
3 2 1
故选：C．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣ab
1，则过点M( ，b−2a)和N（c﹣a，4ac﹣b2）的直线一定不经过（ ）
c
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直
线x＝﹣1，
b
∴a+b+c＝0，− =−1，
2a
∴b＝2a，c＝﹣3a，
2
∴M（− a，0），N（﹣4a，﹣16a2），
3
设直线MN为y＝kx+d，（k≠0），
∴ { − 2 ak+d=0 ) ，
3
−4ak+d=−16a2
解得{k=4.8a)，
d=3.2a2
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可知a＞0，
∴k＝4.8a＞0，d＝3.2a2＞0，
∴直线MN过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；
②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），
当x＝﹣1时y＞0，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确；
b
∴− =2，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确；
2a
∴abc＜0，故结论①正确，
综上，说法正确的有4个，
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知函数 是关于x的二次函数，则m的值为 ﹣ 1 ．
y=(m−1)xm2+1+5x+3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：{m2+1=2)，
m−1≠0
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是 ﹣ 5 ．
【答案】﹣5．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k，
∴h＝3，k＝﹣8，
则h+k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度 h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最
高点所需的时间是 0. 8 s．
【答案】0.8．
【解答】解：足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，
0.5+1.1
根据函数的图象可得抛物线的对称轴为直线x= =0.8，
2
∵函数的开口向下，
∴在x＝0.8时，足球到达最高点，
即足球到达最高点所需的时间是0.8s，
故答案为：0.8．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（2，p），B（﹣4，q）两点，
则不等式ax2﹣mx﹣n+c≤0的解集是 x ≤﹣ 4 或 x ≥ 2 ．
【答案】x≤﹣4或x≥2．
【解答】解：由题意，∵ax2﹣mx﹣n+c≤0，
∴ax2+c≤mx+n．
∴不等式ax2﹣mx﹣n+c≤0的解集可以看作是二次函数y＝ax2+c的图象在一次函数y＝mx+n的图象下方
的部分对应的自变量的取值范围．
∵A（2，p），B（﹣4，q），
∴结合图象，不等式ax2﹣mx﹣n+c≤0的解集为x≤﹣4或x≥2．
故答案为：x≤﹣4或x≥2．
17．当n≤x≤n+1时，二次函数y＝x2+2x+3的最大值与最小值的差为3，则n＝ ﹣ 3 或 0 ．【答案】﹣3或0．
【解答】解：已知二次函数y＝x2+2x+3，
所以其对称轴是直线x＝﹣1，
①当n+1≤﹣1时，n≤﹣2，可得y ＞y ，
n n+1
因为最大值与最小值的差为3，
可知y ﹣y ＝3，
n n+1
得n2+2n+3﹣[（n+1）2+2（n+1）+3]＝3，
解得n＝﹣3；
②当n≥1时，可得y ＜y ，
n n+1
因为最大值与最小值的差为3，
可知y ﹣y ＝3，
n+1 n
得（n+1）2+2（n+1）+3﹣（n2+2n+3）＝3，
解得n＝0；
故答案为：﹣3或0．
1
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 为函数y＝﹣x2+mx− m2+m的图象，抛物线C 为函数y＝x2
1 2
4
﹣2mx+m2﹣m的图象（m＞0），C 与x轴交于点A，B，C 与x轴交于点C，D，当CB＝BD时，m为
1 2
4 ．
【答案】4．
【解答】解： ，
C ：y=x2−2mx+m2−m=(x−m) 2−m
2
∴CD的中点为（m，0），
∵CB＝BD时，B为CD的中点，
∴B（m，0），
1
由题意可得：−m2+m2− m2+m=0，
4
解得m＝4或m＝0（舍）．故答案为：4．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知y＝（k+2） 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
xk2+k−4
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）﹣3；
（2）顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
【解答】解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k﹣4＝2，解得k ＝﹣3，k ＝2，
1 2
∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0，
∴k＝﹣3；
（2）由（1）得y＝﹣x2，
∴顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
1
20．（8分）在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线y= x+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，
2
3）．
（1）求B点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积．
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2与直线y= x+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3），
2
3 1
则将点A的坐标代入y＝ax2，解得a= ；代入y= x+b，解得：b＝2；
4 2
3 1 4
将两方程联立得： x2= x+2，解方程得：x＝2或− ，
4 2 3
4 4
则B点的坐标为（− ， ）；
3 3
1
（2）设直线y= x+2与y轴的交点为C，则点C（0，2），
2
所以S△AOB ＝S△AOC +S△BOC
1 4
= ×2×（2+ ）
2 310
= ．
3
21．（8分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数图象抛物线的解析式；
（2）将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点．
【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+4
（2）向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
把（2，﹣5）代入得a•9+4＝﹣5，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4
∴当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，
∴（x+1）2＝4，
解得x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；
∴把抛物线解析式y＝﹣（x+1）2+4向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点，
22．（8分）如图，某校劳动实践基地用总长为 80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为
38m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行
的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？【答案】（1）y＝﹣2x+80，S＝﹣2x2+80x；
（2）当x＝21m时，S有最大值798m2．
【解答】解：（1）由题意得：2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80，
∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x；
（2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵y≤38，
∴﹣2x+80≤38，
∴x≥21，
∴21≤x＜40，
∵a＝﹣2＜0，对称轴为直线x＝20，
∴当x＝21m时，S有最大值798m2．
23．（10分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B
（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM
的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
9 3 15
（2）PM最大值为 ，此时P( ，− )．
4 2 4
【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣3），代入y＝ax2﹣2x+c（a≠0）得：
{9a−6+c=0)
，
c=−3
{ a=1 )
解得 ，
c=−3
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y ＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入得，
BC
{3k+b=0) { k=1 )
，解得 ，
b=−3 b=−3
∴直线BC的解析式为y ＝x﹣3，
BC
设P（x，x2﹣2x﹣3），（0＜x＜3），
∵PM∥y轴，
∴M（x，x﹣3），
3 2 9
∴PM=x−3−(x2−2x−3)=−x2+3x=−(x− ) + ，
2 4
∵﹣1＜0，
3 9 3 15
∴当x= 时，PM最大值为 ，此时P( ，− )．
2 4 2 4
24．（10分）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润 y（万元）与每月减少
的碳排放量x（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为 0吨时，工厂利润为50万元；
之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经
过数据分析，发现利润y与减少碳排放量x之间满足二次函数关系：y＝﹣x2+20x+50．
（1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义．
（2）若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？
（3）根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下
个月利润的最大值．
【答案】（1）x＝10，（10，150），当减少碳排放量等于10吨时，最大利润为150万元；
（2）当利润达到125万元时，需要减少5吨或15吨；
（3）满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值146万元．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+20x+50，
20
∴对称轴直线为x=− =10，
2×(−1)
当x＝10时，y＝﹣102+20×10+50＝150，
∴顶点坐标为（10，150），
∵﹣1＜0，即图象的开口象限，∴当减少碳排放量等于10吨时，最大利润为150万元；
（2）当y＝125时，﹣x2+20x+50＝125，
∴x2﹣20x+75＝0，
∴（x﹣5）（x﹣15）＝0，
∴x ＝5，x ＝15，
1 2
∴当利润达到125万元时，需要减少5吨或15吨；
（3）∵y＝﹣x2+20x+50＝﹣（x﹣10）2+150，
∵﹣1＜0，顶点坐标为（10，150），
∴图象开口向下，当x≤10时，y随x的增大而增大，当x≥10时，y随x的增大而减小，
由题意可得：当x＝12时，确定最大值，
∴y＝﹣（12﹣10）2+150＝146，
∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值146万元．
25．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣5（a≠0）的图象经过点（﹣4，﹣5）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若a＜0，点A（﹣1，y ），B（m，y ）在该函数图象上，且y ＞y ，求m的取值范围．
1 2 1 2
（3）当x≥﹣4时，y≤﹣1，求该二次函数的解析式．
【答案】（1）（﹣2，﹣9）；
（2）m＜﹣3或m＞﹣1；
（3）y＝﹣x2﹣4x﹣5．
【解答】解：（1）由题意可得：﹣5＝16﹣4b﹣5，
解得b＝4．
∴y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9．
∴顶点坐标为（﹣2，﹣9）．
（2）∵y＝ax2+bx﹣5（a≠0），
∴当x＝0时，y＝﹣5，
∴图象经过点（0，﹣5），
∵图象经过点（﹣4，﹣5），
∴图象的对称轴为直线x＝﹣2．
∵a＜0，点A（﹣1，y ），B（m，y ）在该函数图象上，且y ＞y ，
1 2 1 2
∴|m+2|＞|﹣1+2|，
解得m＜﹣3或m＞﹣1．（3）由题意可得：当x≥﹣4时，y≤﹣1，
∴该函数图象开口向下，最大值为﹣1．
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
∴y＝a（x+2）2﹣1．
把点（﹣4，﹣5）代入y＝a（x+2）2﹣1可得：
﹣5＝4a﹣1，
a＝﹣1．
∴y＝﹣（x+2）2﹣1＝﹣x2﹣4x﹣5．
26．（10分）在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉
的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边 18米．随
着音乐的变化，抛物线的顶点在直线y＝kx（k≠0）上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物
线的统一形式为y＝ax2+bx（a＜0）．
1
（1）若k= ，
2
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为4m，求a、b的值；
（2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线y＝x上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时a的取
值范围．
9 1
【答案】（1）①抛物线水线最大高度是 米；②a=− ，b＝1；
2 16
1
（2）a＜− ．
9
1
【解答】解：（1）由条件可知y=kx= x，
2
①∵喷出的水恰好达到岸边，
∴抛物线过（18，0），∵抛物线过原点（0，0），
0+18
∴抛物线的对称轴是直线x= =9，
2
1
∵抛物线的顶点在直线y=kx= x上，
2
9
∴当x＝9时，y= ，
2
9
∴抛物线水线最大高度是 米；
2
②由条件可知抛物线顶点的纵坐标为4m，
1
当 y＝4时， x=4，
2
解得：x＝8，
∴抛物线的顶点是（8，4），
∴y＝ax2+bx＝a（x﹣8）2+4，
∵抛物线过原点（0，0），
∴64a+4＝0，
1
解得a=− ，
16
1 1
∴y=− (x−8) 2+4=− x2+x，
16 16
1
∴a=− ，b＝1．
16
b 2 b2
（2）∵y=ax2+bx=a(x+ ) − ，
2a 4a
b b2
∴抛物线的顶点坐标为(− ，− )，
2a 4a
∵抛物线的顶点在直线y＝x上，
b b2
∴− =− ，
2a 4a
解得：b＝2，
b 18 2 18
由条件可知− ＜ ，即− ＜ ，
2a 2 2a 2
1
解得a＜− ．
9
