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专题03 勾股定理与全等三角形
1．如图．△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD
的斜边DE上．
求证：AE2+AD2＝AB2．
2．已知：△ABC和△ECD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在AB的延长线上．
求证：AE2+AD2＝ED2．
3．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAC＝
∠PAB，AD＝AP，连结DP，DC．
（1）求证：△ADC≌△APB．
（2）若PA＝4，PB＝3，PC＝5，求∠APB的度数．
4．如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，以点B为中心，将△ABP按顺
时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．
（1）连接PG，求出PG的长度；
（2）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．5．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．
（1）在图中画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA．
（2）求∠APB的度数．
6．如图，E、F是等腰Rt ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．
（1）求证：△ABE≌△△ACD；
（2）求证：EF2＝BE2+CF2．
7．在等腰直角三角形 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是平面内任意一点，连接
DE．
（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F．
i）求证：CE＝AF；
ii）试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系．
（2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，CE，若DB＝5，DE＝3 ，∠AED＝45°，
求线段CE的长．8．如图，点O是等边△ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，
BO，AD．
（1）求证：△BCO≌△ACD．
（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．
9．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线 DE交于点D，DM⊥AB于M，
DN⊥AC的延长线于N．
（1）证明：BM＝CN．
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 ．
10．如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是直线AC上一动点，∠BDE＝
90°，DB＝DE△（DE在BD的左侧）．
（1）直接写出AB长为 ；
（2）若点D在线段AC上，AD＝ ，求EC长；
（3）当BE＝2 时，直接写出CD长为 ．11．如图，已知四边形 ABCD是正方形，点E是AD边上的一点（不与点 A，D重合），连接
CE，以CE为一边作正方形CEFG，使点F，G与点A，B在CE的两侧，连接BE并延长，交
GD延长线于点H．
（1）如图1，请判断线段BE与GD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接BG，若AB＝2，CE＝ ，请你直接写出 的值．
12．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；
（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求
AD的长．
13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，BC＝2 时，求
线段AM的长．（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，连结EF，求证：EF2＝BE2+CF2．
14．如图，已知Rt ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，点E、点F是BC上的点，且∠CDF
＝∠CEA，CF＝△CA．
（1）如图1，若AE平分∠BAC，∠DFC＝25°，求∠B的度数；
（2）如图2，若过点F作FG⊥AB于点G，连接GC，求证：AG+GF＝ ．
15．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC
于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF．
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点
作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间
的数量关系，并加以证明．
