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专题03 勾股定理与全等三角形
1．如图．△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD
的斜边DE上．
求证：AE2+AD2＝AB2．
【解答】证明：连接BD，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∠AEC＝∠ADC＝45°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴AE2+AD2＝AB2．
2．已知：△ABC和△ECD是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在AB的延长线上．
求证：AE2+AD2＝ED2．【解答】证明：∵BC＝AC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴BC＝CA，CD＝CE，∠BCD＝∠ECA，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴∠CAE＝∠CBD＝135°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAB＝90°，
在Rt DAE中，AD2+AE2＝ED2．
△
3．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAC＝
∠PAB，AD＝AP，连结DP，DC．
（1）求证：△ADC≌△APB．
（2）若PA＝4，PB＝3，PC＝5，求∠APB的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，
在△ADC与△APB中
，
∴△ADC≌△APB（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△APB，
∴CD＝PB＝3，∠APB＝∠ADC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠PAD＝∠PAC+∠CAD＝∠PAC+∠PAB＝∠BAC＝60°，
∵AD＝AP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝4，
∵PC＝5，
∴CD2+PD2＝PC2，
∴∠PDC＝90°，
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°．
4．如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，以点B为中心，将△ABP按顺
时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．
（1）连接PG，求出PG的长度；
（2）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．【解答】解：（1）∵△ABP按顺时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到
G点，
∴PB＝BG＝2，∠PBG＝∠ABC＝90°，
∴△PBG为等腰直角三角形，
∴PG＝ PB＝2 ；
（2）△PGC为直角三角形，
理由：由（1）可知PG＝2 ，
∵CG＝PA＝1，PC＝3，
∴CG2+PG2＝12+（2 ）2＝9，
∵PC2＝32＝9，
∴CG2+PG2＝PC2，
∴△PGC为直角三角形．
5．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．
（1）在图中画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA．
（2）求∠APB的度数．
【解答】解：（1）如图，△BEA即为所求；（2）∵△PBC≌△EAB，
∴PB＝EB，∠EBP＝∠ABC＝60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴PE＝PB＝8，∠EPB＝60°，
∵AE＝PC＝10，PA＝6，
∵PE2+AP2＝AE2，
∴△APE为直角三角形，
∴∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
6．如图，E、F是等腰Rt ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．
（1）求证：△ABE≌△△ACD；
（2）求证：EF2＝BE2+CF2．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
在△AEF与△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴DF＝EF，
在Rt DCF中，根据勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，
∵CD△＝BE，
∴EF2＝CF2+CD2；
7．在等腰直角三角形 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是平面内任意一点，连接
DE．
（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F．
i）求证：CE＝AF；
ii）试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系．
（2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，CE，若DB＝5，DE＝3 ，∠AED＝45°，
求线段CE的长．
【解答】证明：（1）i）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠A＝45°，
∴CD＝AD，
∵DF⊥DE，CD⊥AB，∠ADF+∠CDF＝∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
在△ADF与△CDE中，
，∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴CE＝AF；
ii）连接EF，
∵△ADF≌△CDE，
∴DE＝DF，
∵DF⊥DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，
∵AF＝CE，AC＝BC，
∴CF＝BE，
在Rt CEF中，EF2＝CE2+CF2，
∴AF△2+BE2＝CE2+CF2＝EF2＝2DE2．
（2）过点D作DH⊥AE于H，过点D作DG⊥DE交AE于G，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠A＝45°，
∴CD＝AD，
∵DG⊥DE，CD⊥AB，∠ADG+∠CDG＝∠CDE+∠CDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵DG⊥DE，∠AED＝45°，
∴∠DGE＝45°＝∠AED，
∴DG＝DE，
在△CDE与△ADG中，
∴△CDE≌△ADG（SAS），
∴CE＝AG，
在Rt DEG中，DE＝DG＝3 ，
∴EG△ ＝6，
∵DH⊥AE，
∴DH＝GH＝EH＝3，
在Rt ADH中，AD＝5，
△
∴AH＝ ，
∴CE＝AG＝AH﹣GH＝1．
8．如图，点O是等边△ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，
BO，AD．
（1）求证：△BCO≌△ACD．
（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：∵CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠BCA＝60°，
∴∠BCA＝∠OCD，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BCO和△ACD中，
，
∴△BCO≌△ACD（SAS）．（2）解：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD＝OC＝6．∠ODC＝60°，
∵△BCO≌△ACD，
∴AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC，
∵OA＝10，
∴OA2＝AD2+OD2，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝150°，
∴∠BOC＝∠ADC＝150°．
9．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线 DE交于点D，DM⊥AB于M，
DN⊥AC的延长线于N．
（1）证明：BM＝CN．
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 2 0 ．
【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，
在Rt DMB和Rt DNC中，
△ △
，
∴Rt DMB≌Rt DNC（HL），
∴BM△＝CN； △
（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
在Rt DMA和Rt DNA中，
△ △
，
∴Rt DMA≌Rt DNA（HL），
∴∠△ADM＝∠AD△N，
∵∠BAC＝70°，
∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，
∵∠BDM＝∠CDN，
∴∠BDC＝∠MDN＝110°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠EDC＝ ∠BDC＝55°，
∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，
∴∠DCB＝35°；
（3）解：在△ADM和△ADN中，
，
∴△ADM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN，
∵△DMB≌△DNC，
∴BM＝CN，∴AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝8+4＝12，
∴AN＝6，
∴CN＝AN﹣AC＝6﹣4＝2，
∵CD2＝CE2+DE2＝CN2+DN2，EC＝ BC，
∴ BC2+9＝4+DN2，
∴4DN2﹣BC2＝20．
故答案为：20．
10．如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是直线AC上一动点，∠BDE＝
90°，DB＝DE△（DE在BD的左侧）．
（1）直接写出AB长为 5 ；
（2）若点D在线段AC上，AD＝ ，求EC长；
（3）当BE＝2 时，直接写出CD长为 7 或 3 ．
【解答】解：（1）∵在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝10，
∴AB2+AC2＝2AB2＝BC2＝1△00，
∴AB＝AC＝5 ，
故答案为：5 ；
（2）过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，
则∠F＝∠A＝∠BDE＝90°，
∴∠EDF+∠ADB＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠EDF＝∠ABD，
在△ABD与△FDE中，
，
∴△ABD≌△FDE（AAS），
∴EF＝AD＝ ，DF＝AB＝5 ，
∴CF＝AF﹣AC＝6 ﹣5 ＝ ，
∴CE＝ ＝2；
（3）∵∠BDE＝90°，DB＝DE，BE＝2 ，
∴DE＝BD＝ ，
由（2）知△ABD≌△FDE，
∴DF＝AB＝5 ，EF＝AD，
∵AB＝AC，
∴DF＝AC，
∴CF＝AD＝EF，
∴EF＝CF＝ ＝ ＝2 ，
当点D在点A的左侧时，CD＝5 ﹣2 ＝3 ，
当点D在点A的右侧时，CD＝5 +2 ＝7 ，
综上所述，CD长为7 或3 ，
故答案为：7 或3 ．
11．如图，已知四边形 ABCD是正方形，点E是AD边上的一点（不与点 A，D重合），连接
CE，以CE为一边作正方形CEFG，使点F，G与点A，B在CE的两侧，连接BE并延长，交
GD延长线于点H．（1）如图1，请判断线段BE与GD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接BG，若AB＝2，CE＝ ，请你直接写出 的值．
【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝∠ECG＝90°，EC＝GC，
∴∠ECB＝∠GCD，
在△EBC和△GDC中，
，
∴△EBC≌△GDC（SAS），
∴BE＝DG，∠EBC＝∠GDC，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，∠HDE+∠GDC＝90°，
∴∠ABE＝∠HDE，
∵∠AEB＝∠HED，
∴∠H＝∠A＝90°，
∴BE⊥DG．
（2）连接BD，EG，如图所示，由①知∠BHD＝∠EHG＝90°，
∴DH2+BH2＝BD2＝BC2+CD2＝22+22＝8，
EH2+HG2＝EG2＝CG2+CE2＝（ ）2+（ ）2＝5+5＝10，
在Rt BGH中，BH2+HG2＝BG2，
在Rt△EDH中，EH2+DH2＝DE2，
∴BG△2+DE2＝BH2+HG2+EH2+DH2＝8+10＝18．
∴ ＝ ＝3 ．
12．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；
（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求
AD的长．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ABC+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）∵△DCE等式等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝5，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt ADE中，AD＝4，DE＝5，
△
∴ ，
∴BD＝ ；
（3）如图2，过A作AH⊥CD于H，
∵点B，C，E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CAH＝30°，
在Rt ACH中，CH＝ AC＝ ，AH＝ CH＝ ，
△
∴DH＝CD﹣CH＝5﹣ ，
在Rt ADH中，AD＝ ．
13．在△ △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，BC＝2 时，求线段AM的长．
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，连结EF，求证：EF2＝BE2+CF2．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠DAC＝45°，
∵BC＝2 ，
∴AD＝BD＝DC＝ ，
∵∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝30°，
∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，
即（2DM）2﹣DM2＝（ ）2，
解得：DM＝1（负值已舍去），
∴AM＝AD﹣DM＝ ﹣1；
（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）
∴BE＝AF，
∵AB＝AC，
∴CF＝AE，
在Rt EAF中，由勾股定理得：EF2＝AF2+AE2，
△∴EF2＝BE2+CF2．
14．如图，已知Rt ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，点E、点F是BC上的点，且∠CDF
＝∠CEA，CF＝△CA．
（1）如图1，若AE平分∠BAC，∠DFC＝25°，求∠B的度数；
（2）如图2，若过点F作FG⊥AB于点G，连接GC，求证：AG+GF＝ ．
【解答】解：（1）在△AEC和△FDC中，
，
∴△AEC≌△FDC（ASA），
∴∠EAC＝∠DFC＝25°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC＝50°，
∵∠C＝90°，
∴在Rt ABC中，∠B＝90°﹣∠BAC＝40°；
（2）如△图2，过点C作GC的垂线交GF的延长线于点P，
∴∠GCF+∠PCF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠GCF+∠GCA＝90°，
∴∠PCF＝∠GCA，
∵∠C＝90°，GF⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠B+∠BFG＝90°，
∴∠BAC＝∠BFG．
又∵∠PFC＝∠BFG，
∴∠GAC＝∠PFC，
由（1）知，△AEC≌△FDC，∴CA＝CF，
∴△AGC≌△FPC，
∴GC＝PC，AG＝FP，
又∵PC⊥GC，
∴△GCP是等腰直角三角形，
∴GF+FP＝GP＝ ，
∴AG+GF＝ ．
15．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC
于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF．
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点
作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间
的数量关系，并加以证明．
【解答】（1）①证明：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，
∵在△DCG与△DBE中，
，∴△DCG≌△DBE（SAS），
∴DG＝DE，CG＝BE，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG＝FE，
在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；
②结论：BE2+CF2＝EF2．
理由：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACD＝90°，
由①∠FCG＝∠FCD+∠DCG＝∠FCD+∠B＝90°，
∴在Rt CFG中，由勾股定理，得CG2+CF2＝FG2，
即BE2+△CF2＝EF2；
（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC．
理由：延长AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝∠C，而BD＝CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
∴△DEM≌△DEF，
∴EF＝EM＝EB+BM＝EB+CF．
