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专题 05 勾股定理中的最值问题
题型一 立体图形中的最短距离问题
1．如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．
此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离
为（ ）米．
A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米
2．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）
A．10 B．50 C．120 D．130
3．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是
30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为 ．
4．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，
点A处有一只蚂蚁，想到点 B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为
dm．5．固定在地面上的一个正方体木块（如图①所示），其棱长为2（ ），沿其相邻三个面的对角线
（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点 A爬行到点
B的最短距离为 ．
6．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点 A
到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为
（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
7．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面
到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B． C．10 D．
8．如图，圆柱形容器外壁距离下底面 3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面 3cm的B
处的米粒，若圆柱的高为12cm，底面周长为24cm．则蚂蚁爬行的最短距离为 cm．9．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC＝8，点P移动的最短距离为
5，则圆柱的底面周长为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
10．如图，小彬到雁江区高洞产π 业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家
后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要
在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（
）
A．10 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
11．如图，
π
长方体的底面边长分
π
别为 1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠
绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．
12．如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着
圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）
A．4cm B．5cm C． cm D． cm13．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E F 上，且E P＝ ，一只蚂蚁如果要沿着长
1 1 1
方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 cm．
14．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂
蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程．
15．庆安中学要举办第四届运动会，现需装饰一根高为 9米，底面半径为 米的圆柱，如图，点A、B分
别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上．用一根彩带（宽度不计）从点A顺着圆柱侧面绕
3圈到点B，那么这根彩带的长度最短是多少？
题型二 将军饮马问题16．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建
一供水厂，同时向A，B两村供水．若铺设水管的工程费用为每千米1.8万元，问水厂与A村的水平距
离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．
17．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经
测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想 的最小
值为多少？
18．如图，河边有A，B两个村庄，A村距河边10m，B村距河边30m，两村平行于河边方向的水平距离为
30m，现要在河边建一抽水站E，需铺设管道抽水到A村和B村．
（1）要使铺设管道的长度最短，请作图找出水站E的位置（不写作法）
（2）若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？19．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界
级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线x的距离分别为
10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，
图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S ＝PA+PB，图
1
（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距
离之和S ＝PA+PB．
2
（1）求S 、S ，并比较它们的大小；
1 2
（2）请你说明S ＝PA+PB的值为最小；
2
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直
线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最
小．并求出这个最小值．
题型三 其他求最值问题
20．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为（ ）
A．4.8 B．5 C．4 D．
