文档内容
专题 7.6 空间向量的应用【十二大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)............................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:35)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:28)................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:28)................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:35)(cid:41)(cid:38)(cid:28)............................................................................................................................8
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:35)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:28)................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:28)..............................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:28)..........................................................................................................................13
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:42)(cid:35)(cid:40)(cid:47)(cid:28)..............................................................................................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:42)(cid:36)(cid:40)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:28)..........................................................................................................................15
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:49)(cid:50)(cid:38)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:32)(cid:28)....................................................................................17
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:42)(cid:49)(cid:40)(cid:51)(cid:53)(cid:35)(cid:40)(cid:51)(cid:53)(cid:40)(cid:40)(cid:51)(cid:28)............................................................................................................18
(cid:22)(cid:21)(cid:29)12 (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:21)(cid:28)................................................................................................................19
1(cid:53)(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:46)(cid:65)(cid:27)
(cid:25)(cid:49)(cid:66)(cid:42) (cid:67)(cid:21)(cid:68)(cid:69) (cid:25)(cid:70)(cid:71)(cid:72)
(1)(cid:15)(cid:73)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)
(cid:75)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:27)(cid:30)
(cid:31)(cid:74)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:78)
2022 (cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:111) I (cid:112)(cid:10)(cid:113)
(cid:3)(cid:35)(cid:40)(cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:81)(cid:46)(cid:82)(cid:83)(cid:84) (cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:46)(cid:65)(cid:27)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:46)(cid:115)(cid:49)(cid:116)
19(cid:21)(cid:76)12(cid:71)
(cid:85)(cid:86)(cid:15) (cid:117)(cid:76)(cid:118)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:46)(cid:120)(cid:25)(cid:116)(cid:117)(cid:121)(cid:82).(cid:122)(cid:123)(cid:56)(cid:109)
2022(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:111)Ⅱ(cid:112)(cid:10)(cid:113)20
(2)(cid:77)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:87)(cid:43)(cid:40) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:70)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:76)(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:73)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)
(cid:21)(cid:76)12(cid:71)
(cid:38)(cid:35)(cid:53)(cid:38)(cid:35)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:53)(cid:36)(cid:40) (cid:82)(cid:127)(cid:101)(cid:73)(cid:128)(cid:21)(cid:129)(cid:130)(cid:102)(cid:131)(cid:76)(cid:132)(cid:109)(cid:120)(cid:25)(cid:76)(cid:133)
2023(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:112)(cid:10)(cid:113)18(cid:21)(cid:76)
(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:88)(cid:47)(cid:62)(cid:21)(cid:76)(cid:89)(cid:77) (cid:134)(cid:58)(cid:135)(cid:136)(cid:133)(cid:76)(cid:113)(cid:82)(cid:137)(cid:62)(cid:82)(cid:127)(cid:25)(cid:138)(cid:63)(cid:64)(cid:35)(cid:53)
12(cid:71)
(cid:90)(cid:91)(cid:73)(cid:87)(cid:92)(cid:82)(cid:93)(cid:62)(cid:21)(cid:46)(cid:94) (cid:40)(cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:81)(cid:46)(cid:33)(cid:34)(cid:139)(cid:63)(cid:64)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:53)(cid:35)(cid:53)
2023(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:112)(cid:10)(cid:113)20(cid:21)(cid:76)
(cid:95)(cid:76)(cid:55)(cid:96)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:63) (cid:40)(cid:51)(cid:52)(cid:62)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:97)(cid:73)(cid:128)(cid:21)(cid:46)(cid:113)(cid:142)(cid:137)(cid:62)(cid:25)
12(cid:71)
(cid:64)(cid:47)(cid:62)(cid:21)(cid:58)(cid:46)(cid:100)(cid:27) (cid:138)(cid:76)(cid:78)(cid:143)(cid:97)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:53)(cid:145)(cid:20)(cid:21)(cid:58)(cid:146)(cid:96)(cid:147)(cid:75).
2024(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:112)(cid:10)(cid:113)17(cid:21)(cid:76)
(3)(cid:96)(cid:42)(cid:63)(cid:64)(cid:58)(cid:49)(cid:50)(cid:38)(cid:35) (cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:94)(cid:58)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
15(cid:71)
(cid:101)(cid:75)(cid:49)(cid:50)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:51)(cid:52) (cid:42)(cid:63)(cid:64)(cid:47)(cid:53)(cid:63)(cid:64)(cid:51)(cid:52)(cid:76)(cid:155)(cid:156)(cid:145)(cid:157)(cid:158)(cid:56)(cid:57)
2024(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:112)(cid:10)(cid:113)17(cid:21)(cid:76)
(4)(cid:101)(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:76)(cid:59) (cid:32)(cid:46)(cid:65)(cid:27)(cid:76)(cid:11)(cid:96)(cid:159)(cid:160)(cid:42)(cid:73).
15(cid:71)
(cid:99)(cid:63)(cid:64)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:58)(cid:35)(cid:53)(cid:40)(cid:46)
(cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:81)(cid:105)(cid:63)(cid:64)(cid:47)(cid:106)(cid:97)(cid:46)
(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:161)(cid:162)(cid:49)1 (cid:63)(cid:64)(cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:81)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:28)
1(cid:165)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)
(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:166)(cid:167)(cid:163)(cid:164)(cid:168)(cid:169)(cid:30)(cid:31) (cid:46)(cid:78)(cid:30)(cid:35)(cid:170)(cid:44)(cid:97)(cid:46)(cid:38)(cid:35)(cid:48)(cid:38)(cid:35)l(cid:36)(cid:37)(cid:105)(cid:171)(cid:172)(cid:76)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:30)(cid:31)
(cid:102)(cid:38)(cid:35)l(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31).
2(cid:165)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)
(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:38)(cid:35)l α(cid:76)(cid:177)(cid:38)(cid:35)l(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31) (cid:76)(cid:178)(cid:175)(cid:30)(cid:31) (cid:102)(cid:36)(cid:40)α(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31).
(cid:22)(cid:161)(cid:162)(cid:49)2 (cid:27)(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:98)⊥(cid:99)(cid:38)(cid:35)(cid:53)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:81)(cid:28)
1(cid:165)(cid:63)(cid:64)(cid:58)(cid:38)(cid:35)(cid:53)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:36)(cid:37)
(1)(cid:35)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:179)u (cid:76)u (cid:71)(cid:180)(cid:114)(cid:38)(cid:35)l (cid:76)l (cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:178)l (cid:181)l u (cid:181)u λ(cid:182)R(cid:76)(cid:183)(cid:184)u (cid:185)
1 2 1 2 1 2 1 2 1
λ u .
2 ⇔ ⇔∃
(2)(cid:35)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:179)u(cid:114)(cid:38)(cid:35) l (cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:76)n(cid:114)(cid:36)(cid:40)α(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:76)l α(cid:76)(cid:178)l(cid:181)α u(cid:186)n u·n(cid:185)
0.
⊄ ⇔ ⇔
(3)(cid:40)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:179)n (cid:76)n (cid:71)(cid:180)(cid:114)(cid:36)(cid:40)α(cid:76)β(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:178)α(cid:181)β n (cid:181)n λ(cid:182)R(cid:76)(cid:183)(cid:184)n (cid:185)
1 2 1 2 1
λ n .
2 ⇔ ⇔∃
2(cid:165)(cid:187)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:188)(cid:189)(cid:10)
(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:190)(cid:156)(cid:33)(cid:34)(cid:191)(cid:107)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:192)(cid:35)(cid:193)(cid:194)(cid:165)
3(cid:165)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:21)(cid:46)(cid:74)(cid:32)(cid:10)
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:116)(cid:46)(cid:195)(cid:82)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:192)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:196)(cid:38)(cid:35)(cid:197)(cid:97)(cid:36)(cid:40)(cid:116)(cid:139)
(2)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:194)(cid:101)(cid:27)(cid:36)(cid:40)(cid:116)(cid:191)(cid:198)(cid:197)(cid:192)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:196)(cid:38)(cid:35)(cid:197)(cid:97)(cid:36)(cid:40)(cid:116)(cid:139)
(3)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:38)(cid:196)(cid:38)(cid:35)(cid:197)(cid:97)(cid:36)(cid:40)(cid:116)(cid:165)
4(cid:165)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:21)(cid:46)(cid:74)(cid:32)(cid:10)
(1)(cid:187)(cid:27)(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:76)(cid:140)(cid:141)(cid:114)(cid:33)(cid:34)(cid:191)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:165)
(2)(cid:199)(cid:40)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:200)(cid:16)(cid:102)(cid:35)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:201)(cid:202)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:192)(cid:35)(cid:203)(cid:37)(cid:33)(cid:34)(cid:165)
(cid:22)(cid:161)(cid:162)(cid:49)3 (cid:27)(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:99)(cid:38)(cid:35)(cid:53)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:41)(cid:38)(cid:3)(cid:81)(cid:28)
1(cid:165)(cid:63)(cid:64)(cid:58)(cid:38)(cid:35)(cid:53)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:41)(cid:38)
(1)(cid:35)(cid:35)(cid:41)(cid:38)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:179) u (cid:76)u (cid:71)(cid:180)(cid:114)(cid:38)(cid:35) l , l (cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:178)l (cid:186)l u (cid:186)u u ·u (cid:185)0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(2)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:179)u(cid:114)(cid:38)(cid:35) l (cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:76)n(cid:114)(cid:36)(cid:40)α(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:76) ⇔ l α(cid:76)(cid:178) ⇔ l(cid:186)α u(cid:181)n λ
(cid:182)R(cid:76)(cid:183)(cid:184)u(cid:185)λ n.
⊄ ⇔ ⇔∃
(3)(cid:40)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:10)(cid:179)n (cid:76)n (cid:71)(cid:180)(cid:114)(cid:36)(cid:40)α(cid:76)β(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:178)α(cid:186)β n (cid:186)n n ·n (cid:185)0.
1 2 1 2 1 2
2(cid:165)(cid:33)(cid:34)(cid:191)(cid:38)(cid:35)(cid:41)(cid:38)(cid:46)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:10) ⇔ ⇔
(cid:208)(cid:54)(cid:63)(cid:64)(cid:38)(cid:47)(cid:209)(cid:210)(cid:81)→(cid:211)(cid:212)(cid:49)(cid:46)(cid:209)(cid:210)→(cid:42)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)→(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:38)→(cid:184)(cid:50)(cid:191)(cid:38)(cid:35)(cid:41)(cid:38)(cid:165)
3(cid:165)(cid:27)(cid:209)(cid:210)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:46)(cid:74)(cid:32)(cid:75)(cid:206)(cid:207)(cid:10)
(1)(cid:187)(cid:27)(cid:35)(cid:35)(cid:41)(cid:38)(cid:10)(cid:213)(cid:199)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:209)(cid:210)(cid:163)(cid:164)(cid:139)(cid:214)(cid:215)(cid:212)(cid:36)(cid:40)(cid:116)(cid:191)(cid:107)(cid:216)(cid:217)(cid:38)(cid:35)(cid:76)(cid:89)(cid:27)(cid:209)(cid:210)(cid:163)(cid:164)(cid:218)(cid:219)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:139)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:116)(cid:191)(cid:107)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:38)(cid:165)
(2)(cid:187)(cid:27)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:213)(cid:199)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:27)(cid:209)(cid:210)(cid:163)(cid:164)(cid:139)(cid:214)(cid:42)(cid:212)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:139)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)
(cid:31)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:165)
4(cid:165)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:46)(cid:191)(cid:223)(cid:74)(cid:32)(cid:10)
(1)(cid:141)(cid:224)(cid:32)(cid:10)(cid:187)(cid:27)(cid:40)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:46)(cid:221)(cid:86)(cid:86)(cid:15)(cid:200)(cid:16)(cid:102)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:53)(cid:35)(cid:35)(cid:41)(cid:38)(cid:225)(cid:33)(cid:34)(cid:165)
(2)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:10)(cid:33)(cid:34)(cid:191)(cid:198)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:226)(cid:216)(cid:41)(cid:38)(cid:165)
(cid:22)(cid:161)(cid:162)(cid:49)4 (cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:42)(cid:63)(cid:64)(cid:47)(cid:28)
1(cid:165)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:82)(cid:127)(cid:206)(cid:207)(cid:10)
(1)(cid:208)(cid:54)(cid:63)(cid:64)(cid:38)(cid:47)(cid:209)(cid:210)(cid:81)(cid:139)
(2)(cid:27)(cid:209)(cid:210)(cid:163)(cid:164)(cid:191)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:139)
(3)(cid:187)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:46)(cid:88)(cid:47)(cid:7)(cid:130)(cid:42)(cid:212)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:139)
(4)(cid:4)(cid:230)(cid:191)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:231)(cid:232)(cid:114) (cid:76)(cid:193)(cid:191)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:135)(cid:119)(cid:191)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:46)
(cid:233)(cid:234)(cid:229).
2(cid:165)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:42)(cid:38)(cid:35)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:131)(cid:66)(cid:74)(cid:32):
(1)(cid:71)(cid:180)(cid:42)(cid:212)(cid:235)(cid:35)(cid:39)(cid:218)(cid:97)(cid:36)(cid:40)(cid:116)(cid:46)(cid:236)(cid:237)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:199)(cid:21)(cid:238)(cid:200)(cid:16)(cid:102)(cid:42)(cid:191)(cid:198)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:46)(cid:88)(cid:47)((cid:105)(cid:239)(cid:240)
(cid:47))(cid:139)
(2)(cid:140)(cid:150)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:125)(cid:42)(cid:76)(cid:193)(cid:42)(cid:212)(cid:235)(cid:35)(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:88)(cid:46)(cid:241)(cid:47)(cid:105)(cid:242)(cid:47)(cid:46)(cid:240)(cid:47)(cid:76)(cid:177)(cid:239)(cid:227)
(cid:47)(cid:243)(cid:114)(cid:235)(cid:35)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47).
3(cid:165)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:42)(cid:142)(cid:40)(cid:47)(cid:46)(cid:73)(cid:21)(cid:188)(cid:189):
(cid:27)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:191)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:88)(cid:47)(cid:10)(cid:71)(cid:180)(cid:42)(cid:212)(cid:191)(cid:198)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:201)(cid:202)(cid:140)(cid:150)(cid:191)(cid:198)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:46)(cid:88)(cid:47)(cid:184)(cid:50)(cid:191)(cid:36)(cid:40)(cid:88)(cid:47)
(cid:46)(cid:244)(cid:137).
(cid:22)(cid:161)(cid:162)(cid:49)5 (cid:27)(cid:63)(cid:64)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:99)(cid:51)(cid:52)(cid:62)(cid:21)(cid:28)
1(cid:165)(cid:51)(cid:52)(cid:62)(cid:21)
(1)(cid:49)P(cid:50)(cid:38)(cid:35) l (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:245)(cid:161)(cid:38)(cid:35)l(cid:46)(cid:85)(cid:79)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:102)u(cid:76)A(cid:114)(cid:38)(cid:35)l(cid:246)(cid:46)(cid:86)(cid:49)(cid:76)P(cid:114)(cid:38)(cid:35)l(cid:247)(cid:82)(cid:49)(cid:76)
→ →
(cid:179)(cid:30)(cid:31)AP(cid:97)(cid:38)(cid:35)l(cid:246)(cid:46)(cid:248)(cid:237)(cid:30)(cid:31)(cid:102)AQ(cid:185)a(cid:76)(cid:178)(cid:49)P(cid:50)(cid:38)(cid:35)l(cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:102) ((cid:166)(cid:249))(cid:165)
(2)(cid:49)P(cid:50)(cid:36)(cid:40)α(cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:179)(cid:36)(cid:40)α(cid:46)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:102)n(cid:76)A(cid:114)(cid:36)(cid:40)α(cid:116)(cid:46)(cid:86)(cid:49)(cid:76)P(cid:114)(cid:36)(cid:40)α(cid:247)(cid:82)(cid:49)(cid:76)(cid:178)(cid:49)P
→
|AP·n|
(cid:50)(cid:36)(cid:40)α(cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:102) ((cid:166)(cid:249))(cid:165)
|n|
2(cid:165)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:42)(cid:49)(cid:50)(cid:38)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:206)(cid:207)(cid:10)
(1)(cid:250)(cid:251)(cid:249)(cid:129)(cid:42)(cid:212)(cid:38)(cid:35)(cid:46)(cid:85)(cid:79)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31) .(2)(cid:97)(cid:38)(cid:35)(cid:246)(cid:252)(cid:177)(cid:82)(cid:49)M((cid:194)(cid:20)(cid:144)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:119)(cid:69)(cid:256)(cid:46)(cid:49)).(cid:69)(cid:256)(cid:49)M(cid:48)(cid:38)(cid:35)(cid:247)(cid:46)(cid:49)N(cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31) .
(3)(cid:41)(cid:35)(cid:170)(cid:257)(cid:134) .
3(cid:165)(cid:42)(cid:49)(cid:50)(cid:36)(cid:40)(cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:141)(cid:27)(cid:74)(cid:32)
(1)(cid:38)(cid:258)(cid:32)(cid:10)(cid:150)P(cid:49)(cid:100)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:41)(cid:35)(cid:76)(cid:41)(cid:259)(cid:102)Q(cid:76)(cid:260)PQ(cid:261)(cid:97)(cid:195)(cid:198)(cid:262)(cid:47)(cid:129)(cid:58)(cid:76)(cid:73)(cid:262)(cid:47)(cid:129)(cid:42)(cid:212)PQ(cid:46)(cid:257)(cid:134)(cid:243)
(cid:114)(cid:49)P(cid:50)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:51)(cid:52).
(cid:214)(cid:200)(cid:16)(cid:32)(cid:10)(cid:263)(cid:49)P(cid:44)(cid:97)(cid:46)(cid:38)(cid:35)l(cid:36)(cid:37)(cid:119)(cid:36)(cid:40) (cid:76)(cid:178)(cid:200)(cid:16)(cid:102)(cid:38)(cid:35)l(cid:246)(cid:195)(cid:82)(cid:198)(cid:49)(cid:50)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:125)(cid:42).
(cid:220)(cid:135)(cid:55)(cid:264)(cid:32).
(cid:265)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:10)(cid:179)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:82)(cid:198)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:102) (cid:76)A(cid:114) (cid:116)(cid:252)(cid:230)(cid:49)(cid:76)(cid:178)(cid:49)P(cid:50) (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:102) .
(cid:22)(cid:74)(cid:32)(cid:266)(cid:267)(cid:48)(cid:268)(cid:269)(cid:28)
1(cid:165)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:231)(cid:232)(cid:114) (cid:139)(cid:38)(cid:35)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:231)(cid:232)(cid:114) (cid:139)(cid:142)(cid:40)(cid:47)(cid:46)(cid:231)(cid:232)(cid:114) (cid:139)(cid:191)
(cid:198)(cid:36)(cid:40)(cid:88)(cid:47)(cid:46)(cid:231)(cid:232)(cid:114) .
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)1(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:272)(cid:273)·(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:97)(cid:63)(cid:64)(cid:38)(cid:47)(cid:209)(cid:210)(cid:81)(cid:58)(cid:76)(cid:245)(cid:161) (1,2,3)(cid:76) ( )(cid:76) (3,2,1)(cid:76)
(4,3,0)(cid:76)(cid:178)(cid:38)(cid:35) (cid:48) (cid:46)(cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:81)(cid:114)(cid:271) (cid:276) 𝐴 𝐵 −2,−1,6 𝐶 𝐷
A(cid:165)(cid:43)(cid:40) 𝐴𝐵 𝐶𝐷B(cid:165)(cid:36)(cid:37) C(cid:165)(cid:41)(cid:38) D(cid:165)(cid:216)(cid:217)(cid:277)(cid:197)(cid:41)(cid:38)
(cid:22)(cid:278)(cid:130)1-1(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)·(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:63)(cid:64)(cid:58)(cid:191)(cid:107)(cid:197)(cid:283)(cid:46)(cid:38)(cid:35) (cid:76) (cid:76)(cid:239)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:180)(cid:102) (cid:76) (cid:76)
(cid:178)“ (cid:76) (cid:192)(cid:35)”(cid:114)“(cid:38)(cid:35) (cid:76) (cid:36)(cid:37)”(cid:46)(cid:271) (cid:276) 𝑚 𝑛 𝑎 𝑏
𝑎A(cid:165)𝑏(cid:284)(cid:71)(cid:285)(cid:197)(cid:120)(cid:66)𝑚(cid:107)(cid:108)𝑛 B(cid:165)(cid:120)(cid:66)(cid:285)(cid:197)(cid:284)(cid:71)(cid:107)(cid:108)
C(cid:165)(cid:284)(cid:71)(cid:120)(cid:66)(cid:107)(cid:108) D(cid:165)(cid:286)(cid:197)(cid:284)(cid:71)(cid:146)(cid:197)(cid:120)(cid:66)(cid:107)(cid:108)
(cid:22)(cid:278)(cid:130)1-2(cid:28)(cid:271)2024·(cid:110)(cid:111)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:191)(cid:197)(cid:171)(cid:172)(cid:38)(cid:35) (cid:39) (cid:46)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:180)(cid:102) =( )(cid:76) =
1 2 1 2
( )(cid:76)(cid:178) (cid:48) (cid:46)(cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:81)(cid:114)(cid:271) (cid:276) 𝑙 𝑙 𝑣 1,0,−1 𝑣
1 2
−2,A0,(cid:165)2 (cid:36)(cid:37)𝑙 𝑙 B(cid:165)(cid:216)(cid:217) C(cid:165)(cid:41)(cid:38) D(cid:165)(cid:197)(cid:291)(cid:86)
(cid:22)(cid:278)(cid:130)1-3(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:262)(cid:246)·(cid:272)(cid:292)(cid:293)(cid:294)·(cid:295)(cid:170)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55)ABCD-A B C D (cid:58)(cid:76)M(cid:76)N(cid:71)(cid:180)(cid:114)BC (cid:76)
1 1 1 1 1
CD (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:178)(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:32)(cid:301)(cid:302)(cid:46)(cid:114)(cid:271) (cid:276)
1A(cid:165)MN(cid:48)CC (cid:41)(cid:38)
1
B(cid:165)MN(cid:48)AC(cid:41)(cid:38)
C(cid:165)MN(cid:48)BD(cid:36)(cid:37)
D(cid:165)MN(cid:48)A B (cid:36)(cid:37)
1 1
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:35)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)2(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:303)(cid:304)(cid:305) (cid:58)(cid:76)(cid:306)(cid:304) (cid:307)(cid:40) (cid:76)
1 1 1 1 1
=1(cid:76) = = = = 5(cid:76)(cid:196)(cid:49) 𝐴(cid:71)𝐵(cid:180)𝐶𝐷(cid:102)−𝐴 𝐵(cid:39)𝐶 𝐷 (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)𝐴 (cid:42)𝐴(cid:33)⊥(cid:10) 𝐴/𝐵/(cid:36)𝐶𝐷(cid:40)
1 1 1
𝐴𝐵⊥𝐴.𝐶,𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐴 2,𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝑀,𝑁 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷 𝑀𝑁
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:22)(cid:278)(cid:130)2-1(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:44)(cid:164)(cid:76)(cid:97)(cid:38)(cid:47)(cid:308)(cid:129) (cid:58)(cid:76) (cid:76) (cid:76)
1 𝐴𝐵𝐶𝑃 𝐴𝑃∥𝐵𝐶 𝐴𝑃⊥𝐴𝐵
= = =2(cid:76) (cid:114) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76) (cid:71)(cid:180)(cid:102) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:199) (cid:309) (cid:310)(cid:311)(cid:76)(cid:183)(cid:184) (cid:36)(cid:40)
2
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝑃 𝐷 𝐴𝑃 𝐸,𝐹,𝐺 𝑃𝐶,𝑃𝐷,𝐶𝐵 △𝑃𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝑃𝐷⊥
(cid:76)(cid:312)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:32)(cid:33)(cid:34) (cid:36)(cid:40) .
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝑃 ∥ 𝐸𝐹𝐺(cid:22)(cid:278)(cid:130)2-2(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:142)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:303)(cid:304)(cid:313) (cid:58)(cid:76)(cid:307)(cid:40) (cid:102)(cid:314)(cid:129)(cid:76) (cid:307)(cid:40)
(cid:76) =2(cid:76) = =2(cid:76) (cid:102) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76) (cid:102) (cid:46)𝑂(cid:58)−(cid:49)𝐴𝐵(cid:76)𝐶𝐷(cid:42)(cid:33)(cid:10)(cid:38)(cid:35)𝐴𝐵𝐶𝐷//(cid:36)(cid:40) 𝑂.𝐴⊥
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂𝐴 𝐴𝐷 2𝐴𝐵 𝑀 𝑂𝐴 𝑁 𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝑂𝐶𝐷
(cid:22)(cid:278)(cid:130)2-3(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:315)(cid:316)·(cid:295)(cid:170)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:297)(cid:303)(cid:304)(cid:313) (cid:46)(cid:24)(cid:102)6(cid:76) =3 2(cid:76)(cid:196)M(cid:114)(cid:304)
(cid:246)(cid:317)(cid:318)(cid:123)C(cid:46)(cid:262)(cid:135)(cid:71)(cid:49). 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑃𝐶
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10) (cid:139)
(2)(cid:263)(cid:97)(cid:304)𝐵𝐷(cid:246)⊥(cid:106)𝑃𝐶(cid:97)(cid:82)(cid:49)N(cid:76)(cid:183)(cid:184) //(cid:36)(cid:40) (cid:76)(cid:42) (cid:46)(cid:257)(cid:134).
𝑃𝐵 𝐴𝑁 𝐵𝐷𝑀 𝐵𝑁(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)3(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:142)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:44)(cid:164)(cid:76)(cid:36)(cid:40) (cid:36)(cid:40) (cid:76)(cid:303)(cid:319)(cid:129) (cid:102)(cid:297)(cid:74)(cid:129)(cid:76)
(cid:114)(cid:38)(cid:47)(cid:262)(cid:47)(cid:129)(cid:76)(cid:196) = =2(cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:71)(cid:180)(cid:114)(cid:35)(cid:170) 𝑃𝐴(cid:76)𝐷⊥ (cid:76) 𝐴(cid:46)𝐵𝐶(cid:58)𝐷(cid:49)(cid:76)(cid:42)(cid:33)(cid:10)𝐴𝐵(cid:36)𝐶𝐷(cid:40) //(cid:36)(cid:40)△𝑃𝐴(cid:165)𝐷
𝑃𝐴 𝐴𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝑃𝐴 𝑃𝐷 𝐶𝐷 𝐸𝐹𝐺 𝑃𝐵𝐶
(cid:22)(cid:278)(cid:130)3-1(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)·(cid:110)(cid:111)·(cid:320)(cid:202)(cid:100)(cid:321)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:245)(cid:161)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:71)(cid:180)(cid:114)
1 1 1 1
(cid:76) (cid:76) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:165)(cid:33)(cid:34)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑀 𝑁 𝑃 𝐴
1 1
𝐷 𝐵𝐷 𝐵 𝐶
(1) //(cid:36)(cid:40) (cid:139)
1 1
(2)𝑀(cid:36)𝑁(cid:40) /𝐶/𝐶(cid:36)(cid:40)𝐷 𝐷 (cid:165)
1 1
𝑀𝑁𝑃 𝐶𝐶 𝐷 𝐷
(cid:22)(cid:278)(cid:130)3-2(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:298)·(cid:110)(cid:111)·(cid:320)(cid:202)(cid:100)(cid:321)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:257)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76) =4(cid:76) =3(cid:76)
1 1 1 1 1
=2.(cid:42)(cid:33)(cid:10)(cid:36)(cid:40) //(cid:36)(cid:40) . 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐶
1 1 1
𝐴 𝐶 𝐵 𝐴𝐶𝐷(cid:22)(cid:278)(cid:130)3-3(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:325)·(cid:295)(cid:170)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:257)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76) =4(cid:76) =3(cid:76)
1 1 1 1
=2. 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶
1
𝐶𝐶
(1)(cid:42)(cid:33)(cid:10)(cid:36)(cid:40) //(cid:36)(cid:40) .
1 1 1
(2)(cid:35)(cid:170) (cid:246)(cid:114)𝐴(cid:326)𝐶(cid:106)𝐵(cid:97)(cid:49)P(cid:76)𝐴𝐶(cid:183)𝐷(cid:184) //(cid:36)(cid:40) (cid:327)(cid:263)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:42)(cid:212)(cid:49)P(cid:46)(cid:79)(cid:80)(cid:139)(cid:263)(cid:197)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:328)(cid:300)(cid:34)(cid:15)(cid:329).
1 1 1
𝐵 𝐶 𝐴 𝑃 𝐴𝐶𝐷
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:35)(cid:41)(cid:38)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)4(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:298)·(cid:330)(cid:273)(cid:257)(cid:331)·(cid:332)(cid:11)(cid:25)(cid:312)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:298)(cid:299)(cid:333)(cid:297)(cid:74)(cid:55)(cid:58)(cid:76) (cid:102)(cid:297)(cid:74)(cid:55)(cid:46)(cid:82)(cid:107)(cid:55)(cid:234)(cid:47)(cid:35)(cid:76) (cid:53)
(cid:71)(cid:180)(cid:102)(cid:44)(cid:97)(cid:304)(cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:178)(cid:334)(cid:259) (cid:46)(cid:114)(cid:271) (cid:276) 𝑙 𝑀 𝑁
𝑀𝑁⊥𝑙
A(cid:165) B(cid:165)C(cid:165) D(cid:165)
(cid:22)(cid:278)(cid:130)4-1(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:298)·(cid:315)(cid:335)(cid:336)(cid:325)·(cid:274)(cid:58)(cid:276)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:298)(cid:299)(cid:3)(cid:81)(cid:297)(cid:291)(cid:46)(cid:114)(cid:271) (cid:276)
1 1 1 1
A(cid:165) B(cid:165) C(cid:165) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶D𝐷(cid:165)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:22)(cid:278)(cid:130)4𝐴-2(cid:28)𝐷(cid:271)⊥2𝐵02𝐶4(cid:24)(cid:142)·(cid:110)𝐴(cid:111)𝐷·(cid:26)⊥𝐵(cid:21)𝐷(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)𝐴(cid:97)𝐶(cid:145)⊥(cid:40)𝐶(cid:55)𝐷 (cid:58)(cid:76) 𝐴𝐶 ⊥=𝐴90𝐶, (cid:337)(cid:114)(cid:135)(cid:319)
∘
(cid:262)(cid:47)(cid:129)(cid:76) =2 2 = 2 (cid:36)(cid:40) (cid:102) (cid:46)(cid:58)(cid:49).(cid:33)𝑃(cid:34)𝐴𝐵(cid:10)𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐴𝐵,△𝐷𝐵𝐶
𝐴𝐶 ,𝑃𝐵 ,𝑃𝐵⊥ 𝐴𝐵𝐶,𝑀 𝑃𝐶 𝐵𝑀⊥𝐴𝐷
(cid:22)(cid:278)(cid:130)4-3(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:262)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:235)(cid:262)(cid:304)(cid:305) (cid:46)(cid:333)(cid:304)(cid:257)(cid:337)(cid:102) =60 (cid:76)(cid:49) (cid:97)(cid:298)(cid:307)
1 1 1 1 1
∘
(cid:40) (cid:46)(cid:248)(cid:237)(cid:102) (cid:46)(cid:58)(cid:49) .(cid:97)(cid:304) (cid:271)(cid:338)(cid:339)(cid:49)(cid:276)(cid:246)(cid:114)𝐴(cid:326)𝐵𝐶(cid:106)−(cid:97)𝐴(cid:82)𝐵(cid:49)𝐶 (cid:183) (cid:327)4,∠(cid:263)𝐴(cid:106)𝐴(cid:97)𝐵(cid:76)(cid:42)(cid:212) (cid:46)𝐴(cid:257)(cid:139)(cid:263)
1 1 1
(cid:197)(cid:106)𝐴𝐵(cid:97)𝐶(cid:76)(cid:328)(cid:300)(cid:34)𝐴(cid:15)𝐵(cid:329)(cid:139) 𝑂 𝐵𝐵 𝐷 𝐴 𝐷⊥𝐴𝐶 𝐵𝐷(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:38)(cid:35)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)5(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:340)(cid:315)·(cid:274)(cid:58)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:297)(cid:262)(cid:304)(cid:341) (cid:58)(cid:76) =1(cid:76) =2 =2(cid:76) (cid:53) (cid:71)(cid:180)
1 1 1 1 1 1
(cid:102) (cid:53) (cid:46)(cid:58)(cid:49). 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐴 𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸
1 1 1
𝐴𝐴 𝐵 𝐶
(1)(cid:42)(cid:342)(cid:297)(cid:262)(cid:304)(cid:341)(cid:46)(cid:163)(cid:40)(cid:264)(cid:139)
(2)(cid:42)(cid:33)(cid:10) (cid:36)(cid:40)
1 1
𝐷𝐸⊥ 𝐵𝐶𝐶 𝐵
(cid:22)(cid:278)(cid:130)5-1(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:262)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:46)(cid:304)(cid:257)(cid:102)1(cid:76) (cid:53) (cid:53) (cid:71)(cid:180)(cid:114)(cid:304)
1 1 1 1
(cid:53) (cid:53) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:42)(cid:33)(cid:10) (cid:36)(cid:40) (cid:165) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑀 𝑁 𝑃 𝐶
1 1
𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴 𝑃⊥ 𝐷𝑀𝑁
(cid:22)(cid:278)(cid:130)5-2(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:262)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:245)(cid:161)(cid:38)(cid:262)(cid:304)(cid:305) = = (cid:102) (cid:46)(cid:58)
1 𝐴𝐵𝐶−𝐹𝐺𝐸,𝐴𝐶 𝐵𝐶 4,𝐴𝐶⊥𝐵𝐶,𝑂 𝐵𝐶
(cid:49)(cid:76) (cid:102)(cid:306)(cid:304) (cid:246)(cid:82)(cid:49)(cid:76)(cid:196) = (cid:76)(cid:262)(cid:304)(cid:305) (cid:46)(cid:55)(cid:264)(cid:102)32(cid:165)(cid:150)(cid:49) (cid:100) (cid:76)(cid:41)(cid:259)(cid:102)(cid:49) (cid:76)(cid:42)
4
𝐷 𝐵𝐺 𝐵𝐷 𝐵𝐺 𝐴𝐵𝐶−𝐹𝐺𝐸 𝑂 𝑂𝑄⊥𝐷𝐸 𝑄
(cid:33)(cid:10) (cid:36)(cid:40) (cid:139)
𝐵𝑄⊥ 𝐴𝐶𝑄(cid:22)(cid:278)(cid:130)5-3(cid:28)(cid:271)2024·(cid:171)(cid:343)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:46)(cid:304)(cid:257)(cid:102)1(cid:76) (cid:97)(cid:304) (cid:246)(cid:344)(cid:345)(cid:76) (cid:97)(cid:35)(cid:170)
1 1 1 1 1
(cid:246)(cid:344)(cid:345)(cid:76)(cid:38)(cid:35) (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:217)(cid:119)(cid:49) (cid:165) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐷𝐷 𝐹
1 1
𝐵 𝐷 𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐸 𝐺
(1)(cid:346) (cid:102)(cid:58)(cid:49)(cid:143)(cid:76)(cid:33)(cid:34)(cid:10) (cid:36)(cid:40) (cid:139)
𝐸,𝐹 𝐷𝐹⊥ 𝐴𝐶𝐸
(2)(cid:263) (cid:36)(cid:40) (cid:76)(cid:42) (cid:46)(cid:347)(cid:244)(cid:229)(cid:75)(cid:176)(cid:143) (cid:46)(cid:257)(cid:165)
𝐷𝐺
𝐷𝐹⊥ 𝐴𝐶𝐸 𝐷𝐹 𝐷𝐸
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:39)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)6(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:262)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:307)(cid:40)(cid:114)(cid:314)(cid:129)(cid:46)(cid:303)(cid:304)(cid:313) (cid:58)(cid:76) (cid:36)(cid:40) (cid:76)
= =2(cid:76) =4(cid:76) (cid:114)PD(cid:46)(cid:58)(cid:49). 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:42)𝑃𝐴(cid:33)(cid:10)𝐴(cid:36)𝐵(cid:40) 𝐵𝐶 (cid:36)(cid:40) 𝐸 .
𝑃𝐶𝐷⊥ 𝑃𝐴𝐷(cid:22)(cid:278)(cid:130)6-1(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:262)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:303)(cid:304)(cid:313) (cid:58)(cid:76) (cid:36)(cid:40) (cid:76) (cid:76) //
𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 1 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷⊥𝐶𝐷 𝐴𝐷
(cid:76) = = =2(cid:76) =3. (cid:102) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:49) (cid:97) (cid:246)(cid:76)(cid:196) = .
2
𝑃𝐹
(cid:42) 𝐵𝐶 (cid:33)(cid:10) 𝑃𝐴 (cid:36)(cid:40) 𝐴𝐷 𝐶𝐷 (cid:36)(cid:40) 𝐵 . 𝐶 𝐸 𝑃𝐷 𝐹 𝑃𝐶 𝐹𝐶
𝐴𝐸𝐹⊥ 𝑃𝐶𝐷
(cid:22)(cid:278)(cid:130)6-2(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:298)·(cid:330)(cid:292)·(cid:274)(cid:58)(cid:276)(cid:97) (cid:58)(cid:76) = = =4(cid:76)(cid:49) 、 (cid:71)(cid:180)(cid:102)(cid:319) 、 (cid:46)(cid:58)
2
𝜋
(cid:49)(cid:76)(cid:199) (cid:309) (cid:310)(cid:311)(cid:76)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:40) (cid:36) △ (cid:40) 𝐴𝐵𝐶 . 𝐵 ,𝐴𝐵 2𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
△𝐴𝐸𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸𝐷⊥ 𝐵𝐶𝐷𝐸
(1)(cid:42)(cid:33)(cid:10) (cid:139)
(2)(cid:97)(cid:36)(cid:40)𝐷𝐶⊥(cid:116)𝐴(cid:114)𝐸(cid:326)(cid:106)(cid:97)(cid:49) (cid:76)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:40) (cid:36)(cid:40) (cid:327)(cid:263)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:348)(cid:212)(cid:49) (cid:46)(cid:79)(cid:80)(cid:139)(cid:263)(cid:197)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:300)(cid:34)(cid:15)
(cid:329). 𝐴𝐶𝐷 𝑀 𝐴𝐸𝑀⊥ 𝐴𝐵𝐷 𝑀
(cid:22)(cid:278)(cid:130)6-3(cid:28)(cid:271)2024·(cid:246)(cid:349)(cid:350)(cid:351)·(cid:142)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:352)(cid:40)(cid:55)ABCDEF(cid:58)(cid:76)FA (cid:36)(cid:40)ABCD(cid:76) ，
(cid:76)(cid:263) =2， = = = =1. ⊥ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶∥𝐹𝐸
𝐴𝐵⊥𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐹𝐸(1)(cid:42)(cid:352)(cid:40)(cid:55)ABCDEF(cid:46)(cid:55)(cid:264)(cid:139)
(2)(cid:263)M(cid:102)EC(cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:42)(cid:33)(cid:10)(cid:36)(cid:40) (cid:36)(cid:40)AMD.
𝐶𝐷𝐸⊥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:28)
2 2
(cid:22)(cid:270)7(cid:28)(cid:271)2024·(cid:272)(cid:273)(cid:6)(cid:353)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:262)(cid:304)(cid:305) (cid:334)(cid:259) + =1(cid:76)| |= 3(cid:76)
1 1 1 1 1 1
| |=3(cid:76)(cid:178)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35) (cid:48) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)𝐴(cid:102)𝐵(cid:271)𝐶− 𝐴 (cid:276)𝐵 𝐶 𝐵𝐵 −𝐵𝐴 𝐵𝐶⋅𝐵𝐴 𝐵𝐴
1 1 1
𝐴𝐶 A(cid:165) 3 B 𝐵 (cid:165) 𝐴 3 𝐴𝐶 C(cid:165) 3 D(cid:165) 3
3 6 9 12
(cid:22)(cid:278)(cid:130)7-1(cid:28)(cid:271)2024·(cid:279)(cid:280)(cid:354)(cid:325)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:38)(cid:262)(cid:304)(cid:305) (cid:58)(cid:76) =120°(cid:76) = = (cid:76)(cid:178)(cid:43)
1 1 1 1
(cid:40)(cid:38)(cid:35) (cid:48) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:102)(cid:271) (cid:276) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐴
1 1
A(cid:165) 𝐵3𝐴 𝐴𝐶 B(cid:165) 3 C(cid:165) 2 D(cid:165) 7
4 4 2 4
−
(cid:22)(cid:278)(cid:130)7-2(cid:28)(cid:271)2024·(cid:330)(cid:292)(cid:355)(cid:356)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:357)(cid:129) (cid:76) = (cid:76)(cid:199) (cid:309)(cid:234)(cid:47)(cid:35) (cid:310)(cid:311)(cid:76)(cid:183)(cid:101)
3
π
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵 △𝐷𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷
(cid:303)(cid:49)(cid:102)(cid:358)(cid:49)(cid:46)(cid:262)(cid:304)(cid:313)(cid:55)(cid:264)(cid:347)(cid:244)(cid:76)(cid:178)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35) (cid:48) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:102)(cid:271) (cid:276)
A(cid:165) 3 B(cid:165) 3 𝐴𝐵 C(cid:165) 𝐶3𝐷 D(cid:165) 3
5 2 4 4
(cid:22)(cid:278)(cid:130)7-3(cid:28)(cid:271)2024·(cid:110)(cid:111)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:314)(cid:129)ABCD(cid:114)(cid:359)(cid:305) (cid:46)(cid:360)(cid:361)(cid:40)(cid:76)(cid:49)E(cid:97)(cid:359) (cid:246)(cid:76)(cid:263) =2
1 2 2
2(cid:76) =2 3(cid:76) =60°(cid:76)(cid:178)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)BD(cid:48) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)𝑂(cid:228)𝑂(cid:229)(cid:102)(cid:271) (cid:276) 𝑂 𝐴𝐷
1
𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐸 𝑂 𝐸A(cid:165) 55 B(cid:165) 55 C(cid:165) 22 D(cid:165) 22
24 22 24 22
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:42)(cid:35)(cid:40)(cid:47)(cid:28)
3
(cid:22)(cid:270)8(cid:28)(cid:271)2024·(cid:362)(cid:349)(cid:316)(cid:363)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:97)(cid:38)(cid:262)(cid:304)(cid:305) (cid:58)(cid:76) (cid:76) = = (cid:76) (cid:102)(cid:35)(cid:170)
1 1 1 2 1
𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵⊥𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐴 𝐷 𝐵𝐶
1
(cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:49) (cid:97)(cid:35)(cid:170) (cid:246)(cid:76)(cid:196) = (cid:76)(cid:178)(cid:38)(cid:35) (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:102)(cid:271) (cid:276)
1 1 1 3 1 1 1 1
𝐸 𝐵 𝐶 𝐵 𝐸 𝐵 𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐶𝐶 𝐴
A(cid:165) 1 B(cid:165) 2 C(cid:165) 3 D(cid:165) 1
6 6 6 3
(cid:22)(cid:278)(cid:130)8-1(cid:28)(cid:271)2023·(cid:303)(cid:364)(cid:365)(cid:351)·(cid:82)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:49) (cid:114)(cid:35)(cid:170) (cid:246)(cid:46)(cid:345)(cid:49)(cid:271)(cid:338)(cid:339)
1 1 1 1 1
(cid:49)(cid:276)(cid:76)(cid:49) (cid:114)(cid:35)(cid:170) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:179) (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:44)(cid:45)(cid:47)𝐴(cid:102)𝐵𝐶(cid:76)𝐷−(cid:178)𝐴co𝐵s𝐶(cid:46)𝐷(cid:347)(cid:137)(cid:229)(cid:114)𝑃(cid:271) (cid:276) 𝐴𝐵
1
𝑄 𝐴𝐶 𝑃𝑄 𝐴𝐶𝐷 𝜃 𝜃
A(cid:165) 1 B(cid:165) 3 C(cid:165) 6 D(cid:165)2 2
3 3 3 3
(cid:22)(cid:278)(cid:130)8-2(cid:28)(cid:271)2024·(cid:279)(cid:280)(cid:366)(cid:343)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:262)(cid:304)(cid:313) (cid:58)(cid:76) = = (cid:76) (cid:76)
= =60°. 𝐴−𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐴 𝐷𝐵 𝐷𝐶 𝐵𝐷⊥𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:36)(cid:40) (cid:36)(cid:40) (cid:139)
(2)(cid:263)E(cid:102) (cid:58)𝐴(cid:49)𝐵𝐶(cid:76)⊥(cid:49)F(cid:334)𝐵(cid:259)𝐶𝐷 = (cid:76)(cid:42)(cid:38)(cid:35) (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229).
𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐷𝐴 𝐵𝐹 𝐴𝐵𝐷(cid:22)(cid:278)(cid:130)8-3(cid:28)(cid:271)2024·(cid:367)(cid:363)(cid:368)(cid:353)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:38)(cid:35) (cid:41)(cid:38)(cid:119)(cid:308)(cid:129) (cid:44)(cid:97)(cid:46)(cid:36)(cid:40)(cid:76)
𝑃𝐷 1 𝐴𝐵𝐶𝐷
= =90°(cid:76) (cid:102)(cid:35)(cid:170) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76) = 2(cid:76) = = =1(cid:76)(cid:303)(cid:319)(cid:129) (cid:102)(cid:314)(cid:129).
2
∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐹 𝑃𝐴 𝑃𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝑃𝐷𝐶𝐸
(1)(cid:42)(cid:33)(cid:10) //(cid:36)(cid:40) (cid:139)
(2)(cid:42)(cid:38)(cid:35)𝐴𝐶(cid:48)(cid:36)(cid:40)𝐷𝐸𝐹(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229).
𝐴𝐸 𝐵𝐶𝑃
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:42)(cid:36)(cid:40)(cid:48)(cid:36)(cid:40)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)9(cid:28)(cid:271)2024·(cid:303)(cid:364)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:145)(cid:40)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:245)(cid:161)(cid:40) (cid:114)(cid:319)(cid:257)(cid:102)4(cid:46)(cid:297)(cid:74)(cid:129)(cid:76) (cid:114)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷 △𝐹𝐵𝐶
(cid:135)(cid:319)(cid:262)(cid:47)(cid:129)(cid:76) // (cid:76) = (cid:76)(cid:36)(cid:40) (cid:36)(cid:40) (cid:165)
2
𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐹𝐵𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:42)(cid:33)(cid:10) (cid:139)
(2)(cid:42)(cid:142)(cid:40)(cid:47)𝐸𝐹⊥𝐵𝐹 (cid:46)(cid:244)(cid:137)(cid:165)
𝐸−𝐴𝐷−𝐵
(cid:22)(cid:278)(cid:130)9-1(cid:28)(cid:271)2024·(cid:303)(cid:364)(cid:369)(cid:370)·(cid:262)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:36)(cid:37)(cid:371)(cid:40)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:307)(cid:40) (cid:114)(cid:319)(cid:257)(cid:102)2(cid:46)(cid:357)(cid:129)(cid:76)
1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:196) =60°(cid:76) = 6 = (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:102) (cid:48) (cid:217)(cid:119) (cid:165)
1 1 1 1
∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐴 ,∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 𝐴𝐷,𝐴𝐴 𝐴𝐵𝐶𝐷 45°,𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10) (cid:36)(cid:40) (cid:139)
1
(2)(cid:42)(cid:142)(cid:40)(cid:47)𝐴 𝑂⊥ 𝐴(cid:46)𝐵𝐶(cid:297)𝐷(cid:228)(cid:229)(cid:165)
1
𝐵−𝐶𝐶 −𝐷
(cid:22)(cid:278)(cid:130)9-2(cid:28)(cid:271)2024·(cid:330)(cid:273)·(cid:262)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:303)(cid:304)(cid:313) (cid:46)(cid:307)(cid:40) (cid:114)(cid:308)(cid:129)(cid:76)
// = = = = = 3 𝑃−(cid:36)𝐴𝐵(cid:40)𝐶𝐷 . 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐶 𝐴𝐷,𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 1,𝐴𝐷 2,𝑃𝐶 ,𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:42)(cid:33)(cid:10)(cid:36)(cid:40) (cid:36)(cid:40) (cid:139)
(2)(cid:97)(cid:304) (cid:246)(cid:114) 𝑃 (cid:326) 𝐵𝐶 (cid:106) ⊥ (cid:97)(cid:82)(cid:49) 𝑃 E 𝐴 (cid:76) 𝐵 (cid:183)(cid:184)(cid:142)(cid:40)(cid:47) (cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:102) 6.(cid:263)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:42)(cid:212) (cid:46)(cid:229)(cid:139)(cid:263)(cid:197)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:328)
3
𝑃𝐷 𝐸−𝐴𝐶−𝑃 𝑃𝐸:𝐸𝐷
(cid:300)(cid:34)(cid:15)(cid:329).
(cid:22)(cid:278)(cid:130)9-3(cid:28)(cid:271)2024·(cid:315)(cid:316)(cid:372)(cid:373)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)1(cid:76)(cid:97)(cid:352)(cid:319)(cid:129) (cid:58)(cid:76) = (cid:76) (cid:76) = (cid:196)
(cid:76)(cid:199) (cid:309) (cid:310)(cid:45)(cid:249)2(cid:76)(cid:183)(cid:184) = (cid:76) (cid:102) (cid:46)𝐴(cid:58)𝐵𝐶(cid:49)𝐷𝐸(cid:165) 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐷⊥𝐷𝐶 𝐸𝐴 𝐸𝐷
𝐸𝐴⊥𝐸𝐷 △𝐴𝐸𝐷 𝐴𝐷 𝐸𝐵 𝐴𝐵 𝐹 𝐴𝐸(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10) //(cid:36)(cid:40) (cid:139)
(2)(cid:263) (cid:48)𝐵(cid:36)𝐹(cid:40) 𝐸(cid:44)𝐶𝐷(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:102)30°(cid:76)(cid:42)(cid:142)(cid:40)(cid:47) (cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:165)
𝐸𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴−𝐸𝐵−𝐷
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:49)(cid:50)(cid:38)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:32)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)10(cid:28)(cid:271)2024·(cid:279)(cid:316)(cid:125)(cid:374)·(cid:82)(cid:287)(cid:276)(cid:304)(cid:257)(cid:102)3(cid:46)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:49)E(cid:76)F(cid:334)(cid:259) =2 (cid:76) =2
1 1 1 1 1
⃗
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷 𝐸 𝐸𝐷 𝐵𝐹
(cid:76)(cid:178)(cid:49)E(cid:50)(cid:38)(cid:35) (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:102)(cid:271) (cid:276)
1 1
⃗
𝐹𝐵 𝐹𝐶
A(cid:165)3 35 B(cid:165)2 35
5 5
C(cid:165)3 7 D(cid:165)2 7
5 5
(cid:22)(cid:278)(cid:130)10-1(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:370)(cid:280)(cid:375)(cid:376)·(cid:295)(cid:170)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76) =1(cid:76)M(cid:76)N(cid:71)
1 1 1 1
(cid:180)(cid:114)(cid:304)AB(cid:76) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)E(cid:114)BD(cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:178)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35) (cid:76)EN(cid:64)𝐴(cid:46)𝐵(cid:51)𝐶𝐷(cid:52)−(cid:102)𝐴(cid:271)𝐵 𝐶 (cid:276)𝐷 𝐴𝐵
1 1
𝐶𝐶 𝐷 𝑀
A(cid:165) 2 B(cid:165) 2 C(cid:165)1 D(cid:165) 4
4 2 3
(cid:22)(cid:278)(cid:130)10-2(cid:28)(cid:271)2024·(cid:110)(cid:111)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:97)(cid:63)(cid:64)(cid:38)(cid:47)(cid:209)(cid:210)(cid:81)(cid:58)(cid:76)(cid:38)(cid:35) (cid:377)(cid:150) (3,3,3)(cid:76) (0,6,0)(cid:191)(cid:49)(cid:76)(cid:178)(cid:49)
(0,0,6)(cid:50)(cid:38)(cid:35) (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:114)(cid:271) (cid:276) 𝑙 𝐴 𝐵
𝑃 A(cid:165)6 2 𝑙 B(cid:165)2 3 C(cid:165)2 6 D(cid:165)3 2(cid:22)(cid:278)(cid:130)10-3(cid:28)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:298)·(cid:315)(cid:335)(cid:378)(cid:325)·(cid:274)(cid:58)(cid:276)(cid:97)(cid:303)(cid:304)(cid:313) (cid:58)(cid:76)(cid:307)(cid:40) (cid:114)(cid:319)(cid:257)(cid:102)3(cid:46)(cid:297)(cid:74)(cid:129)(cid:76)
(cid:307)(cid:40) =6(cid:76)(cid:49) (cid:97)(cid:306)(cid:304) (cid:246)(cid:76)(cid:196)(cid:334)(cid:259) = (cid:76)𝑃−(cid:178)𝐴(cid:43)𝐵𝐶(cid:40)𝐷(cid:38)(cid:35) (cid:39)𝐴𝐵𝐶(cid:46)𝐷(cid:51)(cid:52)(cid:102)(cid:271) (cid:276) 𝑃𝐴⊥
A 𝐴 (cid:165) 𝐵𝐶3𝐷1,𝑃4𝐴 𝐺 B(cid:165)3 15𝑃𝐵 2 C 𝑃 (cid:165) 𝐺3 2𝐺1𝐵 D 𝑃 (cid:165) 𝐶3 𝐷77𝐺
14 15 7 77
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:42)(cid:49)(cid:40)(cid:51)(cid:53)(cid:35)(cid:40)(cid:51)(cid:53)(cid:40)(cid:40)(cid:51)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)11(cid:28)(cid:271)2024·(cid:279)(cid:280)·(cid:262)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:319)(cid:257)(cid:102)4(cid:46)(cid:191)(cid:198)(cid:297)(cid:262)(cid:47)(cid:129) (cid:76) (cid:44)(cid:97)(cid:36)(cid:40)(cid:226)(cid:216)(cid:41)(cid:38)(cid:76) (cid:76) (cid:71)(cid:180)(cid:102)
(cid:76) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:49) (cid:97)(cid:304) (cid:246)(cid:76) = (cid:76)(cid:38)(cid:35) (cid:48)(cid:36)(cid:40) 𝐴𝐵(cid:216)𝐶(cid:217)𝐵(cid:119)𝐶(cid:49)𝐷 . 𝐸 𝐹
𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐺 𝐴𝐷 𝐴𝐺 2𝐺𝐷 𝐴𝐵 𝐸𝐹𝐺 𝐻
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10) // (cid:139)
(2)(cid:42)(cid:38)(cid:35)𝐵𝐷(cid:48)𝐺(cid:36)𝐻(cid:40) (cid:46)(cid:51)(cid:52).
𝐵𝐷 𝐸𝐹𝐺
(cid:22)(cid:278)(cid:130)11-1(cid:28)(cid:271)2024·(cid:351)(cid:379)(cid:172)(cid:380)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:38)(cid:303)(cid:304)(cid:305) (cid:333)(cid:304)(cid:257)(cid:381)(cid:102)2(cid:76) = (cid:76)O
1 1 1 1 3
π
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:114)(cid:35)(cid:170)BD(cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:165)
(1)(cid:42)(cid:49)O(cid:50)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:139)
1 1
(2)(cid:42)(cid:38)(cid:35)AB(cid:48)(cid:36)𝐴(cid:40)𝐶 𝐷 (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:165)
1 1
𝐴 𝐶 𝐷(cid:22)(cid:278)(cid:130)11-2(cid:28)(cid:271)2024(cid:24)(cid:142)(cid:246)·(cid:110)(cid:111)·(cid:26)(cid:21)(cid:296)(cid:149)(cid:276)(cid:38)(cid:303)(cid:304)(cid:305) (cid:58)(cid:76)(cid:307)(cid:40) (cid:102)(cid:297)(cid:74)(cid:129)(cid:76)(cid:319)(cid:257)(cid:102)
1 1 1 1
2(cid:76)(cid:306)(cid:304) =3(cid:76) 、 (cid:71)(cid:180)(cid:102) 、 (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76) 、𝐴𝐵(cid:71)𝐶𝐷(cid:180)−(cid:114)𝐴 𝐵 𝐶,𝐷 (cid:46)(cid:58)(cid:49)𝐴(cid:165)𝐵𝐶𝐷
1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝐴 𝐴 𝑀 𝑁 𝐴 𝐵 𝐴 𝐷 𝐸 𝐹 𝐶 𝐷 𝐵 𝐶
(1)(cid:42)(cid:33)(cid:10)(cid:36)(cid:40) //(cid:36)(cid:40) (cid:139)
(2)(cid:42)(cid:36)(cid:40) 𝐴(cid:48)𝑀(cid:36)𝑁(cid:40) 𝐸(cid:46)𝐹(cid:51)𝐵𝐷(cid:52)(cid:165)
𝐴𝑀𝑁 𝐸𝐹𝐵𝐷
(cid:22)(cid:278)(cid:130)11-3(cid:28)(cid:271)2024·(cid:330)(cid:292)(cid:355)(cid:356)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:262)(cid:304)(cid:305) (cid:58)(cid:76) (cid:114)(cid:319)(cid:257)(cid:102)2(cid:46)(cid:135)(cid:319)(cid:262)(cid:47)(cid:129)(cid:76)
1 1 1
= . 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 △𝐴𝐵𝐶
1 1
𝐴𝐴 𝐴 𝐶
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10) (cid:139)
1 1 1
(2)(cid:263)(cid:262)(cid:304)𝐴(cid:305)𝐶 ⊥𝐴 𝐵 (cid:46)(cid:55)(cid:264)(cid:102)3(cid:76)(cid:196)(cid:38)(cid:35) (cid:48)(cid:36)(cid:40)ABC(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:102)60°(cid:76)(cid:42)(cid:49) (cid:50)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:51)(cid:52).
1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐴 𝐴 𝐵𝐶𝐶 𝐵(cid:22)(cid:21)(cid:29)12 (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:46)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:270)12(cid:28)(cid:271)2024·(cid:116)(cid:382)(cid:383)(cid:384)(cid:39)(cid:385)(cid:253)·(cid:142)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:245)(cid:161) (cid:36)(cid:40) (cid:76) (cid:76) (cid:114)(cid:135)(cid:386)(cid:38)(cid:47)(cid:262)(cid:47)(cid:129)(cid:76)
𝐴𝐵⊥ 𝐵𝐶𝐸 𝐶𝐷∥𝐴𝐵 △𝐵𝐶𝐸
(cid:239)(cid:58) = (cid:76)(cid:196) = = =4(cid:165)
2
π
∠𝐸𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 2𝐶𝐷
(1)(cid:179)(cid:35)(cid:170) (cid:58)(cid:49)(cid:102) (cid:76)(cid:33)(cid:34)(cid:10) (cid:36)(cid:40) (cid:139)
(2)(cid:97)(cid:35)(cid:170) 𝐵𝐸 (cid:246)(cid:114)(cid:326) 𝐹 (cid:106)(cid:97)(cid:49) (cid:76) 𝐶 (cid:183) 𝐹∥ (cid:184)(cid:49) 𝐴 (cid:50) 𝐷 (cid:36) 𝐸 (cid:40) (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:135)(cid:119) 2(cid:76)(cid:166)(cid:167)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:42) (cid:46)(cid:257)(cid:165)
2
𝐴𝐵 𝑀 𝐵 𝐶𝐸𝑀 𝑀𝐵
(cid:22)(cid:278)(cid:130)12-1(cid:28)(cid:271)2024·(cid:387)(cid:325)(cid:388)(cid:316)·(cid:82)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:44)(cid:164)(cid:102)(cid:38)(cid:303)(cid:304)(cid:305) = =2 2 = =
1 1 1 1
=4(cid:76) =60°(cid:76) (cid:71)(cid:180)(cid:114)(cid:35)(cid:170) (cid:46)(cid:58)(cid:49). 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ,𝐴𝐵 𝐴𝐷 ,𝐶𝐵 𝐶𝐷 4,𝐴
1 1 1 1
𝐴 ∠𝐵𝐶𝐷 𝑀,𝑀 𝐵𝐶,𝐵 𝐶
(1)(cid:33)(cid:34): (cid:36)(cid:40) (cid:139)
1
(2)(cid:42)(cid:38)(cid:35)𝐵𝐶B⊥C(cid:48)(cid:36)𝑀(cid:40)𝑀 𝐷 (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:76)(cid:89)(cid:221)(cid:222)(cid:35)(cid:170)BC(cid:246)(cid:114)(cid:326)(cid:106)(cid:97)(cid:49) (cid:76)(cid:183)(cid:184) //(cid:36)(cid:40) (cid:76)(cid:263)(cid:106)(cid:97)(cid:76)
1 1 1
(cid:42)(cid:212)BP(cid:46)(cid:229)(cid:76)(cid:263)(cid:197)(cid:106)𝐵𝐷(cid:97)𝐴(cid:76)(cid:328)(cid:300)(cid:34)(cid:15)(cid:329). 𝑃 𝑃𝐵 𝐵𝐷𝐴(cid:22)(cid:278)(cid:130)12-2(cid:28)(cid:271)2024·(cid:389)(cid:390)(cid:315)(cid:391)(cid:392)(cid:393)·(cid:82)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)1(cid:76)(cid:97)(cid:36)(cid:37)(cid:303)(cid:319)(cid:129) (cid:58)(cid:76) = = =2(cid:76)(cid:199)
(cid:309) (cid:310)(cid:311)(cid:76)(cid:183)(cid:49)D(cid:50)(cid:394)(cid:49)P(cid:79)(cid:80)(cid:76)(cid:196) (cid:76)(cid:395)(cid:258) (cid:184)(cid:262)(cid:304)(cid:313)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:76)(cid:166)𝐷(cid:249)620(cid:165)°,𝐷𝐶 2𝐴𝐷 △𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝑃𝐶⊥𝐵𝐶 𝑃𝐵 𝑃−𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:36)(cid:40) (cid:36)(cid:40) (cid:139)
𝑃𝐴𝐵⊥ 𝐴𝐵𝐶 5
(2)(cid:97)(cid:35)(cid:170) (cid:246)(cid:114)(cid:326)(cid:106)(cid:97)(cid:49)M(cid:76)(cid:183)(cid:36)(cid:40) (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:88)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:102) (cid:76)(cid:263)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:42)(cid:212) (cid:46)(cid:229)(cid:76)(cid:263)(cid:197)(cid:106)
8
|𝑃𝑀|
𝑃𝐶 𝐴𝑀𝐵 𝑀𝐵𝐶 |𝑃𝐶|
(cid:97)(cid:76)(cid:328)(cid:300)(cid:34)(cid:15)(cid:329)(cid:165)
(cid:22)(cid:278)(cid:130)12-3(cid:28)(cid:271)2024·(cid:396)(cid:208)(cid:390)(cid:397)·(cid:142)(cid:287)(cid:276)(cid:262)(cid:304)(cid:305) (cid:58)(cid:76) (cid:76) = =2(cid:76)(cid:306)(cid:40) (cid:102)(cid:314)
1 1 1 1 1
(cid:129)(cid:76) = 2 (cid:76)(cid:262)(cid:304)(cid:313) (cid:46)(cid:55)(cid:264)(cid:102)2 3𝐴 (cid:165) 𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵⊥𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴 𝐴𝐶𝐶
1 3 1 3
π
∠𝐴 𝐴𝐵 𝐶 −𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:42)(cid:306)(cid:304) (cid:46)(cid:257)(cid:139)
1
(2)(cid:306)(cid:304) 𝐴𝐴 (cid:246)(cid:114)(cid:326)(cid:106)(cid:97)(cid:49) (cid:76)(cid:183)(cid:184)(cid:38)(cid:35) (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:102) 5(cid:327)(cid:263)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:42)(cid:212)(cid:35)(cid:170) (cid:46)(cid:257)(cid:139)(cid:263)
1 1 1
5
𝐶𝐶 𝐸 𝐴𝐸 𝐴 𝐵𝐶 𝐶 𝐸
(cid:197)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:328)(cid:300)(cid:34)(cid:15)(cid:329)(cid:165)(cid:82)(cid:53)(cid:85)(cid:20)(cid:21)
1(cid:165)(cid:271)2024·(cid:303)(cid:364)(cid:398)(cid:353)·(cid:142)(cid:287)(cid:276)(cid:245)(cid:161) (cid:114)(cid:191)(cid:107)(cid:197)(cid:283)(cid:46)(cid:38)(cid:35)(cid:76) (cid:114)(cid:191)(cid:198)(cid:197)(cid:283)(cid:46)(cid:36)(cid:40)(cid:76)(cid:399)(cid:212)(cid:298)(cid:299)(cid:269)(cid:400)(cid:76)(cid:239)(cid:58)(cid:297)(cid:291)
(cid:269)(cid:400)(cid:46)(cid:198)(cid:13)(cid:114)(cid:271) (cid:276) 𝑚,𝑛 𝛼,𝛽
(cid:263) (cid:76)(cid:196) (cid:76)(cid:178)
①(cid:263)𝑚⊥𝛼,𝑛⊥𝛽(cid:196) 𝑚//⊥𝑛// (cid:76)𝛼(cid:178)⊥𝛽//
②(cid:263)𝑚⊂𝛼,𝑛/⊂/ 𝛼(cid:76)(cid:196)𝑚 𝛽,𝑛(cid:76)𝛽(cid:178) 𝛼 𝛽
③(cid:263)𝑚⊥𝛼,𝑛//𝛽(cid:76)(cid:196)𝑚/⊥/𝑛(cid:76)(cid:178)𝛼/⊥/𝛽
④A(cid:165)𝑚1⊥𝛼,𝑛 𝛽 𝑚B(cid:165)𝑛2 𝛼 𝛽 C(cid:165)3 D(cid:165)4
2(cid:165)(cid:271)2024·(cid:370)(cid:280)(cid:401)(cid:402)·(cid:142)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76) = = (cid:76)(cid:178)(cid:298)(cid:299)(cid:269)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:400)(cid:58)(cid:297)(cid:291)(cid:46)(cid:114)(cid:271) (cid:276) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐷∩𝐴𝐷 𝐸,𝐶𝐷 ∩𝐶 𝐷 𝐹
A(cid:165) //(cid:36)(cid:40) B(cid:165)(cid:36)(cid:40) (cid:36)(cid:40)
1 1 1 1
C(cid:165)𝐵𝐵 (cid:36)(cid:40) 𝐴𝐶𝐷 D(cid:165)(cid:36)(cid:40)𝐵𝐷𝐶 ⊥(cid:116)(cid:106)𝐴(cid:97)𝐶(cid:48)𝐷 (cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:38)(cid:35)
1 1 1 1
3(cid:165)(cid:271)20𝐸2𝐹4·⊥(cid:367)(cid:363)(cid:368)𝐵(cid:353)𝐷𝐷·(cid:287)𝐵(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:38)(cid:262)(cid:304)(cid:305) 𝐴𝐵𝐵 𝐴(cid:58)(cid:76) =𝐸𝐹120°(cid:76) = =2(cid:76) =1(cid:76)(cid:178)
1 1 1 1
(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35) (cid:48) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:102)(cid:271) (cid:276) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐶 𝐵𝐶
1 1
A(cid:165) 3𝐴𝐵 𝐵𝐶 B(cid:165) 15 C(cid:165) 10 D(cid:165) 3
2 5 4 3
4(cid:165)(cid:271)2024·(cid:315)(cid:316)(cid:23)(cid:227)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:245)(cid:161) ( )(cid:76)(cid:38)(cid:35) (cid:150)(cid:403)(cid:49)(cid:196)(cid:36)(cid:37)(cid:119) =(0,1,2)(cid:76)(cid:178) (cid:50) (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:102)
(cid:271) (cid:276). 𝐴 −1,−1,−1 𝑙 𝑎 𝐴 𝑙
A(cid:165)2 5 B(cid:165)1 C(cid:165) 30 D(cid:165) 35
5 5 5
5(cid:165)(cid:271)2024·(cid:315)(cid:316)(cid:372)(cid:373)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:36)(cid:40) (cid:377)(cid:150)(cid:49) (cid:76)(cid:36)(cid:40) (cid:377)(cid:150)(cid:49) (cid:76)(cid:346)(cid:36)
1 1 1 1 1
(cid:40) (cid:71)(cid:180)(cid:361)(cid:297)(cid:74)(cid:55)(cid:44)(cid:184)(cid:361)(cid:40)(cid:40)(cid:264)(cid:347)(cid:244)(cid:143)(cid:76)𝐴(cid:36)𝐵(cid:40)𝐶𝐷−(cid:48)𝐴(cid:36)𝐵(cid:40)𝐶 (cid:46)𝐷(cid:88)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)𝛼(cid:229)(cid:102)(cid:271)𝐵 , 𝐷 (cid:276) 𝛽 𝐴,𝐷
𝛼 A ,𝛽 (cid:165) 1 B(cid:165) 3 C 𝛼 (cid:165) 6 𝛽 D(cid:165) 3
2 3 3 2
6(cid:165)(cid:271)2024·(cid:315)(cid:335)(cid:404)(cid:405)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:304)(cid:257)(cid:102)2(cid:46)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:179)(cid:49) (cid:102)(cid:307)(cid:40) (cid:116)(cid:271)(cid:338)(cid:319)(cid:406)(cid:276)
1 1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑃 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷(cid:46)(cid:345)(cid:49)(cid:76)(cid:178)(cid:49) (cid:50)(cid:36)(cid:40) (cid:51)(cid:52)(cid:121)(cid:39)(cid:46)(cid:347)(cid:137)(cid:229)(cid:102)(cid:271) (cid:276)
1
A(cid:165) 3 𝐴,𝐶 B(cid:165) 𝑃𝐵2𝐷3 C(cid:165) 2 D(cid:165) 2
3 3 2 3
7(cid:165)(cid:271)2024·(cid:363)(cid:407)(cid:408)(cid:409)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:49) (cid:102)(cid:35)(cid:170) (cid:246)(cid:46)(cid:345)(cid:49)(cid:76)(cid:38)(cid:35) (cid:102)(cid:36)(cid:40)
1 1 1 1 1 1
(cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:217)(cid:35)(cid:76)(cid:410)(cid:78)(cid:166)(cid:298)(cid:300)(cid:32) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑃 𝐵𝐷 𝑚 𝐴 𝐷𝑃
1
(cid:197)(cid:106)𝐵(cid:97)𝐶(cid:49)𝑃 (cid:76)(cid:183)(cid:184) //(cid:36)(cid:40)
1 1
①(cid:106)(cid:97)(cid:49) (cid:76)𝑃(cid:183)(cid:184) 𝐵𝐵 (cid:36)(cid:40) 𝐴 𝐷𝑃
1 1
②(cid:346)(cid:49) (cid:197)𝑃(cid:114) (cid:46)𝐵(cid:58)𝑃(cid:49)⊥(cid:143)(cid:76)(cid:337)𝐴 (cid:78)𝐷𝑃 /(cid:36)(cid:40)
1 1 1
③(cid:346)(cid:49)𝑃(cid:197)(cid:114)𝐵𝐷 (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:143)(cid:76)(cid:337)(cid:78)𝑚 (cid:36)(cid:40)𝐴 𝐵 𝐶𝐷
1 1
④(cid:239)(cid:58)(cid:297)(cid:291)𝑃(cid:46)(cid:300)𝐵(cid:32)𝐷(cid:78)(cid:271) (cid:276) 𝑚⊥ 𝐴𝐵𝐷
A(cid:165) B(cid:165) C(cid:165) D(cid:165)
8(cid:165)(cid:271)20①24③·(cid:411)(cid:316)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)③(cid:97)④(cid:36)(cid:37)(cid:371)(cid:40)(cid:55) ②③ (cid:58)(cid:76)(cid:245)(cid:161) =①④= =1(cid:76) =
1 1 1 1 1 1 1
= =60°(cid:76)(cid:178)(cid:298)(cid:299)(cid:20)(cid:412)(cid:58)(cid:301)(cid:302)(cid:46)(cid:82)𝐴𝐵(cid:412)𝐶(cid:114)𝐷−(cid:271)𝐴 𝐵 (cid:276)𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 ∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴
𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷
A(cid:165)(cid:38)(cid:35) (cid:48)BD(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:102)90°
1
B(cid:165)(cid:35)(cid:170)𝐴 𝐶(cid:46)(cid:257)(cid:134)(cid:102) 2
1
C(cid:165)(cid:38)(cid:35)𝐴 𝐶(cid:48) (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:102)90°
1 1
D(cid:165)(cid:38)(cid:35) 𝐴 𝐶 (cid:48) 𝐵 (cid:36) 𝐵 (cid:40)ABCD(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:102) 6
1
3
𝐴 𝐶
(cid:142)(cid:53)(cid:145)(cid:20)(cid:21)
9(cid:165)(cid:271)2024·(cid:272)(cid:292)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:245)(cid:161)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:102) (cid:58)(cid:49)(cid:76) (cid:102)BC(cid:58)(cid:49)(cid:76)(cid:178)(cid:271) (cid:276)
1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ,𝑃 𝐴𝐴 𝑄A(cid:165)(cid:38)(cid:35)PD(cid:48)(cid:38)(cid:35) (cid:36)(cid:37) B(cid:165)(cid:38)(cid:35) (cid:48)(cid:38)(cid:35) (cid:41)(cid:38)
1 1 1
C(cid:165)(cid:38)(cid:35)PQ(cid:48)(cid:38)(cid:35)𝑄𝐵 (cid:216)(cid:217) D(cid:165)(cid:38)(cid:35)𝑃P𝐶Q(cid:48)(cid:38)(cid:35)𝑄𝐷 (cid:43)(cid:40)
1 1
10(cid:165)(cid:271)2024·(cid:279)(cid:316)(cid:387)(cid:413)·(cid:287)𝐴(cid:288)𝐵(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) 𝐷𝐵(cid:58)(cid:76)P(cid:102)(cid:35)(cid:170) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)Q(cid:102)(cid:35)(cid:170)
1 1 1 1 1 1 1
(cid:246)(cid:46)(cid:345)(cid:49)(cid:271)(cid:197)(cid:414)(cid:415)(cid:339)(cid:49)(cid:276)(cid:76)(cid:178)(cid:271) (cid:276) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐶 𝐵𝐶
A(cid:165)(cid:106)(cid:97)(cid:49)Q(cid:76)(cid:183)(cid:184) // B(cid:165)(cid:106)(cid:97)(cid:49)Q(cid:76)(cid:183)(cid:184) (cid:36)(cid:40)
1 1
𝑃𝑄 𝐵𝐷 𝑃𝑄⊥ 𝐴𝐵 1𝐶 𝐷
C(cid:165)(cid:262)(cid:304)(cid:313) (cid:46)(cid:55)(cid:264)(cid:114)(cid:86)(cid:229) D(cid:165)(cid:142)(cid:40)(cid:47) (cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:102)
1 1 3
𝑄−𝐴𝑃𝐷 𝑄−𝐴 𝐶 −𝐷
11(cid:165)(cid:271)2024·(cid:272)(cid:292)(cid:416)(cid:398)·(cid:142)(cid:287)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:297)(cid:303)(cid:304)(cid:305) (cid:58)(cid:76) = = (cid:114)(cid:304) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76)
1 1 1 1 1 1
(cid:102)(cid:35)(cid:170) (cid:246)(cid:46)(cid:49)(cid:271)(cid:43)(cid:119)(cid:339)(cid:49)(cid:276)(cid:76)(cid:196) = (cid:76)(cid:178)𝐴𝐵(cid:298)𝐶𝐷(cid:299)−(cid:300)𝐴(cid:32)𝐵(cid:297)𝐶(cid:291)𝐷(cid:46)(cid:114)(cid:271)𝐴 𝐴 (cid:276) 2𝐴𝐵 2,𝐸 𝐴𝐴 𝑃
1
𝐵𝐷 𝐸𝐷 𝑃𝐷
A(cid:165) (cid:114)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:82)(cid:198)(cid:32)(cid:30)(cid:31)
1
𝐸𝐷 𝐸𝐷𝐶
3
B(cid:165) =
4 1
𝐵𝑃 𝐵𝐷
C(cid:165)(cid:49) (cid:50)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:51)(cid:52)(cid:102) 6
1
18
𝑃 𝐸𝐶𝐷
D(cid:165)(cid:142)(cid:40)(cid:47) (cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:102)3 21
14
𝑃−𝐸𝐶−𝐷
(cid:262)(cid:53)(cid:417)(cid:63)(cid:21)
12(cid:165)(cid:271)23-24(cid:24)(cid:142)(cid:298)·(cid:411)(cid:316)(cid:418)(cid:353)·(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:263) // (cid:76)(cid:196) =( )(cid:102)(cid:38)(cid:35) (cid:46)(cid:82)(cid:198)(cid:74)(cid:30)(cid:30)(cid:31)(cid:76) = 1, 1 ,2 (cid:102)(cid:36)(cid:40) (cid:46)
2
(cid:82)(cid:198)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:178)(cid:419)(cid:13) (cid:46)(cid:229)(cid:102) . 𝑙 𝛼 𝑚 2,𝑡,1 𝑙 𝑛 𝛼
13(cid:165)(cid:271)2024·(cid:279)(cid:280)·(cid:82)(cid:287)𝑡(cid:276)(cid:97)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:58)(cid:76)(cid:49)P(cid:53)Q(cid:71)(cid:180)(cid:97) (cid:53) (cid:246)(cid:76)(cid:196) = (cid:76)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝑃 2𝑃𝐵= (cid:76)(cid:178)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35) (cid:48) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:102) .
1 1
𝐶14(cid:165)𝑄(cid:271)22𝑄02𝐷4·(cid:279)(cid:280)(cid:420)(cid:421)·(cid:287)(cid:288)𝐵(cid:289)𝑃(cid:290)𝐷(cid:276)𝑄(cid:245)(cid:161)(cid:303)(cid:304)(cid:305) (cid:46)(cid:307)(cid:40)(cid:114)(cid:297)(cid:74)(cid:129)(cid:76) =4(cid:76) =4 2(cid:76)(cid:49)
1 1 1 1 1 1
(cid:97)(cid:307)(cid:40) (cid:46)(cid:236)(cid:237)(cid:102) (cid:58)(cid:49)H(cid:76)(cid:178)(cid:38)(cid:35) (cid:48)𝐴𝐵(cid:36)𝐶𝐷(cid:40)−𝐴 𝐵 𝐶(cid:44)(cid:45)𝐷 (cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:102) 𝐴𝐵(cid:165) 𝐴𝐴 𝐵
1
(cid:303)(cid:53)(cid:73)𝐴(cid:128)𝐵(cid:21)𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
15(cid:165)(cid:271)2024·(cid:411)(cid:316)(cid:351)(cid:422)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:245)(cid:161)(cid:145)(cid:40)(cid:55)(cid:114)(cid:329)(cid:297)(cid:303)(cid:304)(cid:313)P-ABCD(cid:48)(cid:297)(cid:74)(cid:55) (cid:423)(cid:172)
1 1 1 1
(cid:285)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:196) = 3 . 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
2
𝑃𝐶 𝐴𝐵
(1)(cid:42)(cid:33)(cid:10) //(cid:36)(cid:40) (cid:139)
1 1
(2)(cid:263) =𝑃3𝐶(cid:76)(cid:42)(cid:303)(cid:304)𝐴𝐷(cid:313)𝐶 𝐵 (cid:46)(cid:55)(cid:264).
1 1
𝐴𝐵 𝑃−𝐴𝐷𝐶 𝐵
16(cid:165)(cid:271)2024·(cid:387)(cid:325)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:262)(cid:304)(cid:341) (cid:58)(cid:76) (cid:36)(cid:40)ABC(cid:76) (cid:76) =4(cid:76) =
1 1 1 1 1 1
= =2(cid:165) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐶 ⊥ 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴 𝐶
1 1 1
𝐵 𝐶 𝐶𝐶
(1)(cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:38)(cid:35) (cid:48) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:139)
1 1 1
(2)(cid:42)(cid:38)(cid:35) (cid:48)𝐴(cid:36)𝐵(cid:40)𝐵 𝐶 (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:165)
1 1 1
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐶17(cid:165)(cid:271)2024·(cid:272)(cid:273)(cid:424)(cid:325)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:262)(cid:304)(cid:313) (cid:58)(cid:76) = (cid:76) = (cid:76) = = (cid:165)
2
π
𝑃−𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝑂 𝐶𝑂 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10) (cid:36)(cid:40) (cid:139)
(2)(cid:263) =𝑂𝑃2⊥ = 𝐴2𝐵𝐶 (cid:76)E(cid:114)(cid:304) (cid:246)(cid:82)(cid:49)(cid:196) = (cid:76)(cid:42)(cid:36)(cid:40) (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:88)(cid:47) (cid:165)
𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 2𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝑃𝐴𝐸 𝑃𝐴𝐶 𝜃
18(cid:165)(cid:271)2024·(cid:349)(cid:273)·(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:276)(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:97)(cid:38)(cid:303)(cid:304)(cid:305) (cid:58)(cid:76)(cid:307)(cid:40)(cid:303)(cid:319)(cid:129) (cid:102)(cid:308)(cid:129)(cid:76)
1 1 1 1
// = =2(cid:76) =2 2 =4. 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐴𝐷 𝐵𝐶,𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷 ,𝐵𝐶
(1)(cid:33)(cid:34)(cid:10) ;
1 1 1
(2)(cid:263)(cid:38)(cid:35) 𝐴 𝐵 (cid:48)(cid:36) ⊥𝐴 (cid:40) 𝐷 (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:102) 6(cid:76)(cid:49) (cid:102)(cid:35)(cid:170) (cid:246)(cid:82)(cid:49)(cid:76)(cid:42)(cid:49) (cid:50)(cid:36)(cid:40) (cid:46)(cid:51)(cid:52).
1 1 1 1
6
𝐴𝐵 𝐵 𝐶𝐷 𝑀 𝐵𝐷 𝑀 𝐵 𝐶𝐷
19(cid:165)(cid:271)2024·(cid:387)(cid:325)(cid:387)(cid:353)·(cid:142)(cid:287)(cid:276)(cid:329)(cid:297)(cid:304)(cid:313)(cid:361)(cid:184)(cid:46)(cid:304)(cid:341)(cid:175)(cid:102)(cid:297)(cid:304)(cid:341).(cid:166)(cid:249)(cid:76)(cid:297)(cid:303)(cid:304)(cid:341) (cid:58)(cid:76) (cid:71)
1 1 1 1
(cid:180)(cid:102) (cid:46)(cid:58)(cid:49)(cid:76) =2 =4(cid:76)(cid:306)(cid:40) (cid:48)(cid:307)(cid:40) (cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:102)45°. 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸,𝐹
1 1 1 1
𝐴𝐷,𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 𝐵𝐵 𝐶 𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷(1)(cid:42)(cid:33)(cid:10) //(cid:36)(cid:40) (cid:139)
1 1
(2)(cid:35)(cid:170) 𝐵 (cid:246) 𝐷 (cid:114)(cid:326)(cid:106)(cid:97) 𝐴 (cid:49) 𝐸𝐹 (cid:76)(cid:183)(cid:184)(cid:38)(cid:35) (cid:48)(cid:36)(cid:40) (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:297)(cid:228)(cid:229)(cid:102)3 5(cid:76)(cid:263)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:42)(cid:212)(cid:35)(cid:170) (cid:46)(cid:257)(cid:139)
1 1
10
𝐴𝐵 𝑀 𝐷 𝑀 𝐴 𝐸𝐹 𝐴𝑀
(cid:263)(cid:197)(cid:106)(cid:97)(cid:76)(cid:328)(cid:300)(cid:34)(cid:15)(cid:329).
