文档内容
专题 4.6 解三角形【九大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:28)........................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:42)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:43)(cid:28)............................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:42)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:44)(cid:39)(cid:45)(cid:13)(cid:28)............................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:46)(cid:47)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:39)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:51)(cid:28)........................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:54)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:39)(cid:58)(cid:21)(cid:28)....................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:52)(cid:60)(cid:59)(cid:39)(cid:61)(cid:62)(cid:52)(cid:63)(cid:64)(cid:28)............................................................................................8
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:65)(cid:66)(cid:31)(cid:24)(cid:67)(cid:31)(cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:58)(cid:21)(cid:28)..............................................................................................................10
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:35)(cid:44)(cid:70)(cid:55)(cid:71)(cid:72)(cid:58)(cid:21)(cid:28)..............................................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:41)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:74)(cid:75)(cid:58)(cid:21)(cid:28)......................................................................................................13
1(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:77)
(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:35) (cid:80)(cid:21)(cid:81)(cid:82) (cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:85)
(1)(cid:86)(cid:87)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34) (cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:39)(cid:120)(cid:78)(cid:31)(cid:121)(cid:78)(cid:122)(cid:123)(cid:113)
2022(cid:108)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:109)(cid:110)I(cid:111)(cid:31)Ⅱ(cid:111)(cid:10)
(cid:15)(cid:88)(cid:89)(cid:76)(cid:38) (cid:119)(cid:124)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:125)(cid:25)(cid:122)(cid:123)(cid:126)(cid:95).(cid:127)(cid:128)(cid:71)(cid:108)(cid:39)
(cid:112)18(cid:21)(cid:113)12(cid:84)
(2)(cid:15)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:7) (cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:113)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:44)
2023(cid:108)(cid:23)(cid:114)(cid:115)I(cid:111)(cid:31)Ⅱ(cid:111)(cid:10)(cid:112)
(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:27) (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:21)(cid:31)(cid:134)(cid:135)(cid:21)(cid:48)(cid:25)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:113)
17(cid:21)(cid:113)10(cid:84)
(3)(cid:91)(cid:93)(cid:27)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32)(cid:33) (cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:132)(cid:44)(cid:143)(cid:21)(cid:48)(cid:113)(cid:132)(cid:24)(cid:25)(cid:144)(cid:21)(cid:48)(cid:141)
2024(cid:108)(cid:23)(cid:114)(cid:115)I(cid:111)(cid:31)Ⅱ(cid:111)(cid:10)(cid:112)
(cid:34)(cid:15)(cid:44)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:36)(cid:37) (cid:142)(cid:57)(cid:3)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:138)(cid:13)(cid:146)(cid:137)(cid:147)
15(cid:21)(cid:113)13(cid:84)
(cid:38)(cid:67)(cid:69)(cid:58)(cid:21) (cid:21)(cid:31)(cid:48)(cid:148)(cid:21).(cid:149)(cid:150)(cid:44)(cid:143)(cid:21)(cid:113)(cid:95)(cid:119)(cid:25)(cid:136)(cid:30)(cid:33)
2024 (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:116)(cid:111)(cid:117)(cid:17)(cid:13)(cid:118)(cid:10)
(4)(cid:91)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32) (cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:39)(cid:97)(cid:98)(cid:92)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:119)(cid:25)(cid:136)
(cid:112)12(cid:21)(cid:113)5(cid:84)
(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:50)(cid:101)(cid:102)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:44)(cid:94) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:41)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:55)(cid:56)(cid:7)(cid:51)(cid:39)(cid:153)(cid:154)
2024 (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:116)(cid:111)(cid:117)(cid:15)(cid:13)(cid:118)(cid:10)
(cid:95)(cid:96)(cid:41)(cid:68)(cid:69)(cid:54)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:105)(cid:57) (cid:92)(cid:27)(cid:113)(cid:57)(cid:155)(cid:139)(cid:140)(cid:41)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:31)(cid:70)(cid:55)(cid:156)(cid:69)
(cid:112)11(cid:21)(cid:113)5(cid:84)
(cid:3)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:58)(cid:21) (cid:50)(cid:101)(cid:102)(cid:153)(cid:154)(cid:157)(cid:21)(cid:113)(cid:158)(cid:79)(cid:11)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:35)(cid:44).
(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:78)1 (cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:71)(cid:162)(cid:58)(cid:21)(cid:39)(cid:44)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)
1(cid:165)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:166)(cid:145)(cid:167)(cid:27)
(1)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:39)(cid:167)(cid:27)(cid:119)(cid:132)(cid:168)(cid:101)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:169)(cid:84)(cid:170)(cid:171)(cid:39)(cid:83)(cid:129)(cid:172)(cid:35)(cid:44)(cid:89)(cid:32)(cid:170)(cid:171)(cid:113)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:119)(cid:103)(cid:177)(cid:175)(cid:176)(cid:113)
(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:181)(cid:141)(cid:3)(cid:150)(cid:182)(cid:101)(cid:170)(cid:171)(cid:39)(cid:103)(cid:177)(cid:113)(cid:183)(cid:184)(cid:44)(cid:103)(cid:177)(cid:35)(cid:185)(cid:182)(cid:101)(cid:170)(cid:171)(cid:186)
(2)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:39)(cid:187)(cid:95)(cid:45)(cid:167)(cid:27)(cid:119)(cid:106)(cid:142)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:37)(cid:3)(cid:188)(cid:39)(cid:189)(cid:16)(cid:113)(cid:44)(cid:21)(cid:155)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:168)(cid:101)(cid:193)(cid:194)(cid:16)(cid:146)(cid:37)(cid:39)
(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:3)(cid:188)(cid:113)(cid:139)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:168)(cid:101)(cid:193)(cid:194)(cid:16)(cid:146)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:39)(cid:3)(cid:188).
2(cid:165)(cid:42)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:43)(cid:39)(cid:195)(cid:196)(cid:10)
(1)(cid:16)(cid:40)(cid:146)(cid:37)(cid:113)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:37)(cid:76)(cid:77)(cid:197)(cid:141)(cid:37)(cid:126)(cid:198)(cid:39)(cid:3)(cid:188)(cid:151)(2)(cid:16)(cid:37)(cid:146)(cid:40)(cid:113)(cid:183)(cid:184)(cid:199)(cid:13)(cid:76)(cid:38)(cid:197)(cid:141)(cid:40)(cid:126)(cid:198)(cid:39)(cid:3)(cid:188)(cid:113)(cid:30)((cid:32))(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:119)(cid:200)(cid:16)(cid:39)(cid:201)(cid:202).
(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:27)(cid:206)(cid:207)(cid:103)(cid:104)(cid:113)(cid:208)(cid:53)(cid:79)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:7)(cid:213)(cid:51)(cid:113)(cid:79)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:7)(cid:213)(cid:51)(cid:113)(cid:218)(cid:219)(cid:140)(cid:57)(cid:220)(cid:212)(cid:95)(cid:207)(cid:38)(cid:43)(cid:39)(cid:190)(cid:91).(cid:4)(cid:210)
(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:193)(cid:194)(cid:113)(cid:120)(cid:225)(cid:37)(cid:39)(cid:63)(cid:64)(cid:149)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:62)(cid:39)(cid:226)(cid:227).
3(cid:165)(cid:149)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:44)(cid:39)(cid:45)(cid:13)(cid:39)(cid:228)(cid:229)
(cid:168)(cid:101)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:166)(cid:37)(cid:54)(cid:230)(cid:210)(cid:95)(cid:40)(cid:113)(cid:35)(cid:89)(cid:231)(cid:39)(cid:40)(cid:54)(cid:37)(cid:113)(cid:232)(cid:155)(cid:57)(cid:233)(cid:95)(cid:44)(cid:113)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:234)(cid:233)(cid:95)(cid:235)(cid:34).
(cid:168)(cid:101)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:166)(cid:40)(cid:54)(cid:89)(cid:48)(cid:95)(cid:40)(cid:39)(cid:149)(cid:37)(cid:113)(cid:35)(cid:89)(cid:231)(cid:39)(cid:40)(cid:54)(cid:37)(cid:113)(cid:232)(cid:155)(cid:190)(cid:91)(cid:141)(cid:142)(cid:95)(cid:44)(cid:31)(cid:166)(cid:44)(cid:52)(cid:203)(cid:44)(cid:39)(cid:83)(cid:129)(cid:113)(cid:36)
(cid:37)(cid:38)(cid:53)(cid:91)(cid:234)(cid:233)(cid:95)(cid:235)(cid:34).
(1)(cid:127)(cid:199)(cid:13)(cid:39)(cid:37)(cid:67)(cid:84)(cid:85)“(cid:168)(cid:101)(cid:166)(cid:40)(cid:54)(cid:89)(cid:48)(cid:95)(cid:40)(cid:39)(cid:149)(cid:37)(cid:113)(cid:35)(cid:187)(cid:95)(cid:40)(cid:39)(cid:149)(cid:37)”(cid:155)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:44)(cid:39)(cid:83)(cid:129)(cid:113)(cid:172)(cid:55)(cid:191)(cid:168)(cid:101)
a,b(cid:54)A(cid:113)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:146)(cid:236)(cid:237)(cid:191)(cid:238)(cid:47).
(cid:239)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:31)(cid:30)(cid:33)(cid:73)(cid:13)(cid:39)(cid:57)(cid:240)(cid:241)(cid:88)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:241)(cid:242)(cid:190)(cid:185)(cid:10)
(cid:243)(cid:244) B= >1(cid:113)(cid:219)(cid:245)(cid:246)(cid:193)(cid:194)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:45)(cid:13)(cid:146)0(cid:151)
(cid:247)(cid:244) B= =1(cid:113)(cid:219)(cid:245)(cid:246)(cid:193)(cid:194)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:45)(cid:13)(cid:146)1(cid:151)
(cid:248)(cid:244) B= <1(cid:113)(cid:219)(cid:245)(cid:246)(cid:193)(cid:194)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:45)(cid:13)(cid:146)1(cid:52)2.
(cid:249)(cid:250)(cid:239)0< B= <1(cid:190)(cid:185)B(cid:57)(cid:166)(cid:45)(cid:62)(cid:113)(cid:95)(cid:45)(cid:145)(cid:150) (cid:113)(cid:95)(cid:45)(cid:251)(cid:150) (cid:113)(cid:25)(cid:252)(cid:253)“(cid:145)(cid:40)(cid:149)(cid:145)(cid:37)”(cid:31)“(cid:36)
(cid:37)(cid:38)(cid:122)(cid:37)(cid:54)(cid:50)(cid:150) ”(cid:50)(cid:113)(cid:232)(cid:155)(cid:158)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:204).
4(cid:165)(cid:41)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:58)(cid:21)(cid:39)(cid:44)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:10)
(1)(cid:93)(cid:27)(cid:30)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:113)(cid:35)(cid:141)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:257)(cid:3)(cid:40)(cid:31)(cid:37)(cid:126)(cid:258)(cid:113)(cid:259)(cid:260)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:151)
(2)(cid:192)(cid:55)(cid:56)(cid:167)(cid:146)(cid:168)(cid:101)(cid:193)(cid:194)(cid:126)(cid:95)(cid:113)(cid:41)(cid:30)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:261)(cid:154)(cid:35)(cid:141)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:89)(cid:231)(cid:69).
(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:78)2 (cid:68)(cid:69)(cid:58)(cid:21)(cid:39)(cid:173)(cid:174)(cid:162)(cid:29)(cid:54)(cid:44)(cid:94)(cid:175)(cid:262)(cid:28)
1(cid:165)(cid:68)(cid:69)(cid:65)(cid:66)(cid:58)(cid:21)(cid:39)(cid:173)(cid:174)(cid:162)(cid:29)(cid:54)(cid:44)(cid:94)(cid:103)(cid:263)
(cid:264)AB(cid:39)(cid:59)(cid:67)(cid:53)(cid:190)(cid:259)(cid:260)(cid:68)(cid:69)(cid:155)(cid:113)(cid:35)AB(cid:39)(cid:65)(cid:66)(cid:57)(cid:191)(cid:172)(cid:36)(cid:207)(cid:162)(cid:29)(cid:10)
(cid:162)(cid:29) (cid:97)(cid:265) (cid:82)(cid:105)(cid:103)(cid:104)
(cid:68)(cid:185)AC=b(cid:113)BC=a(cid:113)C(cid:39)(cid:145)(cid:251)(cid:113)(cid:219)(cid:239)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)
A,B(cid:198)(cid:53)(cid:190)(cid:266)
(cid:139)(cid:53)(cid:190)(cid:225) (cid:185)
(cid:68)(cid:185)BC=a(cid:113)B(cid:113)C(cid:39)(cid:145)(cid:251)(cid:113)(cid:219)A
=π-(
B+ C)(cid:113)
B, C(cid:41)(cid:78)A(cid:190)
(cid:239)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:185)
(cid:225)(cid:267)(cid:53)(cid:190)(cid:266)(cid:68)(cid:185)CD=a(cid:88) BDC, ACD, BCD, ADC(cid:39)(cid:67)
C,D(cid:41)(cid:78)A,B (cid:13).(cid:132) ACD(cid:48)(cid:113)(cid:27)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:35)AC(cid:151)(cid:132) BCD
∠ ∠ ∠ ∠
(cid:268)(cid:190)(cid:225)(cid:53)(cid:190)(cid:266) (cid:48)(cid:113)(cid:27)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:35)BC(cid:151)(cid:132) ABC(cid:48)(cid:113)(cid:27)(cid:32)(cid:33)
△ △
(cid:34)(cid:15)(cid:35)AB.
△
2(cid:165)(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:67)(cid:58)(cid:21)(cid:39)(cid:173)(cid:174)(cid:162)(cid:29)(cid:54)(cid:44)(cid:94)(cid:103)(cid:263)
(cid:264)AB(cid:39)(cid:24)(cid:67)(cid:53)(cid:190)(cid:259)(cid:260)(cid:68)(cid:69)(cid:155)(cid:113)(cid:35)AB(cid:39)(cid:24)(cid:67)(cid:57)(cid:191)(cid:172)(cid:36)(cid:207)(cid:162)(cid:29)(cid:10)
(cid:162)(cid:29) (cid:97)(cid:265) (cid:82)(cid:105)(cid:103)(cid:104)
(cid:269)(cid:169)
(cid:68)(cid:185)BC=a(cid:113)C(cid:39)(cid:145)(cid:251)(cid:113)AB=a·tan C.
(cid:190)(cid:266)
(cid:68)(cid:185)CD=a(cid:88) ACB(cid:41) ADB(cid:39)(cid:67)(cid:13).
(cid:78)B(cid:41)
(cid:272)(cid:239)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:35)(cid:141)AC(cid:52)AD,(cid:273)(cid:44)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)
C,D(cid:270)(cid:271) ∠ ∠
(cid:185)AB(cid:39)(cid:62).
(cid:269)
(cid:169)
(cid:53)
(cid:190)
(cid:266)
(cid:78)B(cid:41) (cid:68)(cid:185)CD=a(cid:88) BCD, BDC, ACB(cid:39)(cid:67)(cid:13).
C , D(cid:53) (cid:132) BCD(cid:48)(cid:239)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:35)(cid:185)BC(cid:113)(cid:273)(cid:44)(cid:259)(cid:37)(cid:36)
∠ ∠ ∠
(cid:270)(cid:271) (cid:37)(cid:38)(cid:185)AB(cid:39)(cid:62).
△
3(cid:165)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:67)(cid:58)(cid:21)(cid:39)(cid:44)(cid:94)(cid:103)(cid:263)
(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:67)(cid:58)(cid:21)(cid:274)(cid:79)(cid:275)(cid:88)(cid:276)(cid:271)((cid:278)(cid:279)(cid:37)(cid:31)(cid:280)(cid:279)(cid:37))(cid:113)(cid:282)(cid:283)(cid:31)(cid:135)(cid:48)(cid:39)(cid:284)(cid:88)(cid:41)(cid:285)(cid:286)(cid:113)(cid:232)(cid:155)(cid:58)(cid:21)(cid:275)(cid:88)(cid:103)(cid:156)(cid:37)(cid:31)(cid:103)
(cid:287)(cid:37)(cid:50)(cid:288)(cid:289)(cid:113)(cid:244)(cid:119)(cid:290)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:14)(cid:31)(cid:294)(cid:295)(cid:50)(cid:113)(cid:219)(cid:140)(cid:275)(cid:88)(cid:296)(cid:37)(cid:31)(cid:297)(cid:37)(cid:50)(cid:288)(cid:289).(cid:44)(cid:94)(cid:232)(cid:162)(cid:58)(cid:21)(cid:39)(cid:3)(cid:299)(cid:119)(cid:179)(cid:180)(cid:21)(cid:210)(cid:31)(cid:265)
(cid:38)(cid:88)(cid:57)(cid:3)(cid:288)(cid:289)(cid:113)(cid:235)(cid:34)(cid:300)(cid:35)(cid:39)(cid:37)(cid:132)(cid:206)(cid:45)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:113)(cid:301)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:168)(cid:101)(cid:206)(cid:96)(cid:69)(cid:113)(cid:250)(cid:258)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:178)(cid:190).
(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:78)3 (cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:92)(cid:27)(cid:39)(cid:44)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)
1(cid:165)(cid:70)(cid:55)(cid:71)(cid:72)(cid:48)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:58)(cid:21)(cid:39)(cid:35)(cid:44)(cid:175)(cid:262)
(1)(cid:192)(cid:300)(cid:216)(cid:302)(cid:39)(cid:70)(cid:55)(cid:265)(cid:38)(cid:303)(cid:84)(cid:304)(cid:244)(cid:305)(cid:45)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:113)(cid:250)(cid:258)(cid:132)(cid:306)(cid:45)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:122)(cid:93)(cid:27)(cid:30)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:35)(cid:44)(cid:151)
(2)(cid:307)(cid:197)(cid:306)(cid:45)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:126)(cid:198)(cid:39)(cid:308)(cid:188)(cid:113)(cid:74)(cid:309)(cid:205)(cid:27)(cid:7)(cid:270)(cid:193)(cid:194)(cid:113)(cid:35)(cid:141)(cid:261)(cid:310).
2(cid:165)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:41)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:39)(cid:153)(cid:154)(cid:92)(cid:27)
(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:41)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:39)(cid:153)(cid:154)(cid:92)(cid:27)(cid:274)(cid:79)(cid:311)(cid:142)(cid:132)(cid:191)(cid:172)(cid:166)(cid:103)(cid:55)(cid:10)(1)(cid:93)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:77)(cid:16)(cid:97)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:51)(cid:254)(cid:255)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:151)
(2)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:41)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:265)(cid:312)(cid:54)(cid:241)(cid:242)(cid:39)(cid:153)(cid:154)(cid:92)(cid:27).
(cid:22)(cid:103)(cid:104)(cid:313)(cid:314)(cid:41)(cid:315)(cid:261)(cid:28)
1(cid:165)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:3)(cid:188)
(1)sin(A+B)=sinC(cid:151)
(2)cos(A+B)=-cosC(cid:151)
(3) (cid:151)
(4) .
2(cid:165)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:39)(cid:279)(cid:316)(cid:34)(cid:15)
(cid:132)(cid:317)ABC(cid:48)(cid:113)a=bcosC+ccosB(cid:151)b=acosC+ccosA(cid:151)c=bcosA+acosB.
3 (cid:165) (cid:132) (cid:317) ABC (cid:48) (cid:113) (cid:166) (cid:40) (cid:126) (cid:54) (cid:145) (cid:150) (cid:112) (cid:36) (cid:40) (cid:113) (cid:166) (cid:40) (cid:126) (cid:318) (cid:251) (cid:150) (cid:112) (cid:36) (cid:40) (cid:113)
.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:28)
(cid:22)(cid:236)1(cid:28)(cid:117)2024·(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:322)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:122)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:165)(cid:244) cos +
cos = cos (cid:113)(cid:219)A(cid:50)(cid:150)(cid:117) (cid:118) △𝐴𝐵𝐶 2𝑏 (𝐵 𝐶)−𝑎
𝐶 𝑐 𝐴
A(cid:165) B(cid:165) C(cid:165) D(cid:165)
6 4 3 3
𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋
1
(cid:22)(cid:76)(cid:51)1-1(cid:28)(cid:117)2024·(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:328)·(cid:36)(cid:323)(cid:118) (cid:39)(cid:122)(cid:37) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:165)(cid:244) = =6,cos = (cid:113)(cid:219) =
5
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑏 7,𝑐 𝐵 𝑎
(cid:117) (cid:118)
A(cid:165)5 B(cid:165)6 C(cid:165)8 D(cid:165)10
(cid:22)(cid:76)(cid:51)1-2(cid:28)(cid:117)2024·(cid:320)(cid:329)(cid:330)(cid:320)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:37) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113)(cid:168)(cid:101) = cos (cid:113)(cid:219) =
(cid:117) (cid:118) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 2𝑐−𝑎 2𝑏 𝐴 𝐵
2 5
A(cid:165) B(cid:165) C(cid:165) D(cid:165)
6 3 3 6
π π π π
(cid:22)(cid:76)(cid:51)1-3(cid:28)(cid:117)2024·(cid:331)(cid:329)(cid:332)(cid:333)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:36)(cid:45)(cid:122)(cid:37) (cid:113) (cid:113) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:336) cos
△𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎
+ = sin (cid:113)(cid:244) = 3(cid:113) =2(cid:113)(cid:219) =(cid:117) (cid:118)
6
π
𝐵 𝑏 𝐴 𝑎 𝑐 𝑏
A(cid:165)1 B(cid:165)2 C(cid:165)2 3 D(cid:165)4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:42)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:38)(cid:43)(cid:28)
(cid:22)(cid:236)2(cid:28)(cid:117)2024·(cid:331)(cid:329)(cid:337)(cid:326)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:168)(cid:101) (cid:48)(cid:113)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:119)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:113)(cid:244) cos + cos
△𝐴𝐵𝐶 𝑏 𝐶 𝑐= (cid:113)(cid:336) = cos (cid:113)(cid:219) (cid:119)(cid:117) (cid:118)
𝐵 A𝑏(cid:165)(cid:338)𝑎(cid:37)(cid:36)𝑐(cid:37)(cid:38)𝐵 B(cid:165)△(cid:339)𝐴𝐵(cid:37)𝐶(cid:36)(cid:37)(cid:38) C(cid:165)(cid:50)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:38) D(cid:165)(cid:50)(cid:340)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)
(cid:22)(cid:76)(cid:51)2-1(cid:28)(cid:117)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:172)·(cid:341)(cid:342)(cid:341)(cid:328)·(cid:343)(cid:48)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:37)A(cid:31)B(cid:31)C(cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:146)a(cid:31)b(cid:31)c(cid:244) 2 = tan (cid:113)(cid:219)
2 tan
𝑏 𝐵
(cid:39)(cid:38)(cid:43)(cid:119)(cid:117) (cid:118) △𝐴𝐵𝐶 𝑐 𝐶
△𝐴A𝐵(cid:165)𝐶 (cid:50)(cid:340)(cid:36)(cid:37)(cid:38) B(cid:165)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)
C(cid:165)(cid:50)(cid:340)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38) D(cid:165)(cid:50)(cid:340)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)
(cid:22)(cid:76)(cid:51)2-2(cid:28)(cid:117)2024·(cid:294)(cid:342)·(cid:152)(cid:323)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:344)(cid:122)(cid:37) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113)(cid:344)(cid:116)(cid:10) = cos cos
(cid:113)(cid:344)(cid:345)(cid:10) (cid:119)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:113)(cid:219)△(cid:117)𝐴𝐵 𝐶 (cid:118) 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑏−𝑐 𝑎( 𝐶−
𝐵) A(cid:165)(cid:116)(cid:119)△(cid:345)𝐴(cid:39)𝐵(cid:346)𝐶 (cid:84)(cid:193)(cid:194)(cid:267)(cid:53)(cid:119)(cid:125)(cid:79)(cid:193)(cid:194)
B(cid:165)(cid:116)(cid:119)(cid:345)(cid:39)(cid:125)(cid:79)(cid:193)(cid:194)(cid:267)(cid:53)(cid:119)(cid:346)(cid:84)(cid:193)(cid:194)
C(cid:165)(cid:116)(cid:119)(cid:345)(cid:39)(cid:346)(cid:79)(cid:193)(cid:194)
D(cid:165)(cid:116)(cid:347)(cid:53)(cid:119)(cid:345)(cid:39)(cid:346)(cid:84)(cid:193)(cid:194)(cid:139)(cid:53)(cid:119)(cid:345)(cid:39)(cid:125)(cid:79)(cid:193)(cid:194)
2 sin cos
(cid:22)(cid:76)(cid:51)2-3(cid:28)(cid:117)2023·(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:351)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:122)(cid:37) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113)(cid:244) = (cid:113)(cid:219) (cid:39)
2 sin cos
𝑎 𝐴 𝐵
(cid:38)(cid:43)(cid:146)(cid:117) (cid:118) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑏 𝐵 𝐴 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:165)(cid:50)(cid:340)(cid:36)(cid:37)(cid:38) B(cid:165)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)
C(cid:165)(cid:50)(cid:340)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38) D(cid:165)(cid:50)(cid:340)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:259)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:15)(cid:42)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:44)(cid:39)(cid:45)(cid:13)(cid:28)
(cid:22)(cid:236)3(cid:28)(cid:117)2024·(cid:352)(cid:292)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:168)(cid:101) = (cid:113) =2(cid:113)(cid:244) (cid:57)(cid:166)(cid:44)(cid:113)(cid:219)(cid:117) (cid:118)
6
π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝑎 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:165)2 <4 B(cid:165) 4 C(cid:165)2< <4 D(cid:165)0< <2
(cid:22)(cid:76)(cid:51)3-1≤(cid:28)𝑏(cid:117)2023·(cid:353)(cid:328)·(cid:323)𝑏(cid:334)≥(cid:335)(cid:68)(cid:118) (cid:48)(cid:113)(cid:37) 𝑏 (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:119) (cid:113)𝑏 =60°(cid:113) = 3.(cid:244)(cid:354)(cid:45)(cid:36)(cid:37)
(cid:38)(cid:57)(cid:166)(cid:44)(cid:113)(cid:219) (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:119)(cid:117) (cid:118) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴 𝑎
A(cid:165) 3< 𝑏 2 B(cid:165) 3< <2
C(cid:165)1< 𝑏<≤2 3 D(cid:165)1< 𝑏 2
𝑏 𝑏≤
(cid:22)(cid:76)(cid:51)3-2(cid:28)(cid:117)2023·(cid:319)(cid:320)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:37) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) .(cid:244) = =4(cid:113)(cid:336)(cid:301)(cid:36)(cid:37)(cid:38)
3
π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐵 ,𝑎
(cid:57)(cid:166)(cid:44)(cid:113)(cid:219) (cid:39)(cid:63)(cid:64)(cid:119)(cid:117) (cid:118)
A(cid:165)(2 𝑏3,+ ) B(cid:165)(2 3,4)
C(cid:165)(0,4) ∞ D(cid:165)(3 3,4)
(cid:22)(cid:76)(cid:51)3-3(cid:28)(cid:117)2024·(cid:355)(cid:356)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:168)(cid:101) = (cid:113) =2 2(cid:113) = (cid:113)(cid:244)(cid:357)(cid:132)(cid:166)(cid:45)(cid:354)(cid:358)(cid:39)(cid:36)(cid:37)
4
π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑥 𝐵𝐶 𝐶(cid:38) (cid:113)(cid:219) (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:119)(cid:117) (cid:118)
𝐴𝐵A𝐶(cid:165)[2 𝑥2,+ ) B(cid:165)(0,2 2) C(cid:165)(2,2 2) D(cid:165)( 2,2)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:46)(cid:47)(cid:36)∞(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:39)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:51)(cid:28)
(cid:22)(cid:236)4(cid:28)(cid:117)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:78)D(cid:113)E(cid:208)(cid:119)(cid:40)BC(cid:283)(cid:336)(cid:41)B(cid:113)C(cid:53)(cid:120)(cid:154)(cid:39)(cid:78)(cid:113)(cid:336)(cid:78)D(cid:132)B(cid:113)
E(cid:126)(cid:198)(cid:113) = (cid:165)△𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:35)(cid:46)(cid:10)𝐴s𝐸in⋅𝐴𝐶⋅𝐵=𝐷sin𝐴𝐷⋅𝐴𝐵(cid:165)⋅𝐶𝐸
∠𝐵𝐴𝐷 ∠2𝐶𝐴𝐸2 2
(2)(cid:244) (cid:113)(cid:35)(cid:46)(cid:10) + = (cid:165)
2 2 sin
𝐴𝐷 𝐴𝐸
𝐴𝐵⊥𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 1− ∠𝐷𝐴𝐸
(cid:22)(cid:76)(cid:51)4-1(cid:28)(cid:117)2024·(cid:356)(cid:359)(cid:329)(cid:360)·(cid:152)(cid:323)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)2 3cos2 +2sin cos = 3.
2 2 2
𝐵 𝐵 𝐵
△𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:35) (cid:39)(cid:145)(cid:251)(cid:151)
(2)(cid:244)𝐵3( + )= (cid:113)(cid:46)(cid:47)(cid:10) = .
𝑎 𝑐 2𝑏 𝑎 𝑐
(cid:22)(cid:76)(cid:51)4-2(cid:28)(cid:117)2024·(cid:341)(cid:342)·(cid:152)(cid:323)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:168)(cid:101) ABC(cid:122)(cid:57)(cid:95)(cid:78)P(cid:113)(cid:245)(cid:246) = = = (cid:165)
△ ∠𝑃𝐴𝐵 ∠𝑃𝐵𝐶 ∠𝑃𝐶𝐴 𝛼
(1)(cid:46)(cid:47)(cid:10) sin = sin (cid:165)
(2)(cid:244) 𝑃𝐵=90𝐴𝐵(cid:113)𝐶 𝐴=𝐵 =𝛼 1(cid:113)(cid:35)PC(cid:165)
∘
∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶(cid:22)(cid:76)(cid:51)4-3(cid:28)(cid:117)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113) < < (cid:113)(cid:336)tan (cid:113)tan (cid:113)tan (cid:268)(cid:146)(cid:362)(cid:13)(cid:165)
(1) (cid:35) (cid:39)(cid:145)(cid:251)(cid:151) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶
(2) (cid:344)𝐴 (cid:39)(cid:48)(cid:78)(cid:146) (cid:113)(cid:35)(cid:46)(cid:10) = (cid:165)
𝐴𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:54)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:39)(cid:58)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:236)5(cid:28)(cid:117)2024·(cid:329)(cid:363)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:168)(cid:101) (cid:39)(cid:122)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:113)(cid:336) sin +
6
π
= (cid:165) △𝐴𝐵𝐶 2𝑏 𝐴
(−12)(cid:35)𝑎 B(cid:151)𝑐
(2)(cid:244) (cid:39)(cid:70)(cid:84)(cid:271)(cid:74) (cid:150)(cid:78) (cid:113)(cid:336) =2(cid:113) =3(cid:113)(cid:35) (cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:165)
∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷 𝐵𝐷 𝑎 △𝐴𝐵𝐶
(cid:22)(cid:76)(cid:51)5-1(cid:28)(cid:117)2024·(cid:364)(cid:365)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:132)(cid:70)(cid:55)(cid:122)(cid:113)(cid:366)(cid:40)(cid:38) (cid:245)(cid:246) (cid:113) (cid:78)(cid:132) (cid:39)(cid:166)(cid:367)(cid:113) =1(cid:113)
=2(cid:113) (cid:146)(cid:30)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:113)(cid:344) = . 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵 𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐵𝐶 △𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝛼
(1)(cid:264) = (cid:155)(cid:113)(cid:35) (cid:151)
3
π
𝛼 𝐴𝐶
(2)(cid:264) (cid:76)(cid:16)(cid:155)(cid:113)(cid:35)(cid:366)(cid:40)(cid:38) (cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62).
𝛼 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:22)(cid:76)(cid:51)5-2(cid:28)(cid:117)2024·(cid:366)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:371)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:372)(cid:132) = cos (cid:113) 3 =tan +tan (cid:113) 3sin( + )=
cos
𝑎
①2𝑎−𝑏 2𝑐 𝐵 ②𝑐 𝐵 𝐶 𝐵 ③ 𝐴 𝐵 3−2
cos2 (cid:36)(cid:45)(cid:193)(cid:194)(cid:48)(cid:20)(cid:133)(cid:95)(cid:45)(cid:113)(cid:373)(cid:346)(cid:132)(cid:172)(cid:55)(cid:39)(cid:58)(cid:21)(cid:48)(cid:113)(cid:90)(cid:374)(cid:304)(cid:44)(cid:143)(cid:165)
2
𝐶
(cid:39)(cid:122)(cid:37) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:119) (cid:113)(cid:168)(cid:101)______(cid:165)
(△1)(cid:35)𝐴𝐵(cid:37)𝐶 (cid:151) 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐
(2)(cid:244) = 𝐶 4(cid:113)(cid:78) (cid:132)(cid:40) (cid:283)(cid:113) (cid:146) (cid:39)(cid:70)(cid:84)(cid:271)(cid:113) (cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:146)2 3(cid:113)(cid:35)(cid:40)(cid:59) (cid:39)(cid:62)(cid:165)
3
𝑏 𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵 △𝐶𝐷𝐵 𝑎
(cid:22)(cid:76)(cid:51)5-3(cid:28)(cid:117)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:375)(cid:338)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38) (cid:39)(cid:122)(cid:37) (cid:113) (cid:113) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:168)(cid:101) cos =
3 cos (cid:113) sin = 3. 𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝐴
(1)(cid:35)−𝑎 . 𝐵 2𝑎 𝐶
(2)(cid:35)𝐴 (cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64).
△𝐴𝐵𝐶
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:52)(cid:60)(cid:59)(cid:39)(cid:61)(cid:62)(cid:52)(cid:63)(cid:64)(cid:28)
cos sin
(cid:22)(cid:236)6(cid:28)(cid:117)2024·(cid:320)(cid:329)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:37) (cid:113) (cid:113) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:375)(cid:146) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:336)tan = (cid:165)
cos sin
𝐵− 𝐶
△𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴 𝐶+ 𝐵
(1)(cid:244) = (cid:113)(cid:35) (cid:39)(cid:145)(cid:251)(cid:165)
6
π
𝐵 𝐶
(2)(cid:244) =2(cid:113)(cid:35) + (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:165)
𝑎 𝑏 𝑐(cid:22)(cid:76)(cid:51)6-1(cid:28)(cid:117)2024·(cid:332)(cid:376)(cid:377)(cid:356)·(cid:152)(cid:323)(cid:118)(cid:375) (cid:39)(cid:122)(cid:37) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113)(cid:168)(cid:101) = sin2
2
𝐴
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑐−𝑏 2𝑐
(1)(cid:144)(cid:42)(cid:378) (cid:39)(cid:38)(cid:43)(cid:151)
(2)(cid:244) =1(cid:113)△(cid:35)𝐴𝐵𝐶 (cid:60)(cid:59)(cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62).
𝑐 △𝐴𝐵𝐶
(cid:22)(cid:76)(cid:51)6-2(cid:28)(cid:117)2023·(cid:109)(cid:110)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132)(cid:338)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38) (cid:48)(cid:113)(cid:122)(cid:37)A(cid:113) (cid:113) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:336)
sin2 sin cos sin +sin2 = 3 (cid:165) 𝐴𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐
4
𝐴−2 𝐴 𝐵 𝐶 𝐶
(1)(cid:35)(cid:37) (cid:39)(cid:62)(cid:165)
𝐵
(2)(cid:35) (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:165)
𝑎+𝑐
2𝑏
(cid:22)(cid:76)(cid:51)6-3(cid:28)(cid:117)2023·(cid:355)(cid:326)(cid:59)(cid:379)·(cid:95)(cid:323)(cid:118)(cid:132)(cid:338)(cid:37) (cid:48)(cid:113)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:300)(cid:149)(cid:92)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:113)(cid:168)(cid:101)
sin sin sin △𝐴𝐵𝐶
= (cid:165)
3
𝐴− 𝐵 𝐶
(1)(cid:35)𝑎−(cid:37)𝑐 B(cid:39)𝑎+(cid:62)𝑏(cid:151)
(2)(cid:244) =2(cid:113)(cid:35) (cid:39)(cid:60)(cid:59)(cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:165)
𝑎 △𝐴𝐵𝐶(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:65)(cid:66)(cid:31)(cid:24)(cid:67)(cid:31)(cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:58)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:236)7(cid:28)(cid:117)2024·(cid:355)(cid:326)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:355)(cid:326)(cid:380)(cid:381)(cid:382)(cid:383)(cid:39)(cid:130)(cid:384)(cid:385)(cid:113)(cid:386)(cid:292)(cid:150)(cid:47)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:330)(cid:108)(cid:117)1591(cid:108)(cid:118)(cid:113)(cid:213)(cid:390)(cid:384)(cid:326)(cid:356)(cid:391)
(cid:392)(cid:155)(cid:393)(cid:132)(cid:394)(cid:122)(cid:395)(cid:396)(cid:397)(cid:185)(cid:398).1983(cid:108)(cid:234)(cid:355)(cid:326)(cid:380)(cid:399)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:7)(cid:403)(cid:146)(cid:120)(cid:78)(cid:17)(cid:14)(cid:404)(cid:405)(cid:98)(cid:287).(cid:146)(cid:68)(cid:69)(cid:130)(cid:384)(cid:385)(cid:39)(cid:24)(cid:67)(cid:113)(cid:213)(cid:406)(cid:15)
(cid:193)(cid:194)(cid:39)(cid:226)(cid:227)(cid:113)(cid:84)(cid:324)(cid:20)(cid:133)C(cid:78)(cid:54)(cid:95)(cid:292)(cid:293)(cid:14)DE(cid:39)(cid:407)(cid:408)E(cid:146)(cid:68)(cid:69)(cid:290)(cid:68)(cid:78)(cid:113)(cid:168)(cid:101)(cid:78)A(cid:146)(cid:385)(cid:269)(cid:113) (cid:132)(cid:409)(cid:70)(cid:406)(cid:55)(cid:283)(cid:113)
(cid:130)(cid:384)(cid:385)AB(cid:54)(cid:292)(cid:293)(cid:14)DE(cid:268)(cid:410)(cid:259)(cid:150)(cid:406)(cid:55)(cid:117)(cid:361)(cid:265)(cid:300)(cid:411)(cid:118).(cid:68)(cid:185) =18m =15m(cid:113)(cid:132)C(cid:78)𝐴(cid:412),𝐶,(cid:68)𝐷(cid:185)E(cid:78)(cid:39)(cid:297)(cid:37)
(cid:146)30°(cid:113)(cid:132)E(cid:78)(cid:412)(cid:68)(cid:185)B(cid:78)(cid:39)(cid:297)(cid:37)(cid:146)60°(cid:113)(cid:219)(cid:130)(cid:384)(cid:385)AB(cid:39)𝐶(cid:24)𝐷(cid:67)(cid:211)(cid:146),(cid:117)𝐴𝐷 (cid:118)(cid:117) 3 1.732(cid:113)(cid:413)(cid:235)(cid:253)0.1m(cid:118)
≈
A(cid:165)35.0m B(cid:165)36.4m C(cid:165)38.4m D(cid:165)39.6m
(cid:22)(cid:76)(cid:51)7-1(cid:28)(cid:117)2024·(cid:353)(cid:328)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:116)(cid:414)(cid:407)(cid:287)(cid:150)(cid:353)(cid:328)(cid:380)(cid:353)(cid:382)(cid:383)(cid:326)(cid:47)(cid:415)(cid:116)(cid:414)(cid:262)(cid:113)(cid:119)(cid:301)(cid:383)(cid:39)(cid:115)(cid:416)(cid:241)(cid:292)(cid:293)
(cid:126)(cid:95).(cid:116)(cid:414)(cid:407)(cid:386)(cid:292)(cid:150)(cid:47)(cid:417)(cid:113)(cid:258)(cid:407)(cid:418)(cid:120)(cid:292)(cid:113)(cid:419)(cid:398)“(cid:420)(cid:130)(cid:421)”(cid:113)(cid:422)(cid:199)(cid:116)(cid:414)(cid:407)(cid:138)(cid:423)(cid:120)(cid:424)(cid:113)(cid:90)(cid:425)(cid:426)(cid:427)(cid:398)(cid:31)(cid:142)(cid:357)(cid:292)(cid:293)(cid:119)(cid:428)
(cid:81)(cid:170)(cid:108)(cid:117)1909(cid:108)(cid:118)(cid:120)(cid:292).(cid:116)(cid:414)(cid:407)(cid:283)(cid:172)(cid:36)(cid:429)(cid:113)(cid:430)(cid:431)(cid:146)(cid:432)(cid:113)(cid:429)(cid:429)(cid:433)(cid:254).(cid:434)(cid:228)(cid:229)(cid:251)(cid:435)(cid:436)(cid:68)(cid:69)(cid:116)(cid:414)(cid:407)(cid:61)(cid:24)(cid:78)(cid:66)(cid:406)(cid:55)(cid:39)(cid:24)
(cid:67)(cid:113)(cid:20)(cid:217)(cid:437)(cid:41)(cid:301)(cid:407)(cid:269) (cid:132)(cid:438)(cid:95)(cid:409)(cid:70)(cid:55)(cid:122)(cid:39)(cid:166)(cid:45)(cid:68)(cid:69)(cid:173)(cid:78) (cid:41) (cid:113)(cid:142)(cid:68)(cid:185) =23°(cid:113) =30°(cid:113)
=11.2m(cid:113)(cid:132) (cid:78)(cid:68)𝐵(cid:185)(cid:116)(cid:414)(cid:407)(cid:408)(cid:439) (cid:39)(cid:297)(cid:37)(cid:146)72.4°(cid:113)(cid:219)𝐶 (cid:116)𝐷(cid:414)(cid:407)(cid:39)(cid:24)(cid:67)∠𝐵(cid:211)𝐶(cid:146)𝐷(cid:117)(cid:440)(cid:25)(cid:13)∠(cid:180)𝐶𝐷(cid:10)𝐵tan72.4° 3.15(cid:113)
𝐶si𝐷n53° 0.8(cid:118)(cid:117)𝐶 (cid:118) 𝐴 ≈
≈
A(cid:165)20m B(cid:165)21m C(cid:165)22m D(cid:165)23m(cid:22)(cid:76)(cid:51)7-2(cid:28)(cid:117)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:172)·(cid:319)(cid:320)(cid:441)(cid:328)·(cid:343)(cid:48)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:132)(cid:442)(cid:67)(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:294)(cid:442) (cid:412)(cid:68)(cid:185)(cid:294)(cid:408)(cid:283)(cid:95)(cid:292)(cid:293)(cid:14) (cid:39)(cid:408)(cid:439)
(cid:149)(cid:150)(cid:294)(cid:442)(cid:39)(cid:443)(cid:67)(cid:146)15°(cid:113)(cid:156)(cid:294)(cid:408)(cid:444)(cid:254)100m(cid:253)(cid:266) (cid:412)(cid:113)(cid:132) (cid:412)(cid:68)(cid:185) (cid:149)(cid:150)(cid:294)𝐴(cid:442)(cid:39)(cid:443)(cid:67)(cid:146)45°.(cid:244) =5𝐶0𝐷m(cid:113)(cid:294)(cid:442)𝐶
(cid:41)(cid:406)(cid:70)(cid:55)(cid:39)(cid:445)(cid:37)(cid:146) (cid:113)(cid:219)cos (cid:50)(cid:150)(cid:117) (cid:118) 𝐵 𝐵 𝐶 𝐶𝐷
𝜃 𝜃
A(cid:165) 2 B(cid:165) 3 C(cid:165) 2 D(cid:165) 3
2 2
−1 −1
(cid:22)(cid:76)(cid:51)7-3(cid:28)(cid:117)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:251)(cid:47)(cid:438)(cid:11)(cid:146)(cid:437)(cid:446)(cid:105)(cid:287)(cid:150)(cid:447)(cid:448)(cid:449)(cid:39)(cid:450)(cid:451)(cid:452)(cid:453)(cid:454)(cid:39)(cid:24)(cid:67)(cid:113)(cid:132)(cid:450)(cid:451)(cid:452)(cid:453)(cid:454)(cid:39)
(cid:30)(cid:342)(cid:103)(cid:156)(cid:197)(cid:253)(cid:95)(cid:455)(cid:292)(cid:293)(cid:14) (cid:113)(cid:24)(cid:146)10( 3)m(cid:113)(cid:132)(cid:456)(cid:457)(cid:126)(cid:198)(cid:39)(cid:406)(cid:55)(cid:283)(cid:39)(cid:78) (cid:117) (cid:113) (cid:113) (cid:36)(cid:78)(cid:270)(cid:271)(cid:118)(cid:412)(cid:68)(cid:185)
(cid:407)(cid:408) (cid:113)(cid:453)(cid:454)(cid:408) (cid:39)(cid:297)(cid:37)(cid:84)𝐴(cid:324)𝐵(cid:119)15°(cid:54)603°(cid:113)−(cid:132)(cid:407)(cid:408) (cid:412)(cid:68)(cid:185)(cid:385)(cid:408) (cid:39)(cid:297)(cid:37)(cid:146)30°𝑀(cid:113)(cid:219)𝐵(cid:251)(cid:47)𝑀(cid:446)𝐷(cid:105)(cid:450)(cid:451)(cid:452)(cid:453)(cid:454)(cid:39)(cid:24)(cid:67)
(cid:146)(cid:117) 𝐴 (cid:118) 𝐶 𝐴 𝐶
A(cid:165)60m B(cid:165)30 3m C(cid:165)20 3m D(cid:165)30m
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:35)(cid:44)(cid:70)(cid:55)(cid:71)(cid:72)(cid:58)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:236)8(cid:28)(cid:117)2023·(cid:325)(cid:326)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:132)(cid:366)(cid:40)(cid:38) (cid:48)(cid:113) = = =
(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:146) 3(cid:165) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶,∠𝐴𝐷𝐶 120°,𝐴𝐵 𝐶𝐷 2𝐴𝐷,△𝐴𝐶𝐷
2
(1)(cid:35)sin (cid:151)
(2)(cid:46)(cid:47)(cid:10)∠𝐶𝐴𝐵 = (cid:165)
∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐴𝐷(cid:22)(cid:76)(cid:51)8-1(cid:28)(cid:117)2023·(cid:325)(cid:326)(cid:6)(cid:382)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113) =60°(cid:113) (cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:146)10 3(cid:113) (cid:146) (cid:39)(cid:48)
(cid:78)(cid:113) (cid:150)(cid:78) (cid:150)(cid:78) . △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸,𝐷𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹
(1)(cid:35) (cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:151)
(2)(cid:244)
△𝐷
=
𝐸𝐹129(cid:113)(cid:35)sin
+sin (cid:39)(cid:62).
2
𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
1
(cid:22)(cid:76)(cid:51)8-2(cid:28)(cid:117)2024·(cid:331)(cid:329)(cid:329)(cid:332)·(cid:95)(cid:323)(cid:118)(cid:168)(cid:101)(cid:70)(cid:55)(cid:366)(cid:40)(cid:38) (cid:39)(cid:149)(cid:37)(cid:271)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113) (cid:113)(cid:89)(cid:48) = ,sin
3
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷⋅
tan =sin sin (cid:165)
(1)(cid:458)∠𝐴(cid:229)𝐵(cid:10)𝐷 ∠𝐴(cid:119)𝐵(cid:218)𝐷⋅(cid:146)(cid:259)∠(cid:37)𝐴𝐷(cid:36)𝐵(cid:37)(cid:38)(cid:151)(cid:244)(cid:119)(cid:165)(cid:372)(cid:238)(cid:47)(cid:206)(cid:45)(cid:37)(cid:146)(cid:259)(cid:37)(cid:113)(cid:244)(cid:53)(cid:119)(cid:113)(cid:372)(cid:459)(cid:141)(cid:257)(cid:3)(cid:15)(cid:239)(cid:151)
(2)(cid:375)(cid:70)(cid:55)(cid:366)△(cid:40)𝐴𝐵(cid:38)𝐷 (cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:146)S(cid:113)(cid:244)| |=2(cid:113)(cid:336)(cid:49)(cid:57) < (cid:113)(cid:35)(cid:106)(cid:13)λ(cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:165)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐶 𝑆 𝜆
(cid:22)(cid:76)(cid:51)8-3(cid:28)(cid:117)2023·(cid:294)(cid:329)(cid:460)(cid:202)·(cid:152)(cid:323)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:132)(cid:70)(cid:55)(cid:366)(cid:40)(cid:38) (cid:48)(cid:113) =135°(cid:113) =2(cid:113) (cid:39)(cid:70)(cid:84)(cid:271)
(cid:74) (cid:150)(cid:78) (cid:113)(cid:336) =2 2(cid:165) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐷
𝐴𝐷 𝐸 𝐵𝐸(1)(cid:35) (cid:88) (cid:151)
(2)(cid:244)∠𝐴𝐵𝐸=𝐵6𝐷0°(cid:113)(cid:35) (cid:60)(cid:59)(cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62)(cid:165)
∠𝐵𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐷
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:36)(cid:37)(cid:73)(cid:13)(cid:41)(cid:44)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:74)(cid:75)(cid:58)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:236)9(cid:28)(cid:117)2023·(cid:355)(cid:326)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:168)(cid:101)(cid:73)(cid:13) =2 3sin cos cos2 .
(1)(cid:35)(cid:73)(cid:13) =log (cid:39)(cid:34)(cid:461)(cid:462)(cid:54)(cid:62)(cid:462)(cid:151) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥−2 𝑥
2
(2)(cid:168)(cid:101)(cid:338)(cid:37) 𝑦 𝑓( (cid:39) 𝑥) (cid:36)(cid:45)(cid:122)(cid:37)(cid:84)(cid:324)(cid:146)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:113)(cid:244) =0(cid:113)(cid:35) (cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62).
2
𝐴 𝑏+𝑐
△𝐴𝐵𝐶 𝑓 𝑎
(cid:22)(cid:76)(cid:51)9-1(cid:28)(cid:117)2024·(cid:109)(cid:110)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:168)(cid:101)(cid:73)(cid:13) ( )=sin2 3sin cos +1.
2 2 2
𝑥 𝑥 𝑥
(1)(cid:35)(cid:73)(cid:13) = ( )(cid:39)(cid:98)(cid:463)(cid:464)(cid:465)(cid:415)(cid:198)(cid:151) 𝑓 𝑥 −
(2)(cid:132) 𝑦 (cid:48) 𝑓 (cid:113) 𝑥 (cid:122)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:113)(cid:336)(cid:245)(cid:246) 2 2= cos 1 (cid:113)(cid:35) ( )(cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64).
2
△𝐴𝐵𝐶 𝑎 −𝑏 𝑎𝑐 𝐵− 𝑏𝑐 𝑓 𝐵
(cid:22)(cid:76)(cid:51)9-2(cid:28)(cid:117)23-24(cid:24)(cid:95)(cid:172)·(cid:366)(cid:368)(cid:466)(cid:48)·(cid:343)(cid:467)(cid:118)(cid:168)(cid:101)(cid:73)(cid:13) =2sin + > < < (cid:39)(cid:169)(cid:84)(cid:265)(cid:312)
2 2
𝜋 𝜋
(cid:361)(cid:265)(cid:300)(cid:411)(cid:165) 𝑓(𝑥) (𝜔𝑥 𝜑) 𝜔 0,− 𝜑(cid:117)1(cid:118)(cid:35)(cid:73)(cid:13) (cid:39)(cid:44)(cid:85)(cid:51)(cid:151)
(cid:117)2(cid:118)(cid:132)(cid:338)(cid:37) 𝑓(𝑥) (cid:48)(cid:113)(cid:37) (cid:113) (cid:113) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:244) = 3(cid:113) =2(cid:113)(cid:336) (cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:146)3 3(cid:113)
2
△𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓(𝐴) 𝑏 △𝐴𝐵𝐶
(cid:35) (cid:165)
𝑎
(cid:22)(cid:76)(cid:51)9-3(cid:28)(cid:117)2024·(cid:356)(cid:359)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:168)(cid:101)(cid:73)(cid:13) =2 3sin cos +2cos2 >0)(cid:39)(cid:61)(cid:251)(cid:30)(cid:60)(cid:343)(cid:146) .
(1)(cid:35) (cid:39)(cid:62)(cid:151) 𝑓(𝑥) 𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥,(𝜔 π
(2)(cid:132) 𝜔 (cid:338)(cid:37) (cid:48)(cid:113)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146)a(cid:113)b(cid:113)c.c(cid:146) (cid:132) 0, (cid:283)(cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62)(cid:113)(cid:273)(cid:127)(cid:193)(cid:194) (cid:31)(cid:193)(cid:194)
2
π
△𝐴𝐵𝐶 𝑓(𝑥) ①
(cid:31)(cid:193)(cid:194) (cid:354)(cid:36)(cid:45)(cid:193)(cid:194)(cid:48)(cid:20)(cid:133)(cid:95)(cid:45)(cid:167)(cid:146)(cid:168)(cid:101)(cid:113)(cid:35) (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64).(cid:193)(cid:194) (cid:10) cos + cos = cos (cid:151)(cid:193)(cid:194)
② (cid:10) sin ③ cos + sin = 3 (cid:151)(cid:193)(cid:194) (cid:10) 𝑎−𝑏 (cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:146)S(cid:113)(cid:336) = ①3(𝑎2 2𝐵2).(cid:4) 𝑏 (cid:10)(cid:361) 𝐴 (cid:310) 2 (cid:20) 𝑐 (cid:133)(cid:138) 𝐶 (cid:45)(cid:193)(cid:194)
4
𝑎 +𝑏 −𝑐
(cid:84)②(cid:324)(cid:44) 2𝑎 (cid:143)(cid:113) 𝐴 (cid:468)(cid:112) 𝐵 (cid:95)(cid:45) 𝑏 (cid:193)(cid:194) 2𝐴 (cid:82)(cid:84). 𝑎 ③ △𝐴𝐵𝐶 𝑆
(cid:95)(cid:31)(cid:98)(cid:20)(cid:21)
1(cid:165)(cid:117)2024·(cid:320)(cid:329)(cid:469)(cid:328)·(cid:152)(cid:323)(cid:118)(cid:375) (cid:39)(cid:122)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113) (cid:113) (cid:113)(cid:244) =1(cid:113) 2 = ( )(cid:113)
(cid:219)A(cid:470)(cid:117) (cid:118) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 −1 𝑐 𝑐−12 5
A(cid:165) B(cid:165) C(cid:165) D(cid:165)
3 3 6 6
π π π π
2(cid:165)(cid:117)2024·(cid:353)(cid:328)(cid:471)(cid:472)(cid:409)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113) =2(cid:113) =3(cid:113) = (cid:113)(cid:219) (cid:473)(cid:260)(cid:474)(cid:39)(cid:475)(cid:196)(cid:146)(cid:117)(cid:476)(cid:476)(cid:118)
3
π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐴 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:165) 7 B(cid:165) 21 C(cid:165)2 7 D(cid:165)2 21
3 3 3 3
3
3(cid:165)(cid:117)2024·(cid:356)(cid:359)(cid:282)(cid:477)·(cid:152)(cid:323)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113) = =5,cos = (cid:113)(cid:219) (cid:39)(cid:59)(cid:146)(cid:117) (cid:118)
4
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 4,𝐴𝐶 𝐶 𝐵𝐶
3
A(cid:165)6(cid:52) B(cid:165)6 C(cid:165)3+3 2 D(cid:165)3
2
4(cid:165)(cid:117)2024·(cid:365)(cid:478)(cid:479)(cid:368)·(cid:36)(cid:323)(cid:118) (cid:39)(cid:122)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:113)(cid:336) =4(cid:113)sin = 1 (cid:113)(cid:244)
4
(cid:57)(cid:166)(cid:44)(cid:113)(cid:219)c(cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:190)(cid:91)(cid:146)(cid:117) △ 𝐴 𝐵 (cid:118) 𝐶 𝑎 𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:165)3 B(cid:165)4 C(cid:165)5 D(cid:165)6
5(cid:165)(cid:117)2024·(cid:120)(cid:480)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:375) (cid:39)(cid:122)(cid:37) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113)(cid:244) = 2 =6, 2+ 2= (cid:113)(cid:219)
3
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐵 π,𝑏 𝑎 𝑐 3𝑎𝑐 △𝐴𝐵𝐶
(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:146)(cid:117) (cid:118)
A(cid:165)9 3 B(cid:165) 9 C(cid:165)9 3 D(cid:165) 9
4 4 2 2
6(cid:165)(cid:117)2024·(cid:331)(cid:329)(cid:329)(cid:332)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132)100m(cid:24)(cid:39)(cid:407)(cid:408) (cid:412)(cid:113)(cid:68)(cid:185)(cid:30)(cid:329)(cid:103)(cid:156)(cid:406)(cid:55)(cid:283) 、 (cid:166)(cid:78) 、 (cid:41)(cid:407)(cid:269)(cid:132)(cid:438)(cid:95)
(cid:409)(cid:70)(cid:55)(cid:283)(cid:118)(cid:39)(cid:296)(cid:37)(cid:84)(cid:324)(cid:119)75 (cid:54)15 (cid:113)(cid:219) 、 (cid:166)(cid:78)(cid:126) 𝐴 (cid:198)(cid:39)(cid:65)(cid:66)(cid:146)(cid:117) (cid:118)(cid:165) 𝐵 𝐶 𝐵 𝐶
∘ ∘
𝐵 𝐶
A(cid:165)200 2 B(cid:165)240 2 C(cid:165)180 3 D(cid:165)200 3
7(cid:165)(cid:117)2024·(cid:366)(cid:368)(cid:304)(cid:208)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:344)(cid:338)(cid:37) (cid:39)(cid:36)(cid:45)(cid:122)(cid:37) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113)(cid:336) = = (cid:113)(cid:219) +
(cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:146) (cid:117) (cid:118) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑐 2,𝐵 2𝐶 𝑎 𝑏
A(cid:165)(2,10) B(cid:165)(2+2 2,10) C(cid:165)(2+2 2,4+2 3)D(cid:165)(4+2 3,10)
8(cid:165)(cid:117)2024·(cid:294)(cid:342)(cid:481)(cid:360)·(cid:152)(cid:323)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:132)(cid:70)(cid:55)(cid:366)(cid:40)(cid:38) (cid:48)(cid:113) = = = =120°(cid:113)(cid:375) (cid:41)
(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:84)(cid:324)(cid:146) , (cid:113)(cid:219) (cid:39)(cid:62)(cid:146)(cid:117) (cid:118) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 2,∠𝐵 2∠𝐷 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐶𝐷
1 2 2 1
𝑆 𝑆 𝑆 −𝑆A(cid:165)2 B(cid:165) 3 C(cid:165)1 D(cid:165) 3
2
(cid:152)(cid:31)(cid:138)(cid:20)(cid:21)
9(cid:165)(cid:117)2024·(cid:364)(cid:365)(cid:482)(cid:382)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:37) (cid:31) (cid:31) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:31) (cid:31) (cid:113)(cid:336)(cid:168)(cid:101) =2(cid:113)(cid:219)(cid:117) (cid:118)
A(cid:165)(cid:244) =45 (cid:113)(cid:336) (cid:57)(cid:166)(cid:44)△(cid:113)𝐴(cid:219)𝐵𝐶(cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)𝐴(cid:64)𝐵(cid:119)(2𝐶,2 2) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎
∘
B(cid:165)(cid:244)𝐴=45 (cid:113)(cid:336)△=𝐴4𝐵(cid:113)𝐶(cid:219) (cid:483)𝑏(cid:57)(cid:95)(cid:44).
∘
C(cid:165)(cid:244)𝐴=3(cid:113)(cid:336) 𝑏 (cid:146)(cid:339)(cid:37)△(cid:36)𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:38)(cid:113)(cid:219) (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:119)( 13,5)
D(cid:165)(cid:244)𝑐=3(cid:113)(cid:336)△𝐴𝐵𝐶(cid:146)(cid:338)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:113)(cid:219)𝑏(cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:119)( 5, 13)
10(cid:165)(cid:117)202𝑐4·(cid:352)(cid:292)(cid:351)(cid:328)△·𝐴(cid:323)𝐵(cid:334)𝐶(cid:335)(cid:68)(cid:118) (cid:48)(cid:113)𝑏(cid:122)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:165)(cid:168)(cid:101) =2(cid:113)
(cid:39)(cid:55)(cid:56) = 3 (cid:113)(cid:219)(cid:191)(cid:172)(cid:238)(cid:104)(cid:30) △ (cid:235) 𝐴𝐵 (cid:39) 𝐶 (cid:119)(cid:117) (cid:118) 𝑎 △𝐴𝐵𝐶
2
𝑆 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
A(cid:165) =30°
B(cid:165)𝐴 (cid:39)(cid:60)(cid:59)(cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62)(cid:146)6
C(cid:165)(cid:244)△𝐴𝐵=𝐶4(cid:113)(cid:219) (cid:146)(cid:30)(cid:36)(cid:37)(cid:38)
D(cid:165)(cid:244) 𝑏𝑐 (cid:40)(cid:283)(cid:39)(cid:48) △ (cid:271) 𝐴 (cid:59) 𝐵𝐶 (cid:50)(cid:150)2 3(cid:113)(cid:219) = 3
3
𝐴𝐵 𝑆
11(cid:165)(cid:117)2024·(cid:325)(cid:356)(cid:484)(cid:485)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:168)(cid:101) (cid:39)(cid:36)(cid:45)(cid:122)(cid:37)A(cid:113)B(cid:113)C(cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:119)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:113)(cid:55)(cid:56)(cid:146) 3
4
△𝐴𝐵𝐶
( 2+ 2 2)(cid:113)(cid:219)(cid:172)(cid:181)(cid:238)(cid:104)(cid:30)(cid:235)(cid:39)(cid:119)(cid:117) (cid:118)
𝑎 A(cid:165) 𝑐 − co 𝑏 s cos (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:119) 1 , 1
2 4
𝐴 𝐶 −
B(cid:165)(cid:244) (cid:146)(cid:40) (cid:39)(cid:48)(cid:78)(cid:113)(cid:336) =1(cid:113)(cid:219) (cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62)(cid:146) 3
3
𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 △𝐴𝐵𝐶
C(cid:165)(cid:244) (cid:119)(cid:338)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:113)(cid:219) (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:119) 1 ,2
2
𝑎
△𝐴𝐵𝐶 𝑐
D(cid:165)(cid:244)(cid:37) (cid:39)(cid:70)(cid:84)(cid:271) (cid:41)(cid:40) (cid:257)(cid:74)(cid:150)(cid:78) (cid:113)(cid:336) = 3(cid:113)(cid:219) + (cid:39)(cid:61)(cid:251)(cid:62)(cid:146)10
(cid:36)(cid:31)(cid:134)(cid:135)(cid:21) 𝐵 𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐸 𝑎 4𝑐
12(cid:165)(cid:117)2024·(cid:23)(cid:486)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)3sin =2sin (cid:113)cos =
1
.(cid:219)sin = .
3
△𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐶 𝐵 𝐴
13(cid:165)(cid:117)2024·(cid:365)(cid:478)(cid:431)(cid:487)(cid:294)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:282)(cid:488)(cid:385)(cid:287)(cid:150)(cid:479)(cid:368)(cid:383)(cid:322)(cid:480)(cid:415)(cid:113)(cid:386)(cid:292)(cid:150)(cid:356)(cid:417)(cid:489)(cid:343)(cid:113)(cid:119)(cid:95)(cid:455)(cid:103)(cid:38)(cid:407)(cid:421)(cid:51)(cid:490)(cid:385)(cid:113)(cid:122)(cid:57)(cid:491)(cid:492)(cid:190)(cid:472)(cid:493)(cid:494)(cid:495)(cid:408)(cid:429)(cid:113)(cid:496)(cid:497)(cid:498)(cid:499)(cid:113)(cid:500)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:294)(cid:113)(cid:503)(cid:503)(cid:504)(cid:325)(cid:409)(cid:113)(cid:505)(cid:283)(cid:320)(cid:326)(cid:506)(cid:507)(cid:508)(cid:433)(cid:509)(cid:269).(cid:361)(cid:265)(cid:300)(cid:411)(cid:113)(cid:146)(cid:437)
(cid:68)(cid:69)(cid:282)(cid:488)(cid:385)(cid:39)(cid:24)(cid:67)(cid:113)(cid:434)(cid:438)(cid:11)(cid:117)(cid:510)(cid:24)173cm(cid:118)(cid:132)(cid:78) (cid:412)(cid:68)(cid:185)(cid:385)(cid:408) (cid:39)(cid:297)(cid:37)(cid:146)45°(cid:113)(cid:250)(cid:258)(cid:511)(cid:78) (cid:156)(cid:385)(cid:39)(cid:30)(cid:444)(cid:103)(cid:512)(cid:437)
38m(cid:253)(cid:266)(cid:78) (cid:412)(cid:113)(cid:232)(cid:155)(cid:68)(cid:185)(cid:385)(cid:408) (cid:39)(cid:297)(cid:37)(cid:146)75°(cid:113)(cid:180)𝐴(cid:232)(cid:190)(cid:446)(cid:82)(cid:282)𝐷(cid:488)(cid:385)(cid:39)(cid:24)(cid:67)(cid:211)(cid:146) m.𝐴(cid:117)(cid:82)(cid:105)(cid:261)(cid:310)(cid:413)(cid:235)(cid:253)
0.1(cid:118) 𝐵 𝐷
14(cid:165)(cid:117)2024·(cid:331)(cid:329)(cid:332)(cid:333)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:70)(cid:55)(cid:366)(cid:40)(cid:38) (cid:48)(cid:113) = = = =90 (cid:113)(cid:219)
∘
(cid:366)(cid:40)(cid:38) (cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62)(cid:146) . 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 3,𝐴𝐶 2𝐵𝐶,𝐴𝐷 𝐷𝐶,∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:366)(cid:31)(cid:44)(cid:143)(cid:21)
1
15(cid:165)(cid:117)2024·(cid:513)(cid:326)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:37) (cid:300)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) (cid:113)(cid:336)(cid:245)(cid:246)cos 3sin cos = .
2 2 2 2
𝐴 𝐴 𝐴
(1)(cid:35)(cid:37) (cid:151) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 −
(2) (cid:146)(cid:40)𝐴 (cid:283)(cid:95)(cid:78)(cid:113) (cid:113)(cid:336) = (cid:113)(cid:35)cos .
𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐴⊥𝐵𝐴 𝐵𝐷 4𝐷𝐶 𝐶
16(cid:165)(cid:117)2024·(cid:331)(cid:329)(cid:332)(cid:333)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:132) (cid:48)(cid:113)(cid:37) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:119) tan = tan (cid:165)
(1)(cid:35)(cid:46)(cid:10) cos =1(cid:151) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐, 𝐶 (𝑎−1) 𝐵
(2)(cid:244) =2𝑏(cid:113) 𝐶 (cid:55)(cid:56)(cid:146)1(cid:113)(cid:35)(cid:40) (cid:39)(cid:59)(cid:165)
𝑎 △𝐴𝐵𝐶 𝑐17(cid:165)(cid:117)2024·(cid:332)(cid:376)(cid:154)(cid:514)·(cid:36)(cid:323)(cid:118)(cid:361)(cid:265)(cid:113)(cid:434)(cid:399)(cid:515)(cid:516)(cid:132)(cid:294)(cid:517)(cid:172)(cid:409)(cid:70)(cid:7)(cid:262)(cid:283)(cid:518) (cid:156) (cid:255)(cid:519)(cid:113)(cid:132) (cid:412)(cid:68)(cid:185)(cid:294)(cid:408) (cid:412)(cid:39)(cid:297)(cid:37)
=30°(cid:113)(cid:301)(cid:516)(cid:191)45km/h(cid:39)(cid:520)(cid:67)(cid:521)(cid:520)(cid:255)(cid:519)4(cid:84)(cid:522)(cid:258)(cid:113)(cid:253)(cid:266) (cid:412)(cid:113)(cid:232)(cid:155)𝐴(cid:68)(cid:185)𝐵(cid:297)(cid:37) 𝐴=45°(cid:113)(cid:336)cos𝑃 =
∠3𝑃
.
𝐴𝑂 𝐵 ∠𝑃𝐵𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵 −
3
(1)(cid:35)(cid:232)(cid:294)(cid:39)(cid:24) (cid:39)(cid:62)(cid:151)
(2)(cid:35)(cid:301)(cid:516)(cid:127) (cid:253)𝑂𝑃(cid:255)(cid:519)(cid:184)(cid:177)(cid:48)(cid:290)(cid:68) (cid:78)(cid:39)(cid:297)(cid:37)(cid:30)(cid:523)(cid:62)(cid:39)(cid:61)(cid:145)(cid:62)(cid:165)
𝐴 𝐵 𝑃
18(cid:165)(cid:117)2024·(cid:364)(cid:365)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:168)(cid:101) (cid:39)(cid:122)(cid:37) (cid:39)(cid:149)(cid:40)(cid:84)(cid:324)(cid:146) ( 3 )sin =( )
(sin +sin )(cid:165) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐, 𝑐− 𝑏 𝐶 𝑎−𝑏
(1)(cid:35)𝐴 (cid:151) 𝐵
(2)(cid:244)𝐴 (cid:146)(cid:338)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:113)(cid:336) =6(cid:113)(cid:35) (cid:39)(cid:60)(cid:59) (cid:39)(cid:217)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:165)
△𝐴𝐵𝐶 𝑏 △𝐴𝐵𝐶 𝑙
19(cid:165)(cid:117)2024·(cid:524)(cid:525)(cid:320)(cid:145)(cid:480)·(cid:323)(cid:334)(cid:335)(cid:68)(cid:118)(cid:434)(cid:7)(cid:526)(cid:82)(cid:527)(cid:419)(cid:528)(cid:95)(cid:529)(cid:366)(cid:40)(cid:38)(cid:415)(cid:462)ABCD(cid:530)(cid:344)(cid:531)(cid:532)(cid:113)(cid:89)(cid:48) =2(cid:533)(cid:534)(cid:113) =1
(cid:533)(cid:534)(cid:113) = (cid:113) (cid:113)(cid:531)(cid:532)(cid:122)(cid:158)(cid:79)(cid:535)(cid:527)4(cid:193)(cid:399)(cid:255)(cid:536)DM(cid:31)DN(cid:31)EM(cid:31)EN(cid:191)(cid:88)(cid:166)(cid:193)(cid:537)(cid:409)𝐴(cid:538)𝐵AC(cid:31)BD(cid:113)𝐵(cid:89)𝐶
(cid:48)M(cid:31)𝐴N𝐷(cid:31)E𝐶(cid:84)𝐷(cid:324)(cid:146)𝐴𝐷(cid:40)⊥B𝐶C𝐷(cid:31)AB(cid:31)AC(cid:39)(cid:48)(cid:78)(cid:165)(1)(cid:244) = (cid:113)(cid:35)(cid:537)(cid:409)(cid:538)BD(cid:39)(cid:59)(cid:151)
2
π
∠𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:244) = (cid:113)(cid:144)(cid:27) (cid:539)(cid:411)4(cid:193)(cid:399)(cid:255)(cid:536)(cid:39)(cid:315)(cid:59)(cid:67)(cid:165)
∠𝐴𝐵𝐶 𝛼 𝛼
