文档内容
专题 04 二次函数中的存在性问题（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 角度存在性问题】......................................................................................................................................1
【题型2 全等三角形存在性问题】..........................................................................................................................3
【题型3 等腰三角形存在性问题】..........................................................................................................................5
【题型4 直角三角形存在性问题】..........................................................................................................................6
【题型5 等腰直角三角形存在性问题】..................................................................................................................8
【题型6 平行四边形存在性问题】........................................................................................................................10
【题型7 菱形存在性问题】....................................................................................................................................12
【题型8 矩形存在性问题】....................................................................................................................................13
【题型9 正方形存在性问题】................................................................................................................................15
【题型10 梯形存在性问题】....................................................................................................................................18
【题型1 角度存在性问题】
【例1】（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴分别交于点A(−1,0)，点B（点B在点
3
A的右侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x= ．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作PM∥x轴交BC与点M，当线段PM的值最大时，在直线
BC上找一点N，连接NA,NP，使得|PN−NA)的值最大．请求出|PN−NA)的最大值并求出点N的坐
标；
(3)将抛物线沿射线BC方向平移后经过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使∠BAQ与∠OCA互补，若
存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-1】（2025·福建莆田·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点
A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)如图2，连接CB，DB，若在BC上方的抛物线上存在点E，满足∠CBD=∠BDE，求点E的坐标．
【变式1-2】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c(a≠0)与x轴交
于点A(−1,0)和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C(0,5)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，直线y=−x+2与x轴交于点D，与y轴交于点E，动点P为抛物线第一象限上的一点，
PG⊥ED于点G，PH ∥ y轴交ED于点H，求△PGH的周长的最大值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接AE，将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y′，使平移后的新抛物线y′经过点B，
新抛物线y′与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线y′上是否存在一点T，使得∠TMB+∠AEO=90°
？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
【变式1-3】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2
过点A(−2,0),B(1,0)，与y轴交于点C，连接AC．(1)求该抛物线的解析式；
(2)P为线段AC上方抛物线上一动点，当△ACP的面积最大时，在线段AC上有一动点M，线段AP上有一
动点N，求PM+MN的最小值；
(3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线y′恰好经过点C，新抛物线与x轴在右边的交点
是点G，连接CG,R为y轴右边的新抛物线y′上一动点，过点R作RT⊥ x轴于点T，在y轴上是否存在点
Q，满足∠ORQ=∠GCT,∠ROQ=∠CGT？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型2 全等三角形存在性问题】
【例2】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b的
图像与一次函数 y=−x+1的图像交于A，B两点，已知B(6,−5)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC,BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且
满足 MN=3，连接CM,BN，当 △ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值；
(3)当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线AB的
方向平移得到新抛物线 y′，Q为新抛物线y′的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角
形和 △ABP全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，
与y轴交于点C(0,−3)．(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点P(m,n)在抛物线上，当−1≤m<3时，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为(2,3)，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与
△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线L：y=x2+3x−4与y轴交于点A，抛物线L′与L关于x轴
对称．
(1)求抛物线L′的函数表达式；
(2)O为坐标原点，点B是y轴正半轴上一点，OB=OA，点C是x轴负半轴上的动点，点P是第二象限抛物
线L′上的动点，连接OP,BP,是否存在点P，使得以点O,P,C为顶点的三角形与△OPB全等？若存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【变式2-3】（2023·陕西咸阳·三模）如图，抛物线y= x2−2x+3与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点
4
为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这
样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不
存在，请说明理由．【题型3 等腰三角形存在性问题】
【例3】（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左
侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，
垂足为点F，连接CD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说
明理由；
(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的
最小值．
1 3
【变式3-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数y =− x2+ x+c的图象与x
1 2 2
轴的一个交点为A(4, 0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y =kx+b．
2
(1)求二次函数y 的解析式及点B的坐标；
1
(2)由图象写出满足y 0)个单位得到新抛物
线，新抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式5-2】（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线L：y=ax2+2ax+c(a≠0)与x轴交于点B(−3,0)和点D
，与y轴交于点C(0,1)，顶点为A．
(1)求抛物线L的解析式和顶点A的坐标；
(2)将抛物线L上下平移，请问在平移后的抛物线L′上是否存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式．
【变式5-3】（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(−1,0)、点B(5,0)，交y
轴于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是第四象限抛物线上的一个动点．
①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点
P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 平行四边形存在性问题】
1
【例6】（2025·湖南岳阳·二模）已知抛物线W 解析式为：y=− x2+2x．
1 2
(1)求抛物线W 的顶点坐标．
1
(2)将抛物线W 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线W ，求抛物线W 的解析式．
1 2 2
(3)点Q是直线OP上方，且又是抛物线W 图像上的一个动点，连接OQ、PQ，是否存在一点Q，使
1
△OPQ面积最大，若存在，请求出此时点Q的坐标，并求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
(4)如图，抛物线W 的顶点为P，x轴上有一动点M，在W 、W 这两条抛物线上是否存在点N，使O（原
2 1 2
点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理
由．【变式6-1】（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A(1,0)、B(0,−3)，点C是直线
x=2上一点．
(1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标；
(2)当点C在抛物线上时，求点C的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标；
(4)若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y
轴交于点C，已知A(−1,0)、C(0,3)，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，
求四边形ABMC的最大面积；
(3)在（2）的条件下，当四边形ABMC的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否
存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式6-3】（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1，O为平面直角坐标系的原点，过定点C的直线
1
l:y=kx− k+1(k≠0)与抛物线L:y=2x2交于点A,B（点A在点B左侧）．
4
( 1 1)
(1)若A − , ，则求直线l的解析式；
2 2
(2)若AC=BC，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点D，使以A，B，O，D为顶点的四边形是平行
四边形，若存在，求D点的坐标，若不存在，请说明原因；
5
(3)如图2，分别过点A,B作与抛物线L均有唯一公共点的直线m,n，直线m,n的交点为E，若EC= ，求
4
k的值．
【题型7 菱形存在性问题】
【例7】1．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象交x轴
于A，B两点，交y轴于点C(0,4)，若点B的坐标为(4,0)，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一
象限．(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F，当点D运动到什么位置时，线段DF有最大
值？请求出点D的坐标和DF的最大值；
(3)连接OD，CD，若△OCD关于y轴的对称图形是△OCD′，是否存在点D，使得四边形ODCD′为菱
形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（2025·内蒙古·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)
两点，与y轴交于点C(0,−8)，P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接PO,PC，并将△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使得四边形POP′C为菱
形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形ABPC的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面
积．
【变式7-2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 y=ax2+bx−2与x轴交于
A(−1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，求四边形ACPB面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若
存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=1，OB=OC=3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接DC、DB、BC，设点D的横坐标为m，△BCD的面积
为S，求S的最大值；
(3)如图2，点P是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，PB交对称轴于点M，将线段MB绕点M旋转90°得
到点B的对应点N．是否存在P的位置，使点N落在y轴上？若存在，请求出满足条件的P点坐标，若不存
在，请说明理由；
(4)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在点N，使得以点B、C、M、N为
顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8 矩形存在性问题】
【例8】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线y=x2+6x+5经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x
轴交于点D，与直线AC交于点E．
(1)将抛物线沿直线AB平移，使得点A落在点B处记为A′，此时点C′的对应点为C，求点C′的坐标，判断
四边形A A′CC′的形状，并说明理由．
(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．
(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3交坐标轴于B、C两
点，抛物线y=ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A(−1,0)．点D为抛物线在第一象限内的一
点，过点D作DQ∥CO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC，求出m的值；
(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩
形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数y=m2x2−2mx−3（是常数，m>0）的图象与
x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为
D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．
(1)①线段AB的长为_____．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
(2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形
是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
【变式8-3】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x
y=ax2+2x+c(a≠0)
轴交于点A,B，与y轴交于点C，连接BC,OA=1，对称轴为x=1，点D为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．
(2)若连接CD，则∠BCD=________°
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形时，请直接写出
点Q的横坐标．
【题型9 正方形存在性问题】
4
【例9】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线C :y=ax2+ x+c的图像经过点D(1,−1)，与x轴交于点
1 3
2
A，点B，抛物线对称轴为x=− ．
5
(1)求抛物线C 的表达式；
1
(2)将抛物线C 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C ，求抛物线C 的表达式，并判断点D
1 2 2
是否在抛物线C 上；
2
(3)在抛物线C 的对称轴上是否存在一点P，使|PB−PD)最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
2
请说明理由；
(4)点F是平面内的一点，在抛物线C 和抛物线C 上是否存在一点E，使以点B,D，E,F为顶点的四边形
2 1
是以BD为边的正方形．若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A、C两点，其中A(−1,0)，C(4,0)，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结BC，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE与直线
❑√2
y=−2交于点F，求 DF+❑√2DE的最大值及此时点D的坐标；
2
(3)若将原抛物线绕原点O旋转180°得到新的抛物线y′，P是新抛物线y′上的一个动点，H是直线y=−2上
的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形OPKH为正方形？请直接写出满足条件
的所有K的坐标．
【变式9-2】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过A(−1,0),C(4,0),D(3,−4)三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)探究在抛物线上是否存在点P，使S =2S ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理
△PBC △DBC
由．
(3)直线AD交y轴于点G，M是线段GD上动点，MN∥x轴与抛物线CD段交于点N．MF⊥x轴于F，
NH⊥x轴于H，当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标
【变式9-3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与探究
为了适应辽宁新中考，我校2024届毕业生成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究学习二次函数问题的集体智慧结晶，期间他们经历了实践
——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题．
【实践】：（1）他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶离水面6.25m时，水面宽10m，并画出了
拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，通过计算直接写出该抛物线解析式为________；（写成顶
点式）
【应用】：（2）按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大
雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计
算进行说明．（货船看作长方体）
【探究】：（3）探究：该课题学习小组为进一步探索拋物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并
过原点作一条y=x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解
答：
①如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B
作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值．
②如图3，G为线段OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存
在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型10 梯形存在性问题】
3 3
【例10】（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，已知抛物线y= x2− x−3与x轴的交点为点A、D
8 4
(点A在点D的右侧)，与y轴的交点为点C．
(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点
的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3 3
【变式10-1】如图，已知抛物线y＝ x2－ x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.
8 4
(1)直接写出A、D、C三点的坐标；
(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的
四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为
2
(0,−2)，直线y=− x与边BC相交于点D．
3
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合
条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式10-3】如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,4)、B(−2,0)、C(6,0)
．过点A作AD//x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线
的交点，点F在y轴负半轴上，且F(0,−2)．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；
（2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O
时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形
的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐
标；不存在，说明理由．
