专题 5.6 解三角形
【新高考专用】
题型一 正、余弦定理求三角形的边与角
1．（2024·山东·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且
2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，则cosA=（ ）
1 1 1 2
A．− B． C． D．
2 3 2 3
2．（2024·安徽·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=c，且
sin2B ，则 （ ）
=2(1+√3sinB) B=
sin2A
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
3．（2024·福建·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A=sinC，a=2，
c=1，则b= .
√3
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin(B−A)= ，
4
2b2−2a2=c2，则sinC= ．
题型二 正、余弦定理判定三角形形状
5．（24-25高三上·上海闵行·期中）在△ABC中，已知b2+c2−bc=a2，且btanC=ctanB，则△ABC的
形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角为60°的直角三角形 D．等边三角形
6．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
sinA sinB sinC
= = (k为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
k 3 4A．当k=5时，△ABC是直角三角形 B．当k=3时，△ABC是锐角三角形
C．当k=2时，△ABC是钝角三角形 D．当k=1时，△ABC是钝角三角形
7．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
b+c
a= ，则△ABC的形状是 .
cosB+cosC
√1−cos2C
8．（23-24高三上·黑龙江七台河·阶段练习）在△ABC中，有2sin(A+B)−1= ，试判断
2
△ABC的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
题型三 正弦定理判定三角形解的个数
π
9．（2024·浙江·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B= ,a=4，且该三角形
3
有两解，则b的范围是（ ）
A． B．
(2√3,+∞) (2√3,4)
C． D．
(0,4) (3√3,4)
10．（2024·贵州·模拟预测）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a=√3.若这个三角形
有两解，则b的取值范围是（ ）
A．√3<b≤2 B．√3<b<2
C．1<b<2√3 D．1<b≤2
π
11．（2024·河北·三模）在△ABC中，∠A= ,AC=2，设BC边长为x，若满足条件的△ABC有且只有
4
一个，则x的取值范围是 .
12．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若
C=30∘,b=4，满足该条件的三角形有两个，则c的取值范围为 .（用区间表示）
题型四 证明三角形中的恒等式或不等式
13．（24-25高三上·江西·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且
sinA+1 sinB+1
= .
cosA cosB
(1)证明：A=B.
(2)若D是BC的中点，求∠CAD的最大值.14．（2024·甘肃酒泉·统考三模）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知A=2B，且b≠c.
(1)若2a=3b，求sinA；
a b+c
(2)证明： = ;
b a
15．（2024·贵州·统考模拟预测）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
4asin A=bsinCcosA+csin AcosB.
sinA
(1)求 的值；
sinC
(2)若BD是∠ABC的角平分线.
（i）证明：BD2=BA·BC−DA·DC；
（ii）若a=1，求BD⋅AC的最大值.
16．（23-24高一下·河南·期中）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，
△
2√3
若D为AC边上一点，满足AB⊥BD，BD=2，且a2=− S+abcosC.
3
(1)求角B；
4 2
(2)证明： + =√3；
a c
2 1
(3)求 + 的取值范围.
AD CD题型五 求三角形（四边形）的面积
17．（2024·贵州遵义·三模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，D为AC的中点，已知c=2，
√7
BD= ，且acosB+bcosA=−2ccosB，则△ABC的面积为（ ）
2
√3 3√3
A．2√3 B． C．√3 D．
2 2
18．（2024·安徽·二模）已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足
asin A+c(sin A+sinC)=2sinB，若b=2，则△ABC面积的最大值为（ ）
√3 √3 √3 √3
A． B． C． D．
4 6 3 2
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在三角形ABC中，已知2cosC(acosB+bcosA)+c=0，CM为
∠ACB的内角平分线，已知CM=1,AB=2√3，
(1)求角C的值；
(2)求三角形ABC的面积.
π
20．（2024·广东茂名·一模）如图，在四边形ABCD中．AB⊥BD，AB=2，∠BAD= ，AC平分
3
∠BAD且AC与BD相交于点E．
(1)若△BCD的面积为2√3，求BC；2√39
(2)若cos∠BDC= ，求△ABD与△BCD的面积之比．
13
题型六 求三角形中的边长或周长的最值或范围
21．（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若
b
a2−b2=bc，则 的取值范围是（ ）
a+c
A．(√3 √2) B． C． D．
, (2−√3,1) (2−√3,√2−1) (√2+1,√3+2)
3 2
22．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
√3b=2asinB，a=√3，则三角形ABC的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(3−√3,3√3) (3−√3,3√3] (3+√3,3√3] [3+√3,3√3]
23．（2024·辽宁·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为
．
a,b,c,(c−√3b)sinC=(a−b)(sinA+sinB)
(1)求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6，求△ABC的周长l的取值范围．
24．（2024·浙江绍兴·模拟预测）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足
(a+b+c)(a+b−c)=3ab.
(1)求角C的大小；
a+2b
(2)若△ABC是锐角三角形，求 的取值范围.
c题型七 距离、高度、角度测量问题
25．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A处，测得正西方向地面上B、C两点¿与楼底在同一
水平面上）的俯角分别是75∘和15∘，则B、C两点之间的距离为（ ）．
A．200√2 B．240√2 C．180√3 D．200√3
26．（2024·山西·模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王
之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到
一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M
的仰角分别为30∘和45∘，在A处测得楼顶部M的仰角为15∘，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A．74m B．60m C．52m D．91m
27．（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点
C与D，现测得∠BCD=15°,∠BDC=135°,CD=20m,在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=
m.
28．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔
的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得
AB=20√3m，在点A处测得点C，D的仰角分别为30°，60°，在点B处测得点D的仰角为30°，则塔高
CD为 m．
题型八 双三角形问题
29．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，若BC=2AB=4，AC=2√7，
π
AB⊥BD，∠BCD= ，则BD=（ ）
4
A．√3 B．2 C．2√6−2√2 D．4√3−4
30．（2024·北京朝阳·模拟预测）在三角形ABC中，∠BAC=60°,⃗BD=⃗DE=⃗EC，设
， ，则
sinα
（ ）
∠BAD=α ,∠DAE=α ∠EAC=α 2 =
1 2 3 sinα sinα
1 3
A．√3 B．2√3 C．√6 D．2√6
31．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC=2，且△ABC的面积为√3，点
D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于 ．π
32．（2024·四川·模拟预测）如图，在△ABC中，∠DAC= ，AC=2√2,CD=2,D为边BC上的一点，
6
且AD⊥AB，则AB= .
题型九 三角函数与解三角形的交汇问题
a
33．（2024·全国·模拟预测）设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，tan A= ，且B为钝角．
b
sinA+sinC的取值范围（ ）
√2 9 √3 5 9 9 √3
A．( , ] B．( , ] C．( , ] D．(0, ]
2 8 4 4 8 7 4
34．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
a2+c2=√3ac+b2，则cosA+sinC的取值范围为（ ）
A．(√3 3) B．(√3 ]
, ,√3
2 2 2
C．(1 3) D．(√3 ]
, ,2
2 2 2
35．（2024·山西·模拟预测）钝角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若acosB=csin A，则
sin A+√2sinB的最大值是 .
AB 3
36．（2024·四川成都·二模）平面四边形ABCD中，BC=CD=2, = ,∠ABD=90∘，则AC的最大
BD 4
值为 ．
一、单选题3
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在△ABC中，BC=8,AC=10,cos∠BAC= ，则△ABC的面积为
5
（ ）
A．6 B．8 C．24 D．48
2．（2024·甘肃张掖·一模）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，记△ABC的面积为S，若
，则 （ ）
a2+4√3S=(b+c) 2 A=
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
3．（2025·河北邯郸·二模）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面
积为S，且满足2S=√3⃗BA⋅⃗BC，4b2−9ac=0，则sinA−sinC=（ ）
√5 √5 √15 √15
A．± B． C．± D．
3 3 6 6
4．（2024·江苏南通·模拟预测）锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若
b a tanC tanC
+ =6cosC，则 + 的值为（ ）
a b tanA tanB
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2024·湖南·模拟预测）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E
为测量观测点，已知点A为塔底，A,C,D在水平地面上，塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.
测得CD=18m，AD=15m，在C点处测得E点的仰角为30∘，在E点处测得B点的仰角为60∘，则塔AB的
高度约为（ ）（√3≈1.732，精确到0.1m）
A．35.0m B．36.4m C．38.4m D．39.6m
S
6．（2024·吉林·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，则
a2+4bc
的最大值为（ ）√2 √2 9√15 9√15
A． B． C． D．
16 8 16 32
7．（2024·山东日照·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+bc，且
π π a
( )
A∈ , ，则 的取值范围为（ ）
3 2 b
A． B．(√6+√2 ) C． D．
(1,√3) ,2 (√2,√3) (√3,2)
2
8．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府
在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ中，准备修一条三角形健身步道
π
OAB，已知扇形的半径OP=3，圆心角∠POQ= ，A是扇形弧上的动点，B是半径OQ上的动点，
3
AB//OP，则△OAB面积的最大值为（ ）
3√3 3 3√3 3
A． B． C． D．
4 4 5 5
二、多选题
9．（2024·江西·模拟预测）设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列条件能判定△ABC是等腰
三角形的是（ ）
A．acosA=bcosB B．asinB=bsinC
C．cos(A+C)=cosB D．c=2acosB
10．（2024·云南·一模）记△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
B+C
bsin =asinB，则下列说法正确的是（ ）
2
π
A．A=
3
B．若a=√3，△ABC的周长为3√3，则△ABC一定为等边三角形
C．若 是锐角三角形，且 ，则 面积的取值范围是[√3 √3)
△ABC b=1 △ABC ,
8 2D．若a=√3，则△ABC内切圆周长的最大值为π
11．（2024·重庆·模拟预测）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
bsinB=(a+c)sinA，则下列说法正确的是（ ）
A．B=2A
π π
( )
B．B的取值范围为 ,
3 2
1 1
C． − +2sinB的最小值为2√2
tanA tanB
b−a (1 )
D． 的取值范围是 ,1
c 2
三、填空题
12．（2024·江苏南京·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边依次为a，b，c，
A+B 1 π
sin2 −cos2C= ，c=2，A= ，△ABC的面积为 .
2 2 4
13．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A
层，小宁家位于小明家正上方的B层，已知AB=a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得
东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离d= .
b c
14．（2024·全国·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,cosC= + ,∠BAC的平分线
a 2a
AD交BC于点D.若AD=1，则△ABC周长的最小值为 .
四、解答题
3√21
15．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角△ABC中，AB=3，BC=√7，sinC=
14
(1)求∠A；
(2)若D为AC的中点，求cos∠DBC.16．（2025·安徽合肥·一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a+b=2ccosB.
(1)证明：C=2B；
c
(2)若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围.
bsinB
17．（2024·贵州遵义·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，且
√3sinB+cosB=1.
(1)求B；
(2)若b=3，求△ABC的周长的取值范围.
18．（2025·广东·一模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a2−abcosC=2bccosA，
B=45∘.△ABC外一点E满足BE=2AE，且∠AEB的角平分线交AB于点D.
(1)求cosA；
(2)证明：CD⊥AB；
(3)若c=3,DE=2，求CE.
19．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P
是⊙O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧.(1)若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数.
(2)求四边形OPDC的面积的最大值.
