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专题5.6 平面向量的数量积及其应用-重难点题型精练
【新高考地区专用】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较
高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知向量⃗m=(2,−3)，⃗n=(1,1) ，若(λ⃗m−⃗n)⊥⃗n，则实数λ的
值为（ ）
1 1
A．− B． C．2 D．−2
2 2
2．（5分）设向量 ， 均为单位向量，则“ ”是“ ”的（ ）
⃗a ⃗b ⃗a⊥⃗b |2⃗a−⃗b|=|⃗a+2⃗b|
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
⃗a=(1,3) ⃗b=(2,−4)
A．
(⃗a+⃗b)//⃗a
B．
|2⃗a+⃗b|=√10
3π
C．向量⃗a与向量⃗b的夹角为
4
D．⃗b在⃗a的投影向量是(1,3)
4．（5分）（2022·江西赣州·高三期中（理））已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则
⃗a ⃗b |⃗a|=2√2|⃗b| (⃗a−4⃗b)⊥⃗a
⃗a与⃗b的夹角为（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
3 4 3 4
1 1
5．（5分）（2022·江苏南通·高三期中）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，⃗AO= ⃗AB+ ⃗AC
2 21
，⃗BA在⃗BC上的投影向量为 ⃗BC，则⃗OA⋅⃗BC=（ ）
4
A．−√3 B．−1 C．1 D．√3
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）设锐角△ABC内部的一点O满足|OA|=|OB|=|OC|，且
1 cosB cosC
⋅⃗OA+ ⋅⃗AB+ ⋅⃗AC=0⃗，则角A的大小可能为（ ）
2cosA sinC sinB
π π π 5π
A． B． C． D．
4 6 3 12
7．（5分）（2022·江苏盐城·高三期中）已知点A(2cos15°,2sin15°),B(2cos75°,2sin75°)，及圆
x2+ y2=4上的两个动点C、D，且|CD|=2，则⃗CA⋅⃗CB+⃗DA⋅⃗DB的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
8．（5分）（2022·北京·高三阶段练习）在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90∘.P为△ABC所在平面
内的动点，且PC=2，若⃗CP=λ⃗CA+μ⃗CB，则给出下面四个结论：
4
①λ+μ的最小值为- ；②⃗PA⋅⃗PB 的最小值为-6；
5
3
③λ+μ的最大值为 ；④⃗PA⋅⃗PB 的最大值为8.
4
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·福建省高三期中）已知向量 ，则（ ）
⃗a=(2,1),⃗b=(−3,1)
A． (√5 2√5)，则 B．
⃗c= ,− ⃗a⊥⃗c (⃗a+⃗b)∥⃗a
5 5
√5 1
C．⃗a与⃗a−⃗b的夹角正弦值为 D．向量⃗a在向量⃗b上的投影向量为− ⃗b
5 2
10．（5分）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在平面四边形ABCD中，
1
⃑AB⋅⃑BC=0,⃑AD⋅⃑CD=0,|⃑AB|=|⃑AD|=1,⃑AD⋅⃑BA= ，若点E为线段CD上的动点，则⃑AE⋅⃑BE
2
的值可能为（ ）
21 7
A．1 B． C．2 D．
16 211．（5分）（2023·浙江温州·模拟预测）已知向量⃗OA=(1,3)，⃗OB=(−2,4)，⃗OC=λ⃗OA+(1−λ)⃗OB，
其中λ∈R，则下列命题正确的是（ ）
A． 在 上的投影向量为 B． 的最小值是
⃗OA ⃗OB (−1,2) |⃗OC| √10
C．若⃗OB⋅⃗OC>0，则λ(1−λ)>0 D．若⃗OB⋅⃗OC<0，则λ(1−λ)<0
12．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为
直径的半圆上任意点，⃗AP=λ⃗AD+μ⃗AE，则（ ）
A．μ最大值为1 B．λ最大值为2
C．⃗AP⋅⃗AD最大值是8 D．⃗AP⋅⃗AE最大值是8+4√5
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·上海杨浦·高三期中）已知⃗a=(2,1)，⃗b在⃗a上的投影向量为−2⃗a，则⃗a⋅⃗b=
．
14．（5分）向量 满足 ，且 ，则 与 夹角的余弦值等于
⃗a、⃗b (⃗a−⃗b)⋅(2⃗a+⃗b)=−4 |⃗a|=2,|⃗b|=4 ⃗a ⃗b
．
π
15．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）△ABC中，AB=2，∠ACB= ，O是△ABC外接圆的圆心，
4
则⃗OC⋅⃗AB+⃗CA⋅⃗CB的最大值为 .
16．（5分）（2022·北京通州·高三期中）已知△ABC满足⃗BC⋅⃗CA>0.给出下列四个结论：
①△ABC为锐角三角形；
②sin A⃗CB2+⃗CA2；
④cosAcosB>sin AsinB.
其中所有正确结论的序号是 .
四．解答题（共6小题，满分70分）π
17．（10分）（2021·辽宁·高二期末）已知向量 ⃗a=(1,0),⃗b=(m,1) ，且⃗a与⃗b的夹角为 ．
4
(1)求|⃗a−2⃗b|；
(2)若⃗a+λ⃗b与⃗b垂直，求实数 λ的值．
3
18．（12分）（2022·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，⃗a⋅⃗b= ，
2
7
(⃗a+2⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=− ．
2
(1)求 的值；
|⃗b|
(2)设⃗b在⃗a上的投影向量为λ⃗a，求实数λ的值．
19．（12分）（2022·湖北·高三期中）已知△ABC的内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c
向量 ， ，且 ．
⃗m=(a,√3a) ⃗n=(cosC,sinC) ⃗m·⃗n=b+c
(1)求角A；
(2)若a=2√3，△ABC 的面积为2√3，求b、c．
20．（12分）（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知⃗a=(sinx+cosx,2cosθ)，
⃗b= ( 2sinθ, 1 sin2x ) ．
2
π
(1)若⃗c=(−3,4)，且x= ，θ∈(0,π)时，⃗a与⃗c的夹角为钝角，求cosθ的取值范围；
4π
(2)若θ= ，函数f (x)=⃗a⋅⃗b，求f (x)的最小值．
3
21．（12分）（2022·江苏无锡·高三期中）已知向量 ， 满足 ， ， ．
⃗a ⃗b |⃗a|=√2 |⃗b|=2 ⃗a⋅⃗b=−2
(1)求向量⃗b和⃗a+⃗b的夹角；
(2)设向量 ， ，是否存在正实数t和k，使得 ？如果存在，求出t的
⃗x=⃗a+(t2−3)⃗b ⃗y=−k⃗a+(t+2)⃗b ⃗x⊥⃗y
取值范围；如果不存在，请说明理由．
22．（12分）（2022·湖北·高一期末）如图，设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上
1 √21
的中线，已知c=1且2csinAcosB=asinA−bsinB+ bsinC,cos∠BAD= .
4 7
(1)求中线AD的长度；
(2)设点E､F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求
⃑AG⋅⃑EF的最大值.
