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专题 5.5 解三角形【九大题型】
【新高考专用】
1、解三角形
解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、
余弦定理解三角形、三角形的面积与周长问题在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高
考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理
的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知
识综合命题，需要灵活求解.【知识点1 解三角形的几类热点问题及其解题思路】
1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，
即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的
三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意
挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已
知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若 B= >1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若 B= =1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若 B= <1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0< B= <1可得B有两个值，一个大于 ，一个小于 ，考虑到“大边对大角”、
“三
角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论.
4．与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【知识点2 测量问题的基本类型和求解策略】
1．测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定
A,B间不可达
也不可视 理得
测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，
B, C与点A可
由正弦定理得
视但不可达
测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的
C,D与点A,B 度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在
均可视不可达 △BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC
中，用余弦定理求AB.
2．测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部
测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
可达
测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
点B与
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形
C,D共线
得AB的值.
底
部
不
可
达
点B与 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
C , D不 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角
共线 三角形得AB的值.3．测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、
图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【知识点3 解三角形的应用的解题策略】
1．平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
2．解三角形与三角函数的综合应用
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】
【例1】（2025·江西·一模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinB−√3sinA=0，则
b=（ ）
A．√3 B．2√3 C．1 D．2
【解题思路】根据正弦定理求解即可.
a b
【解答过程】由正弦定理 = ，得asinB=bsinA，
sin A sinB
所以asinB−√3sinA=bsinA−√3sinA=0，
又A∈(0,π)，所以sin A>0，所以b=√3.
故选：A.
【变式1-1】（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
2π
b=1,c=√3,C= ，则a的值为（ ）
3
A．2 B．3 C．1 D．4
【解题思路】利用正弦定理将、余弦定理求解即可.
【解答过程】c b
由正弦定理得: = .
sinC sinB
2π
1×sin
则 3 1 .
sinB= =
√3 2
2π π
又因为 ∠C= ，所以 B∈ ( 0, ) ，
3 2
√ (1) 2 √3
所以 cosB>0,cosB= 1− = ，
2 2
在△ABC中由余弦定理得: b2=a2+c2−2ac⋅cosB，
√3
代入得：1=a2+(√3) 2 −2×a×√3× . 解得：a=1或 a=2，
2
2π
又因为 ∠C= ，则 a<√3 . 故a=1，
3
故选：C.
【变式1-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
a−c sinB
= ，则A=（ ）
b+c sinA+sinC
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【解题思路】由正弦定理角化边，再由余弦定理求cosA，可得角A.
a−c sinB a−c b
【解答过程】由 = ，根据正弦定理有 = ，
b+c sinA+sinC b+c a+c
所以a2−c2=b2+bc，有b2+c2−a2=−bc，
b2+c2−a2 1 2π
根据余弦定理，有cosA= =− ，由00,sinB>0，
c2 tanC sin2C sinC
cosC
整理得sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C，而0b，则A>B；
(2)请用余弦定理证明：若A>B，则a>b．
【解题思路】（1）根据正弦定理结合已知条件得出sinA>sinB，对角A,B的范围进行分类讨论，再利用
正弦函数的单调性即可得出结果；
（2）根据余弦函数y=cosx在(0,π)上单调递减，得cosAb，则2Rsin A>2RsinB，即sin A>sinB．
sinA sinB
(
π]
(
π]
（ⅰ）若A，B∈ 0, ，则由y=sinx在 0, 单调递增，得A>B．
2 2
（ⅱ）若A∈ ( 0,
π]
，B∈ (
π
,π) ，则sin A>sinB=sin(π−B)，此时 π−B∈ ( 0,
π
) ，
2 2 2
(
π]
由y=sinx在 0, 单调递增，得A>π−B⇔A+B>π，显然不成立，舍去．
2
（ⅲ）若B∈
(
0,
π]
，A∈
(
π
,π)
，必有A>B成立.
2 2
综上，在△ABC中，若a>b，则A>B.
（2）由y=cosx在(0,π)上单调递减，若A>B，则cosA0，a+b−c>0，所以a>b．
所以在△ABC中，若A>B，则a>b.
【变式4-2】（23-24高二下·湖北咸宁·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知A=2B，
且b≠c.
(1)若2a=3b，求sinA；a b+c
(2)证明： = ;
b a
3√7
【解题思路】（1）根据A=2B，sinA=sin2B，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得sinA= .
8
（2）根据（1）a=2bcosB，然后结合余弦定理证明即可；
【解答过程】（1）依题意，A=2B，所以sinA=sin2B，即sinA=2sinBcosB，
3
由正弦定理可知，a=2bcosB，即cosB= ，
4
1
从而cosA=cos2B=2cos2B−1=
，
8
3√7
A为三角形内角，故sinA= .
8
a2+c2−b2
（2）由（1）可知，a=2bcosB，由余弦定理可得：a=2b⋅ ，
2ac
即a2c=a2b+c2b−b3，
则a2(c−b)=b(c2−b2)，又b≠c，
故a2=bc+b2，
a b+c
从而 = .
b a
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D
在B，E之间，AE⋅AC⋅BD=AD⋅AB⋅CE．
(1)求证：sin∠BAD=sin∠CAE．
AD2 AE2 2
(2)若AB⊥AC，求证： + = ．
BD2 CE2 1−sin∠DAE
【解题思路】（1）分别在△ABC，△ABD，△ACE中，利用正弦定理即可得证；
π π
（2）设∠BAD=∠CAE=α，则0<α< ，∠DAE= −2α，在△ABD，△ACE中，利用正弦定理即
4 2
可得证.
sinB AC
【解答过程】（1）如图．在△ABC中，由正弦定理，得 = ．
sinC AB
BDsinB
在△ABD中，由正弦定理，得sin∠BAD= ．
ADCEsinC
在△ACE中，由正弦定理，得sin∠CAE= ．
AE
sin∠BAD BD⋅AE⋅sinB BD⋅AE⋅AC
所以 = = =1，
sin∠CAE CE⋅AD⋅sinC CE⋅AD⋅AB
所以sin∠BAD=sin∠CAE．
（2）因为AB⊥AC，
π
所B+C= ，所以sinC=cosB．
2
π
由∠BAC= 可知∠BAD，∠CAE均为锐角．
2
由（1）知，∠BAD=∠CAE．
π π
设∠BAD=∠CAE=α，则0<α< ，∠DAE= −2α．
4 2
1−sin∠DAE
由sin∠DAE=cos2α=1−2sin2α，得sin2α=
．
2
AD sinB
在△ABD中，由正弦定理，得 = ．
BD sinα
AE sinC cosB
在△ACE中，由正弦定理，得 = = ．
CE sinα sinα
AD2 AE2 sin2B cos2B 1 2
所以 + = + = = ．
BD2 CE2 sin2α sin2α sin2α 1−sin∠DAE
【题型5 求三角形（四边形）的面积】
【例5】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，
sinA=2sinC，b=2√3，则△ABC的面积为（ ）
√3
A． B．√3 C．√6 D．2√3
2
【解题思路】先根据正弦定理得出边长关系结合余弦定理求出边长，最后根据面积公式计算即可.
【解答过程】由sinA=2sinC，得a=2c，
∴(2√3)
2=a2+c2−2accosB=3c2，解得c=2，a=4．1 1 √3
∴S = acsinB= ×4×2× =2√3．
△ABC 2 2 2
故选：D.
【变式5-1】（2024·山西太原·三模）已知△ABC 中，A=120∘， D是BC的中点，且 AD=1，则
△ABC 面积的最大值（ ）
A．√3 B．2√3 C．1 D．2
【解题思路】利用中线得到4=b2+c2−bc，结合不等式得出bc≤4，进而得到面积的最大值.
1
【解答过程】因为A=120∘，所以⃗AB⋅⃗AC=|⃗AB||⃗AC|cos120°=− bc，
2
1 1
因为AD是中线，所以⃗AD= (⃗AB+⃗AC)，⃗AD2= (⃗AB2+⃗AC2+2⃗AB⋅⃗AC)，
2 4
所以4=b2+c2−bc≥bc，当且仅当b=c时，等号成立；
1 1 √3
△ABC 面积为S= bcsin A≤ ×4× =√3.
2 2 2
故选：A.
【变式5-2】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
√3a 1+cosA
= ．
c sinC
(1)求角A；
π
(2)若C= ,c=4，求△ABC的面积．
4
【解题思路】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得√3sin A=1+cosA，再利用辅助角公式及特殊角的
三角函数值，即可求解；
（2）利用正弦定理得a=2√6，再结合（1）中结果，求得sinB，再利用面积公式，即可求解.
√3a √3sin A 1+cosA
【解答过程】（1）因为 = = ，所以√3sin A=1+cosA，
c sinC sinC
π π 1
即√3sin A−cosA=2sin ( A− )=1，得到sin ( A− )= ，
6 6 2
π π 5π π π π
又A∈(0,π)，则A− ∈ ( − , ) ，所以A− = ，解得A= .
6 6 6 6 6 3
π π π π 5π
（2）由（1）知A= ，又C= ,c=4，所以B=π− − = ，
3 4 3 4 12π
4sin
a c 3
又 = ，所以a= =2√6，
sinA sinC π
sin
4
5π π π √2 1 √2 √3 √2+√6
又sin =sin( + )= × + × = ，
12 4 3 2 2 2 2 4
1 1 √2+√6
所以S = acsinB= ×2√6×4× =6+2√3.
△ABC 2 2 4
【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=5．
a sinB π
(1)若 = ,C= ，求a；
4b sinA 2
(2)若ab=20，求△ABC的面积的最大值．
【解题思路】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可；
（2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可；
a sinB b
【解答过程】（1）由正弦定理可得 = = ,即a=2b，
4b sinA a
π
又C= ，所以a2+b2=c2=25，即5b2=25，解得b=√5，
2
所以a=2√5.
1
（2）因为S = absinC=10sinC，且ab=20，c=5，
△ABC 2
a2+b2−c2 2ab−25 3
所以cosC= ≥ = ，当且仅当a=b=2√5时等号成立，
2ab 2ab 8
√ (3) 2 √55
当cosC取最小值时，sinC取最大值，最大值(sinC) = 1− = ，
max 8 8
5√55
所以△ABC的面积的最大值为 .
4
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
c=2,B=2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．(2,10) B．(2+2√2,10) C．(2+2√2,4+2√3)D．(4+2√3,10)
【解题思路】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【解答过程】在△ABC中，由B=2C可得A=π−3C，a b c
= =
由正弦定理 得：
sin(π−3C) sin2C sinC
2(sin3C+sin2C) 2(sinCcos2C+cosCsin2C+2sinCcosC)
a+b= = =2(4cos2C+2cosC−1)，
sinC sinC
π π
又△ABC为锐角三角形，所以¿，解得 0，
2[2sin Acos2A+(2cos2A−1)sin A]
所以b=4cosA,c= =8cos2A−2，
sin A
所以a+b+c=8cos2A+4cosA，
π π
由于¿，所以¿，所以
AC，故∠CDA为锐角，故∠CDA=60°，此时灯塔C位于渔船的北偏西30°方向.
故选：D.
【题型8 双三角形问题】
【例8】（2025·广东·一模）如图，已知∠CAB=45°，∠ACB=15°，AC=√6，CD=√7，则BD=
（ ）
−1+√13 1+√13
A． B． C．3或1 D．3
2 2
AC BC
【解题思路】由正弦定理得 = ，从而求出BC，再由余弦定理得
sin∠ABC sin∠CAB
CD2=BC2+BD2−2⋅BC⋅BD⋅cos60°，由此能求出BD．
【解答过程】∵∠CAB=45°，∠ACB=15°，AC=√6，所以∠ABC=120°.
AC BC
∴ = ，
sin∠ABC sin∠CAB
√2
√6×
AC×sin45° 2
∴BC= = =2，
sin120° √3
2
∴CD2=BC2+BD2−2⋅BC⋅BD⋅cos60°，
∴7=4+BD2−2BD，
解得BD=3或BD=−1（舍）.
故选：D.
【变式8-1】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,∠B=2∠D=120°，
记△ABC与△ACD的面积分别为S ,S ，则S −S 的值为（ ）
1 2 2 1√3
A．2 B．√3 C．1 D．
2
【解题思路】根据余弦定理得BC2−AC2=−2BC−4、CD2−AC2=2CD−4，两式相减可得
√3
CD−BC=2，由三角形的面积公式得S −S = (CD−BC)，即可求解.
2 1 2
AB2+BC2−AC2
【解答过程】在△ABC中，由余弦定理得cosB= ，
2AB⋅BC
1 4+BC2−AC2
即− = ，得BC2−AC2=−2BC−4①，
2 4BC
AD2+CD2−AC2
在△ACD中，由余弦定理得cosD= ，
2AC⋅CD
1 4+CD2−AC2
即 = ，得CD2−AC2=2CD−4②，
2 4CD
1 √3 1 √3
又S = AB⋅BCsin120°= BC,S = AD⋅CDsin60°= CD，
1 2 2 2 2 2
√3 √3 √3
所以S −S = CD− BC= (CD−BC)③，
2 1 2 2 2
由②−①，得CD2−BC2=2(CD+BC)，由CD+BC>0，
得CD−BC=2，代入③得S −S =√3.
2 1
故选：B.
【变式8-2】（2024·广东广州·模拟预测）三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，面积
√3
S= (b2−a2−c2).
4
(1)求∠B的大小；
(2)如图，若D为△ABC外一点，在四边形ABCD中，边长BC=2，∠DCB=∠B，∠CAD=30∘，求CD
的最小值.sinB
【解题思路】（1）根据面积公式以及余弦定理可得tanB= =−√3，即可求解，
cosB
√3 √3
（2）根据正弦定理可得CD= ，即可根据二倍角公式化简得CD=
，
2sin(30°+θ)sin(60°−θ) cos(2θ−30°)
利用余弦函数的性质即可求解.
√3
【解答过程】（1）因为S= (b2−a2−c2)，即−4S=√3(a2+c2−b2)，
4
1
所以−4⋅ acsinB=√3⋅2accosB，
2
sinB
所以tanB= =−√3，
cosB
因为B∈(0°,180° )，所以B=120°．
CD AC BC AC
（2）在△ACD和△ABC中，由正弦定理可得 = , = ，
sin30∘ sin∠ADC sin∠CAB sin120∘
设∠ACB=θ，0°<θ<60°，则∠ACD=120°−θ,∠ADC=30°+θ,∠CAB=60°−θ，
√3
√3
故两式相除可得2CDsin(60°−θ) 2 ，即CD= ,
= 2sin(30°+θ)sin(60°−θ)
2 sin(30°+θ)
√3 √3
CD= =
因此 ，
cos[(30°+θ)−(60°−θ)]−cos[(30°+θ)+(60°−θ)] cos(2θ−30°)
故当2θ−30°=0时，即θ=15°时，此时cos(2θ−30°)取最大值1，故CD取最小值√3.
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=√15,CD=3,AD=5．
(1)若A,B,C,D四点共圆，求AC；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．【解题思路】（1）由于A,B,C,D四点共圆，所以∠ABC+ADC=π， 因此
cos∠ADC=−cos∠ABC，然后在两个三角形中分别用这两角余弦定理建立等式即可求解；
2S
（2）利用三角形面积公式可得：sin∠ADC+sin∠ABC= ，然后结合第一问的
15
30−30cos∠ABC=34−30cos∠ADC可得出含四边形面积的表达式，再结合三角形内角的范围及余
弦函数的性质得到结果.
【解答过程】（1）在△ABC中，由余弦定理得：
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=15+15−2×√15×√15cos∠ABC=30−30cos∠ABC，
在△ACD中，由余弦定理得：
AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcos∠ADC=25+9−2×5×3cos∠ADC=34−30cos∠ADC，
由于A,B,C,D四点共圆，所以∠ABC+ADC=π， 因此cos∠ADC=−cos∠ABC，
上述两式相加得：2AC2=64，
得AC=4√2．
（2）由（1）得：30−30cos∠ABC=34−30cos∠ADC，
2
化简得cos∠ADC−cos∠ABC= ，①
15
四边形ABCD的面积：
1 1 15
S= AB⋅BCsin∠ABC+ AD⋅CDsin∠ADC= (sin∠ADC+sin∠ABC)，
2 2 2
2S
整理得sin∠ADC+sin∠ABC= ，②
15
4+4S2
①②两边分别平方然后相加得：2−2cos(∠ADC+∠ABC)=
225
由于0<∠ADC<π，0<∠ABC<π，
因此当∠ADC+∠ABC=π时，cos(∠ADC+∠ABC)取得最小值−1，
4+4S2
此时四边形ABCD的面积最大，由 =4，得S=4√14，
225
故四边形ABCD面积的最大值为4√14．
【题型9 三角函数与解三角形的交汇问题】
【例9】（2024·河南郑州·一模）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等
分点（靠近点A）且CD=1，(a−b)sin A=(c+b)(sinC−sinB)，则a+3b的最大值是（ ）
8 8√3
A． √2 B． C．2√3 D．4√3
3 3π
【解题思路】根据题意，由正弦定理化简得到a2+b2−c2=ab，求得∠ACB= ，设∠ACD=θ，得到
3
π 8 π
∠BCD= −θ，再结合正弦定理，化简得到a+3b= sin ( θ+ ) ，结合三角函数的性质，即可求解.
3 √3 3
【解答过程】因为(a−b)sin A=(c+b)(sinC−sinB)，
由正弦定理得a(a−b)=(c+b)(c−b)，可得a2−ab=c2−b2，即a2+b2−c2=ab，
a2+b2−c2 1 π
所以cos∠ACB= = ，∠ACB∈(0,π)，则∠ACB= ，
2ab 2 3
π π
设∠ACD=θ，则∠BCD= −θ，且0<θ<
，
3 3
AD CD
在△ACD中， = 且CD=1，则AD⋅sin A=sinθ，
sinθ sinA
BD CD
= π
在△BCD中，由 ( π ) sinB，则BD⋅sinB=sin ( −θ ) ，
sin −θ 3
3
3c c π
由BD=3AD= ，即 (sin A+3sinB)=sinθ+sin ( −θ ) ，
4 4 3
又由正弦定理知c=2Rsin∠ACB=√3R（R为△ABC的外接圆半径），
√3R √3 1 1 √3 π
所以 (sin A+3sinB)=sinθ+ cosθ− sinθ= sinθ+ cosθ=sin ( θ+ ) ，
4 2 2 2 2 3
√3 π 8 π
则 (2Rsin A+6RsinB)=sin ( θ+ ) ，即a+3b= sin ( θ+ ) ，
8 3 √3 3
π π 2π π π π 8 8
又因为
3
<θ+
3
<
3
，故当θ+
3
=
2
，即θ=
6
时，所以(a+2b)
max
=
√3
=
3
√3.
故选：B.
【变式9-1】（2024·四川成都·三模）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为△ABC的面
积，a=2，且2S=a2−(b−c) 2，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A．(4,6] B．(4,2√5+2]C．(6,2√5+2] D．(4,√5+2]
A 1 4
【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得tan = ,tanA= ，然后根据正弦定理及三角变换可得
2 2 3
5
b+c= (sinB+sinC)=2√5sin(B+φ)，再根据三角形是锐角三角形，得到B的范围，转化为三角函数求
2
值域的问题.
【解答过程】∵2S=a2−(b−c) 2=a2−b2−c2+2bc=2bc−2bccosA，
1
∴S=bc−bccosA= bcsin A，
2
1 A A A
∴1−cosA= sin A，即2sin2 =sin cos ，A为锐角，
2 2 2 2
A 1 1 4 4 3
tan = ,tanA= = ,sinA= ,cosA=
∴ 2 2 1 3 5 5，又a=2，
1−
4
a b c 5
由正弦定理可得 = = = ，
sin A sinB sinC 2
5 5
所以b+c= (sinB+sinC)= [sinB+sin(A+B)]
2 2
5( 3 4 )
= sinB+ sinB+ cosB =4sinB+2cosB
2 5 5
1 A
=2√5sin(B+φ)，其中tanφ= ，φ= ，
2 2
因为△ABC为锐角三角形，
π π π π
所以 −A0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；[ π]
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为f(x)在 0, 上的最大值，再从条件①、
2
条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a−b的取值范围.条件①：
acosB+bcosA=2ccosC；条件②：2asin AcosB+bsin2A=√3a；条件③：△ABC的面积为S，且
√3(a2+b2−c2)
S= .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
4
π
【解题思路】利用三角恒等变换整理可得f(x)=2sin ( 2ωx+ )+1，结合最小正周期分析求解；
6
π π
以2x+ 为整体，结合正弦函数最值可得c=3.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得C= ，
6 3
π
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得a−b=2√3sin ( A− ) ，结合正弦函数分析求解；若选条
3
π
件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得C=
，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得
3
π π
a−b=2√3sin ( A− ) ，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得C= ，
3 3
π
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得a−b=2√3sin ( A− ) ，结合正弦函数分析求解.
3
【解答过程】（1）由题意可知：
π
f(x)=2√3sinωxcosωx+2cos2ωx=√3sin2ωx+cos2ωx+1=2sin ( 2ωx+ )+1，
6
2π
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以ω= =1.
2π
π
（2）由（1）可知：f(x)=2sin ( 2x+ )+1，
6
[ π] π [π 7π ]
因为x∈ 0, ，则2x+ ∈ , ，
2 6 6 6
π π π
可知当2x+ = ，即x= 时，f(x)取到最大值3，即c=3.
6 2 6
若条件①：因为acosB+bcosA=2ccosC，
由正弦定理可得sin AcosB+sinBcosA=2sinCcosC，又因为sin AcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，
π
( )
可得sinC=2sinCcosC，且C∈ 0, ，则sinC≠0，
2
1 π
可得cosC= ，所以C= ，
2 3
a b c 3
= = = =2√3
由正弦定理可得sin A sinB sinC √3 ，可得a=2√3sin A,b=2√3sinB，
2
π
则a−b=2√3sin A−2√3sinB=2√3sin A−2√3sin ( A+ )
3
(1 √3 )
=2√3sin A−2√3 sin A+ cosA
2 2
π
=√3sin A−3cosA=2√3sin ( A− ) ，
3
π π
因为△ABC锐角三角形，则¿，解得 0，
π
据此可得cosA=0,A=
，
2
π π 3π
则B=π−A−C=π− − = .
2 5 10
故选：C.
π 9
3．（2024·全国甲卷·高考真题）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B= ，b2= ac，
3 4
则sinA+sinC=（ ）
2√39 √39 √7 3√13
A． B． C． D．
13 13 2 13
1 13
【解题思路】利用正弦定理得sinAsinC= ，再利用余弦定理有a2+c2= ac，由正弦定理得到
3 4
sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可.
π 9 4 1
【解答过程】因为B= ,b2= ac，则由正弦定理得sin AsinC= sin2B= .
3 4 9 3
9
由余弦定理可得:b2=a2+c2−ac= ac，
4
13 13 13
即:a2+c2= ac，根据正弦定理得sin2A+sin2C= sin AsinC= ，
4 4 127
所以(sinA+sinC) 2=sin2A+sin2C+2sinAsinC= ，
4
√7
因为A,C为三角形内角，则sin A+sinC>0，则sin A+sinC= .
2
故选：C.
4．（2023·全国·高考真题）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=√6，∠BAC的角平分线交BC于
D，则AD=
2 ．
【解题思路】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；
方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C，即可根据三角形的特征求出．
【解答过程】
如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a，
方法一：由余弦定理可得，22+b2−2×2×b×cos60∘=6，
因为b>0，解得：b=1+√3，
由S =S +S 可得，
△ABC △ABD △ACD
1 1 1
×2×b×sin60∘= ×2×AD×sin30∘+ ×AD×b×sin30∘
，
2 2 2
√3b 2√3(1+√3)
AD= = =2
解得： b 3+√3 ．
1+
2
故答案为：2．
方法二：由余弦定理可得，22+b2−2×2×b×cos60∘=6，因为b>0，解得：b=1+√3，
√6 b 2 √6+√2 √2
由正弦定理可得， = = ，解得：sinB= ，sinC= ，
sin60∘ sinB sinC 4 2
因为1+√3>√6>√2，所以C=45∘，B=180∘−60∘−45∘=75∘，
又∠BAD=30∘，所以∠ADB=75∘，即AD=AB=2．
故答案为：2．b2+c2−a2
5．（2023·全国·高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 =2．
cosA
(1)求bc；
acosB−bcosA b
(2)若 − =1，求△ABC面积．
acosB+bcosA c
【解题思路】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
b2+c2−a2 2bccosA
【解答过程】（1）因为a2=b2+c2−2bccosA，所以 = =2bc=2，解得：bc=1．
cosA cosA
acosB−bcosA b sinAcosB−sinBcosA sinB
（2）由正弦定理可得 − = −
acosB+bcosA c sinAcosB+sinBcosA sinC
sin(A−B) sinB sin(A−B)−sinB
= − = =1，
sin(A+B) sin(A+B) sin(A+B)
变形可得：sin(A−B)−sin(A+B)=sinB，即−2cosAsinB=sinB，
1 √3
而00，则根据余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，
9
即25=4t2+9t2−2×2t×3t× ，解得t=2（负舍）；
16
则a=4,c=6.
（2）法一：因为B为三角形内角，所以sinB=√1−cos2B= √ 1− ( 9 ) 2 = 5√7 ，
16 164 5
a b = √7
再根据正弦定理得 = ，即sin A 5√7，解得sin A= ，
sin A sinB 4
16
b2+c2−a2 52+62−42 3
法二：由余弦定理得cosA= = = ，
2bc 2×5×6 4
因为A∈(0,π)，则sin A=
√
1−
(3) 2
=
√7
4 4
9 π
（3）法一：因为cosB= >0，且B∈(0,π)，所以B∈ ( 0, ) ，
16 2
5√7
由（2）法一知sinB= ，
16
因为a0，
从而sinC=√1−cos2C=
√
1−
(√2) 2
=
√2
，
2 2
1
又因为sinC=√2cosB，即cosB= ，
2注意到B∈(0,π)，
π
所以B=
.
3
π √2 π π π 5π
（2）由（1）可得B= ，cosC= ，C∈(0,π)，从而C= ，A=π− − = ，
3 2 4 3 4 12
而sin A=sin (5π ) =sin ( π + π )= √2 × √3 + √2 × 1 = √6+√2 ，
12 4 6 2 2 2 2 4
a b c
= =
由正弦定理有 5π π π ，
sin sin sin
12 3 4
√6+√2 √3+1 √3 √6
从而a= ⋅√2c= c,b= ⋅√2c= c，
4 2 2 2
由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为
1 1 √3+1 √6 √2 3+√3
S = absinC= ⋅ c⋅ c⋅ = c2 ，
△ABC 2 2 2 2 2 8
3+√3
由已知△ABC的面积为3+√3，可得 c2=3+√3，
8
所以c=2√2.
