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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
第四章 三角形
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易错点1
三 全等三角形的判定方法易错
角
易错点2
全等三角形“手拉手”旋转模型易错
形
易错点3
全等三角形中动点问题易错
易错训练
【易错点1全等三角形的判定方法易错】如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB
// DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证： ；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
【变式训练】
一、选择题
1．如图，∠1=∠2，若要使△ABD≌△ACD，则要添加的一个条件不能是（ ）A．AB=AC B．BD=CD C．∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C
2．如图，已知 ， ，添加下列条件，不能证明 的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，下列条件中，不能判定
的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，则添加下列哪个条件不能使△ODE与
△ODF全等（ ）
A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD5．如图，已知 ， ，且 ， ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图， ， ，请补充一个条件：______，能使用“ASA”方法判定 ．
7．如图，在 与 中， 与 相交于点M， ，在不再添加其他线段，不再标注
或使用其他字母的情况下，要证明 ．需添加的一个条件是___________．
8．如图所示，在 中，D是 的中点，点A、F、D、E在同一直线上．请添加一个条件，使
（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______9．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD
的面积为_______．
10．如图，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX
上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝___________，△ABC与△APQ全等．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．12．如图，已知点 是 的中点， ∥ ，且 ．
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）若 ，求∠B的度数．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别
为D，E．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝ cm．
14．在 中， 于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．
（1）求证： ；（2）若 ，则 的度数为 ．
【易错点2全等三角形“手拉手”旋转模型易错】如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠DCE=90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系，位置关系．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=13，DE=10，当A、E、D三点在直线上
时，请直接写出AD的长．
【变式训练】
二、选择题
1．如图所示，将 绕点O按逆时针方向旋转 后得到 ，若 ，则 的度
数是（ ）．A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接
BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
3．如图所示的正方形 中，点 在边 上，把 绕点 顺时针旋转得到 ，
．旋转角的度数是（ ）
A．110° B．90° C．70° D．20°
4．如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第
19秒时，点O的对应点坐标为（ ）
A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4）5．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转分别交
AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE="CF" ②EC+CF= ③DE="DF" ④若△ECF的面积为一个
定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
6．如图，将 绕着直角顶点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，若 ，
则 __________度．
7．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺
时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝_____．
8．如图，已知 中， ， ，将 绕点 顺时针方向旋转60°到
的位置，连接 ，则 的长为______．9．如图，Rt ABC中， AB=AC=3，AO=1．若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点
运动过程中，线段为OE的最小值为_____________．
10．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△ABC ，AB交AC于点E，
1 1 1
AC 分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②AE=CF，③DF=FC，④AD =CE，
1 1 1
⑤AF=CE，其中正确的是________(写出正确结论的序号)
1
三、解答题
11．如图， 中，点 在 边上， ，将线段 绕点 旋转到 的位置，使得
，连接 ， 与 交于点
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数.12．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠BAC＝30°）按图①的方式放置，固定三角板
1 1
ABC，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与
1 1
AC交于点E，AC与AB 交于点F，AB与AB 交于点O．
1 1 1 1 1
（1）求证：△BCE≌△BCF.
1
（2）当旋转角等于30°时，AB与AB 垂直吗？请说明理由．
1 1
13．如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段
AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段
AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．
14．如图（1），已知 中， ， ； 是过 的一条直线，且 ， 在
的异侧， 于 ， 于 ．
（1）求证： ；
（2）若直线 绕 点旋转到图（2）位置时（ ），其余条件不变，问 与 ， 的数
量关系如何？请给予证明．
（3）若直线 绕 点旋转到图（3）位置时（ ），其余条件不变，问 与 ， 的数
量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线 在不同位置时 与 ， 的位置关系．【易错点3全等三角形中动点问题易错】如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC
＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时
间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段
PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不
变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【变式训练】
三、选择题
1．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，
调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角
平分仪的画图原理是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．如图已知 中， ， ， ，点 为 的中点．如果点 在
线段 上以 的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．若点 的
运动速度为 ，则当 与 全等时， 的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
3．如图，两座建筑物 ， 相距160km，小月从点 沿BC走向点C，行走ts后她到达点 ，此时她
仰望两座建筑物的顶点 和 ，两条视线的夹角正好为 ，且 ．已知建筑物 的高为 ，
小月行走的速度为 ，则小月行走的时间 的值为（ ）
A．100 B．80 C．60 D．50
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在BC边上，BD= DC，∠BED=∠CFD=∠BAC，若
S =30，则阴影部分的面积为（ ）
△ABC
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题5．如图，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AB=6，BC=8，CD=2，点P为BC边上一动点，当BP＝________时，
形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
6．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8cm，AC=4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，
以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，
当点E运动_________秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．
7．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的
中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D
点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
8．如图，等边三角形△ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连
接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，连接EF，则EF的最小值为_____．三、解答题
9．已知，如图，△ABC中，AB=AC，动点D、E、F在AB、BC、AC上移动，移动过程中始终保持
BD=CE，∠DEF=∠B，请你分析是否存在始终与△BDE全等的三角形，并说明理由．
10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段
BC上以5cm/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP
全等？11．如图，已知CA＝CB，点E，F在射线CD上，满足∠BEC＝∠CFA，且∠BEC＋∠ECB＋∠ACF＝
180°.
(1)求证：△BCE≌△CAF；
(2)试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．
12．如图，有两根竹杆AC、BD相距18米，AC=6米，AC⊥AB，DB⊥AB，现有两个动点P、Q同时从B点
出发，点P以每秒2米的速度向点D运动，点Q以每秒1米的速度向点A运动，在线段AB上有一点Q．
（包括点A和点B）
（1）当P、Q两点运动6秒后，CQ与PQ有怎样的关系?
（2）当P、Q两点运动t秒后，使以C、A、Q为顶点的三角形与以P、B、Q为顶点的三角形全等，直接
写出t的值______．
