专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 5.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用 练基础 1．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）函数 的周期､振幅､初相分别 是（ ） A． ，2， B． ， ， C． ，2， D． ，2， 【答案】C 【解析】 根据三角函数的特征即可得出选项. 【详解】 由 ， 则 ，振幅为 ， 当 时， ，即初相为 . 故选：C 2．（2021·江西新余市·高一期末（理））函数 (其中 ， )的图像如图所 示，为了得到 的图像，则只要将 的图像（ ）A．向右移 个单位长度 B．向右移 个单位长度 C．向左移 个单位长度 D．向左移 个单位长度 【答案】A 【解析】 由图中最低点纵坐标得到振幅A,利用相邻零点的距离等于四分之一周期，得到ω，由五点作图法对应的最 高点的相位求得初相φ的值，得到函数的解析式，进而利用平移变换法则得到答案. 【详解】 由函数图象可得 ，则 ，可得 . 再由五点作图法可得 ，得 ，故函数的解析式为 . 由 ， 故将函数 的图象向右平移 个单位长度可得到 的图象. 故选:A. 3．（2021·浙江高二期末）健康成年人的收缩压和舒张压一般为 和 ．心 脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中 血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式 ，其中 为血压 为时间 ，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ） A．收缩压为 B． C．舒张压为 D． 【答案】B 【解析】 通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出 ， ，利用周期公式求出 得解． 【详解】 由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为 ，舒张压为 ，所以 选项AC正确； 周期 ，知 ，所以选项B错误； 由题得 ，所以 所以选项D正确. 故选：B 4．（2022·河南高三月考（文））将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象的 一个对称中心为（ ） A． B． C． D．【答案】C 【解析】 化简函数的解析式为 ，根据三角函数的图象变换，求得平移后的解析式 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意，函数 ， 将函数的图象向左平移 个单位后，得到函数的图象的解析式为： ， 令 ，解得 ， 当 时，可得 ，所以函数 的一个对称中心为 . 故选：C. 5.（2020·天津高考真题）已知函数 ．给出下列结论： ① 的最小正周期为 ； ② 是 的最大值； ③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象． 其中所有正确结论的序号是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B【解析】 因为 ，所以周期 ，故①正确； ，故②不正确； 将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象， 故③正确. 故选：B. π π 6．（2018·天津高考真题（文））将函数y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应 5 10 的函数（ ） π π π A．在区间[− , ] 上单调递增 B．在区间[− ,0] 上单调递减 4 4 4 π π π C．在区间[ , ] 上单调递增 D．在区间[ ,π] 上单调递减 4 2 2 【答案】A 【解析】 ( π) 由函数y=sin 2x+ 的图象平移变换的性质可知： 5 ( π) π 将y=sin 2x+ 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为： 5 10 [ ( π ) π] y=sin 2 x− + =sin2x. 10 5 π π 则函数的单调递增区间满足：2kπ− ≤2x≤2kπ+ (k∈Z)， 2 2 π π 即kπ− ≤x≤kπ+ (k∈Z)， 4 4 [ π π] 令k=0可得函数的一个单调递增区间为 − , ，选项A正确，B错误； 4 4π 3π 函数的单调递减区间满足：2kπ+ ≤2x≤2kπ+ (k∈Z)， 2 2 π 3π 即kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z)， 4 4 [π 3π] 令k=0可得函数的一个单调递减区间为 , ，选项C，D错误； 4 4 本题选择A选项. f(x) Asin(x)(A0,0,||) 7．（2019·天津高考真题（文理））已知函数 是奇函数，将 y f x gx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若  3 g  2 f  gx 的最小正周期为2π，且   4   ，则   8   （ ） 2  2 2 2 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 f(x) f(0) Asin0，=k,k 0,0 因为 为奇函数，∴ ； 1 2 g(x) Asin x,T  2, 2 1 又  2  g( ) 2 2，A2，又 4 3 f( ) 2. ∴ f(x)2sin2x， 8 故选C. 8.（2021·兰州市第二中学高三月考（文））筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保， 至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆 的半径为4米，盛水筒 从点 处开始运动， 与水 平面的所成角为 ，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒 距离水面的高度 （单位：米）与时间 （单 位：秒）之间的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 有题意设 ，根据最高、最低高度，周期和初始高度，可得结果. 【详解】 设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为 ， 周期为120s， ， 最高点的纵坐标为 ， 最低点的纵坐标为 ， 所以 ，当t=0时，H=0， ， 所以 . 故选：A. 9.【多选题】（2021·重庆一中高三其他模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保， 至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位： ）（在水面下则 为负 数），若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位： ）之间的关系为 （ ， ， ）．则以下说法正确的有（ ） A． B． C． D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为 【答案】ABD 【解析】 由已知可得 的值，得到函数解析式，取 求得t的值，从而得解． 【详解】解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈， ， 则 ，故B正确； 振幅A为筒车的半径，即 ，故A正确； 由题意，t=0时，d=0， ，即 ， ，∴ ，故C错误； ， 由d=6，得 ， 得 ∴当k=0时，t取最小值为 ，故D正确． 故选：ABD． 10．【多选题】（2021·福建高三三模）已知函数 的最小正周期 为 ，则下列结论中正确的是（ ） A． 对一切 恒成立 B． 在区间 上不单调C． 在区间 上恰有1个零点 D．将函数 的图像向左平移 个单位长度，所得图像关于原点对称 【答案】AB 【解析】 由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论. 【详解】 解：∵函数 的最小 正周期为 ，∴ ， . 令 ，求得 为最大值，故有 对一切 恒成立，故A正确； 在区间 上， ，函数 没有单调性，故B正确； 在区间 上， ，函数 有2个零点，故C错误； 将函数 的图像向左平移 个单位长度，所得 的图像关于不原点对称，故D错误， 故选：AB. 练提升 TIDHNE 1．【多选题】（2021·福建师大附中高三其他模拟）如图所示，函数 ，的部分图象与坐标轴分别交于点 ， ， ，且 的面积为 ，以下结论正确的是（ ） A．点 的纵坐标为 B． 是 的一个单调递增区间 C．对任意 ，点 都是 图象的对称中心 D． 的图象可由 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的图象 向左平移 个单位得到 【答案】BC 【解析】 首先求出函数的周期，再根据 的面积，求出 的纵坐标，即可求出函数解析式，再根据正切函数 的性质一一判断即可； 【详解】 解：因为 ，所以最小正周期 ，即 ，又 的面积为 ，所以 ，所以 ，即 的纵坐标为 ，故A错误； 因为 ，所以 ，所以 ，因为所以 ，所以 ，令 ， ，解得 ， ，所以函数的单调递增区间为 ， ，故B正确； 令 ， ，解得 ， ，所以函数的对称中心为 ， ， 故C正确； 将 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，得到 ，再将函数向左平移 个单 位，得到 ，故D错误； 故选：BC   f x Asinx A0,0，   2.（2020·嘉祥县第一中学高三其他）【多选题】已知函数  2的      ,0 最大值为 2 ，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为 2 ，且 f x 的图像关于点   12  对称，则下 列结论正确的是（ ）. 5π f x x  A．函数 的图像关于直线 12 对称    2 B．当 x    6 , 6  时，函数 f x 的最小值为  2   3 2 4 f      C．若 ，则 的值为  6  5 sin4cos4 5  D．要得到函数 f x的图像，只需要将 gx 2cos2x 的图像向右平移 6 个单位 【答案】BD【解析】 f x 由题知：函数 的最大值为 2 ，所以 A 2 .  f x 因为函数 图像相邻的两条对称轴之间的距离为 2 ， T  2  T   f x 2sin2x 所以 2 2 ，  ，2， .  π   ,0 又因为 f x 的图像关于点   12  对称，       f     2sin     =0  k 所以  12  6  ， 6 ，kZ .   π  k   所以 6 ，kZ .因为 2 ，所以 6.   f x 2sin 2x   即  6  .  5  f   2sin0 2   对选项A， 12  ，故A错误.        x  , 2x   , 对选项B，   6 6  ， 6   6 2   ， π π 2 当 2x+ 6 =- 6 时， f x 取得最小值  2 ， 故B正确.    3 2 f   2sin( 2) 2cos2   对选项C， ，  6  2 5 3 cos2 得到 5. 3 sin4cos4  sin2cos2  sin2cos2  cos2 因为 5，故C错误. 对选项D，  gx 2cos2x 的图像向右平移 6 个单位得到          y  2cos2 x  2cos 2x  2sin  2x  2sin 2x           6   3 2  3  6  ， 故D正确. 故选：BD 3．【多选题】（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数 ，则下列 结论中错误的是（ ） A．点 是 的一个对称中心点 B． 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度得到 C． 在 上单调递增 D． 是方程 的两个解，则 【答案】BCD 【解析】 首先利用三角恒等变化将函数化为一个角的一种函数形式即 ，然后根据三角函数的性 质进行判断. 【详解】对于A：令 ，解得 ， 当 时， ，所以点 是 的一个对称中心点，故A正确； 对于B： 的图象向右平移 个单位长度得到的图象的函数解析式为 ，所以平移得到的图象不是 的图象，故B错误； 对于C：当 时， ，而函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，故C错误； 对于D：令 ，解得 或 ， 即 或 ，所以 ，故D错误. 故选：BCD. 4．（2021·北京石景山区·高一期末）设 ，其中 ， ，若对一切 恒成立，则对于以下四个结论： ① ； ② ； ③ 既不是奇函数也不是偶函数； ④ 的单调递增区间是 ． 正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）． 【答案】①③ 【解析】 利用辅助角公式可得 且 ，根据题设不等式恒成立可得 ，再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误. 【详解】 由题设， 且 ， ∵ 对一切 恒成立， ∴ ，即 ，则 , ① ，正确； ② ，而，所以 ，错误； ③ ，故 ，即 是非奇非偶函数，正确； ④因为 在 上单调递增，所以 ，令 ，则 等价于 上 单调递增，错误； 故答案为：①③ 5．（2021·浙江嘉兴市·高三月考）已知平面单位向量 ， 满足 ， ，记 为向量 与 的夹角，则 的最小值是______． 【答案】 【解析】 设 ， ， ，由 可得 点在直线 上 运动，由 可得 点在直线 上运动，即 点是 与 的交点，然后过点 作 交 于点 ，可得 ，然后向量 与 的夹角 为角 ，在 中， 由正弦定理可得 ，然后利用三角函数的单调性可求出答案.【详解】 如图所示，设 ， ， 因为 ，所以 所以 点在直线 上运动， 又因为 ，所以 点在直线 上运动， 故 点是 与 的交点． 利用相似可知 ，过点 作 交 于点 所以 ，故点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆． 又因为向量 与 的夹角 为角 ， 在 中， ，由正弦定理可得 所以 因为 与 都单调递增， 所以当 时 最大，此时 ，所以 的最大值为 6．（2021·浙江高二期末）将函数 的图像向右平移 个单位，再把每个点横坐标扩大为原来 的2倍（纵坐标不变），得到函数 ，则 的解析式_________，若对于任意 ，在 区间 上总存在唯一确定的 ，使得 ，则m的最小值为________． 【答案】 【解析】 利用三角函数图象的平移可得第一空，通过解析式画出函数 的图象，结合条件“对于任意 ，在区间 上总存在唯一确定的 ，使得 ”，求出 的取值范围，进而确定 的最小值． 【详解】 函数 的图像向右平移 个单位得到 ，再把每个点横坐标扩 大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 ，则 ． 画出其图象如图，由图可知，对于任意 ，在区间 上总存在唯一确定的 ，使得 ， 的取值范 围为 ． 所以 的最小值为 ． 故答案为： ； ． fxsin2xcos2x2 3sinxcosxxR 7．（2017·浙江高考真题）已知函数 2 f    3  （I）求 的值 fx （II）求 的最小正周期及单调递增区间.  2  +k， +k kZ fx   6 3   【答案】（I）2；（II） 的最小正周期是 ， . 【解析】 2 3 2 1 sin  cos  3 2 3 2 （Ⅰ）由 ， ，2  3 2  1 2 3  1 f           2 3      3   2   2 2  2 ． 2 f 2    3  得 ． cos2xcos2xsin2x sin2x2sinxcosx （Ⅱ）由 与 得 f xcos2x 3sin2x ．   2sin 2x    6  ． f x  所以 的最小正周期是 ． 由正弦函数的性质得   3 2k2x  2k,kZ 2 6 2 ，  2 k x k,kZ 6 3 解得 ，  2  k, k ，kZ f x  6 3   所以， 的单调递增区间是 ． 8．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一 般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 （1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数 ， ，画出函数图象，并求出函数解析式. （2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底 与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？参考数据： 【答案】（1）作图见解析， ；（2）该船在2：00或14：00点可以进入港口， 在港口可以停留2个小时. 【解析】 （1）由所给数据描点成图即可，可利用图象所过最高点求出 即可； （2）由题意知货船需要的安全水深为 米，解 即可求解. 【详解】 （1） 由图象可知 ， ， 则有 又因为 时取最大值6.5，可得 ， 所以 （2）货船需要的安全水深为 米， 所以当 时就可以进港.令 ， 得 得 ， 即 ， 当 时， ；当 时， ， 所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时. 9．（2021·天津高二期末）已知函数 ， （1）求函数 的定义域和最小正周期； （2）若将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，然后再向右平移 ( ) 个单位长度，所得函数的图象关于 轴对称，求 的最小值. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 （1）结合正切型函数求定义域即可求出定义域，对函数化简整理结合周期公式即可求出最小正周期； （2）根据平移伸缩变换求出变换后的解析式，然后结合函数图象的性质即可求出结果. 【详解】 （1）因为 ，即 ，所以函数 的定义域所以函数 的最小正周期 ， （2）因为将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变， 所以 ， 因为又向右平移 ( )个单位长度， 所以 ， 又因为平移后函数的图象关于 轴对称，所以 ，即 ，所以当 时， 取得最小值，此时 ， 所以 取得最小值为 . 10．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数 ， ． (1)若 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个单位，得到的图象在 上单 调递增 ，求 的最大值； (2)若函数 在 内恰有3个零点，求 的取值范围． 【答案】(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）． 【解析】 (1) 把函数 通过图像变换变为 ，然后根据已知单调区间求 的最大值； (2) 利用函数 ( )和 ( )的图象进行分类讨论来解决函数零点 问题. 【详解】 (1) 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个单位得到函数 ， 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， 又因为得到的图象在 上单调递增，所以 ，解 ， 所以 的最大值为 . (2) ， 令 ， 因为 ，所以 ， ， 所以 ， ， 令 ，显然 不是其方程的解，所以得 ， ， 画出函数 和函数 的图象，如下图， 则当 时，对应的 ，而当 时，对应的 只有一个解，不满足题意； 当 时，此时没有 的值对应，所以此时无解，不满足题意； 当 时，对应的 ，而当 时，对应的 有两个解，不满足题意； 当 时，对应的 ， ，而此时对应的 只有两个解，不满足题意； 当 时，令 ，得 或 ，此时对应的 ， ，而当对应的 时，对应一个 的值，而当 时对应两个 的值，所以此时有三个解， 满足题意； 当 时，对应的 ，而此时 对应的 只有一个解，不满足题意； 故 的取值范围为 . 练真题 TIDHNE 1．（2021·全国高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不 变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式； 解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析 表达式. 【详解】 解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象， 再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象， 根据已知得到了函数 的图象，所以 ， 令 ,则 , 所以 ,所以 ； 解法二：由已知的函数 逆向变换， 第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象， 即为 的图象，所以 .故选：B. 2．（2021·全国高考真题（文））已知函数 的部分图像如图所示，则 _______________. 【答案】 【解析】 首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可. 【详解】 由题意可得： ， 当 时， ， 令 可得： ， 据此有： . 故答案为： .3.（2021·全国高考真题（理））已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为________． 【答案】2 【解析】 先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小正整数 或验证数值可得. 【详解】 由图可知 ，即 ，所以 ； 由五点法可得 ，即 ； 所以 . 因为 ， ； 所以由 可得 或 ；因为 ，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ， 解得 ，令 ，可得 ， 可得 的最小正整数为2. 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的最小正整数为2. 故答案为：2. 4．（2020·江苏省高考真题）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】 【解析】 当 时 故答案为： π 5. （2017·北京高考真题（文））已知函数f(x)=√3cos(2x− )−2sinxcosx. 3 （I）求f(x)的最小正周期；π π 1 （II）求证：当x∈[− , ]时，f (x)≥− ． 4 4 2 2π 【答案】（1）T= =π（2）见解析 2 【解析】 √3 3 1 √3 π （Ⅰ）f(x)= cos2x+ sin2x−sin2x= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ). 2 2 2 2 3 2π 所以f(x)的最小正周期T= =π. 2 π π （Ⅱ）因为− ≤x≤ ， 4 4 π π 5π 所以− ≤2x+ ≤ . 6 3 6 π π 1 所以sin(2x+ )≥sin(− )=− . 3 6 2 π π 1 所以当x∈[− , ]时，f(x)≥− . 4 4 2 6.（2021·浙江高考真题）设函数 . （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 在 上的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】 （1）由辅助角公式得 ，则 ， 所以该函数的最小正周期 ; （2）由题意， ， 由 可得 ， 所以当 即 时，函数取最大值 .