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期中押题培优 02 卷
（考试范围：第 1-3 章）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）在实数0、0.5、 、 、 、 中，无理数的个数有
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
【解答】解：无理数有 ， ，共两个，
故选： ．
2．（3分）如图：图形 的面积是
A．225 B．144 C．81 D．无法确定
【解答】解：由勾股定理得， 的面积 ．
故选： ．
3．（3分）直角三角形的斜边为 ，两直角边之比为 ，那么这个直角三角形的周长为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意设直角边分别为 与 ，由斜边为 ，
根据勾股定理得： ，
整理得： ，
解得： ，
两直角边分别为 ， ，
则这个直角三角形的周长为 ．
故选： ．4．（3分）点 在第四象限，且到 轴的距离为3，则 的值为
A． B． C．1 D．2
【解答】解： 点 在第四象限，且到 轴的距离为3，
点 的横坐标是3；
，
解答 ．
故选： ．
5．（3分）在 中，下面条件不能构成直角三角形的是
A．9，12，15 B．5，12，13
C． D．1，2，
【解答】解： 、 ，能构成直角三角形；
、 ，能构成直角三角形；
、 ，
，
是锐角三角形，故不是直角三角形；
、 ，能构成直角三角形．
故选： ．
6．（3分）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 与 不能合并，所以 选项错误；
、2与 不能合并，所以 选项错误；
、原式 ，所以 选项错误；
、原式 ，所以 选项正确．故选： ．
7．（3分）下列函数中，自变量取值范围是 的是
A． B． C． D．
【解答】解： ． 中 ，此选项不符合题意；
． 中 ，此选项不符合题意；
． 中 可取全体实数，此选项不符合题意；
． 中 ，此选项符合题意；
故选： ．
8．（3分）有一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是
A．5 B．5或 C． D．
【解答】解：当4为斜边时，第三边为 ；
当4不是斜边时，第三边长为 ，
则第三边长是5或 ．
故选： ．
9．（3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部
处，旗杆折断之前的高度是
A． B． C． D．
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为 ，旗杆离地面 折断，且旗杆与地面
是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为 ，
所以旗杆折断之前高度为 ．
故选： ．
10．（3分）若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
故选： ．
11．（3分）如图，图①是一个对角线长分别是6和8的菱形，将其沿对角线剪成四个全等的三角
形，把这四个三角形无重叠地拼成如图②所示的大正方形，则图②中小正方形的面积为
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】解： 图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
菱形的面积 ，
菱形的边长 ，
图2中间的小四边形的面积 ．
故选： ．
12．（3分）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，
甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板．
甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得 ．
乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得 ．下列说法正确的是
A．甲的分割方式不正确
B．甲的分割方式正确， 的值求解不正确
C．乙的分割方式与所求 的值都正确
D．乙的分割方式正确， 的值求解不正确
【解答】解：如图，
原来图形的面积 ，
拼剪后的正方形的边长为 ，
如图2中，在 中， ，
甲的分割方法正确，计算也正确，
如图3中．由 ，
，
，
，
乙的分割方法正确，计算错误，
故选： ．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）平方根等于本身的数是 0 ，立方根等于本身的数是 ．倒数等于本身的数是
．
【解答】解：平方根等于本身的数是0，立方根等于本身的数是0， ，倒数等于本身的数是 ，
故答案为：0，0和 ， ．
14．（3分）如图1，数轴上点 所表示的数为1，点 ， ， 是 的正方形网格上的格点，
以点 为圆心， 长为半径画圆交数轴于 ， 两点，则 点所表示的数为 ．（可
以用含根号的式子表示）
【解答】解：由勾股定理可得， ，
则 ，
点 表示的数是1，
，
点所表示的数为 ．
故答案为： ．
15．（3分）在下列函数中， 是自变量， 是因变量，则一次函数有 ①③④ ，正比例函数有
．（将代号填上即可）① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
【解答】解：①是一次函数，不是正比例函数；
②是二次函数
③是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数；④ 、是一次函数．
⑤既不是正比例函数也不是一次函数．
故答案为：①③④，③．
16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ， ， ， ，
按如图所示的方式放置，其中点 ， ， ， ， 均在一次函数 图象上，
点 ， ， ， ， 均在 轴上．若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐
标为 ．
【解答】解： 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
正方形 边长为1，正方形 边长为2，
的坐标是 ， 的坐标是 ，
代入 得 ，
解得： ，
直线的解析式是： ，点 的坐标为 ，
在直线 中，令 ，则 ；
，
正方形 边长为4，
的横坐标是： ，
的纵坐标是： ；
故答案为： ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．（6分）计算
① ；
② ．
【解答】解：①原式；
②原式
．
19．（6分）我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即 的
整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题：
（1） 的小数部分是 ， 的小数部分是 ．
（2）若 是 的整数部分， 是 的小数部分，求 的立方根．
【解答】解：（1） ．
的整数部分是3，小数部分是 ．
．
．
的整数部分是2，小数部分是 ．
故答案为： ， ．
（2） ， ．
， ，
，
．
的立方根等于2．20．（7分）如图，在长方形 中， ， ，点 为 上一点，将 沿
折叠，使点 落在长方形内点 处，连接 ，且 ．
（1）求证： ．
（2）求 的长．
【解答】（1）证明： 将 沿 折叠，使点 落在长方形内点 处，
，
，
是直角三角形，
；
（2）解：由折叠的性质得： ， ，
又 ，
，
点 ， ， 在一条直线上，
四边形 是矩形，
， ， ，
设 ，则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ．
解得： ．
．
21．（7 分）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高 ，水深为
，在水面上紧贴内壁 处有一鱼饵， 在水面线 上，且 ；一小虫想从鱼
缸外的 点沿壁爬进鱼缸内 处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）【解答】解：如图所示作点 关于 的对称点 ，连接 交 与点 ，小虫沿着
的路线爬行时路程最短．
在直角△ 中， ， ，
．
最短路线长为 ．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
， ，点 是第一象限
内一点，点 是第三象限内一点
（1）求 的取值范围；
（2）①以 ， ， 为顶点构造如图①所示的长方形，面积记为
；以 ， ， 为顶点构造如图②所示的长方形，面积记为
，则 ； （用含 的式子表示）；②若想在构造的两个长方形中选择一个面积较大的，你认为应该如何选？
【解答】解：（1） ，且 ，解得 ；
（2）① ， ，则 ；
， ，则 ；
故答案为 ， ；
（3） ，
当 ， 时， ，则选择以 ， ， 为顶点构造如图①所示的长方形；
当 ， 时， ，则选择两个都一样；
当 ， 时， ，则选择以 ， ， 为顶点构造如图②所示的长方形．23．（10分）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为 ， ，斜边为
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明： ；
（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，
请写出证明过程；
（3）当 ， 时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，
两直角边 ， 分别与 轴、 轴重合（如图4中 的位置）．点 为线段 上一点，将
沿着直线 翻折，点 恰好落在 轴上的 处．
①请写出 、 两点的坐标；
②若 为等腰三角形，点 在 轴上，请直接写出符合条件的所有点 的坐标．
【解答】解：（1）
．
（2）连接 ，如图：
，
，
，
．
（3）①设 ，则 ，又 ，
根据翻折可知：
， ，
．
在 中，根据勾股定理，得
，
解得 ．
， ．
答： 、 两点的坐标为 ， ．
②如图：
当点 在 轴正半轴上时，
，设 ，则 ，解得 ，
， ， ；
， ， ，
， ；
当点 在 轴负半轴上时，
， ，
；
， ，
，
， ．
答：符合条件的所有点 的坐标为： ， 、 ， ；、 、 ， ．
