文档内容
8.5 空间向量及其应用
思维导图
知识点总结
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
(或平行向量) 的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使
b＝ λ a .
(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存
在有序实数对(x，y)，使p＝ x a ＋ y b .
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 e ，e ，e 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的
1 2 3
有序实数组(x，y，z)，使得p＝ x e ＋ y e ＋ z e .
1 2 3
3.空间向量的数量积
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量 a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记
作a·b，即a·b＝ | a | | b |cos 〈 a ， b 〉 .
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x ，y ，z )，b＝(x ，y ，z ).
1 1 1 2 2 2
向量表示 坐标表示
数量积 a·b x x ＋ y y ＋ z z
1 2 1 2 1 2
共线 b＝λa(a≠0，λ∈R) x ＝ λ x ， y ＝ λ y ， z ＝ λ z
2 1 2 1 2 1
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) x x ＋ y y ＋ z z ＝ 0
1 2 1 2 1 2
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l ，l 的方向向量分 l 1 ∥l 2 e 1 ∥e 2 e 1 ＝λe 2 (λ∈R)
1 2
别为e
1
，e
2 l ⊥l e ⊥e e · e ＝ 0
1 2 1 ⇔2 1 2
直线l的方向向量为e，平 l∥α e⊥n e · n ＝ 0
⇔
面α的法向量为n，l⊄α
l⊥α e∥n e＝λn(λ∈R)
⇔
平面α，β的法向量分别 α∥β n 1 ∥n 2⇔ n 1 ＝λn 2 (λ∈R)
为n
1
，n
2 α⊥β n ⊥n n · n ＝ 0
1 ⇔2 1 2
[常用结论]
⇔
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任
意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，
O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合
律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用MN＝xAB＋yAC证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.
典型例题分析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向一 空间向量的线性运算及共线、共面定理
1 (1)(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有( )
A.AB－CB＝AC B.AC′＝AB＋B′C′＋CC′
C.AA′＝CC′ D.AB＋BB′＋BC＋C′C＝AC′
答案 ABC
解析 如图，作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′，可得AB－CB＝AB＋BC＝AC，则A正确；
AB＋B′C′＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝AC′，则B正确；C显然正确；
AB＋BB′＋BC＋C′C＝AB＋BC＝AC，则D不正确.
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若AB，CD共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点 O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点共
面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C
三点共线的充要条件
答案 CD
解析 由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量 a，b的方向相反，此时向量 a，b共线，反之，当向量
a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点 O，若OP＝OA＋OB＋OC，因为＋＋＝1，可得
P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－
λ，可得PA－PC＝λ(PB＋CP)，即CA＝λCB，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即 λ＋μ
＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】感悟提升 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向
量解决立体几何问题的基本要求.
(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵
活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.
2.(1)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.
①MP＝xMA＋yMB.
②对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB或OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)即可.
考向二 空间向量的数量积及应用
2 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD
中各棱的中点，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，试采用向量法解决下列问题：
(1)求EF的模长；
(2)求EF，GH的夹角.
解 (1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，
AB＝a，AC＝b，AD＝c，
所以BE＝BC＝(AC－AB)＝(b－a)，AF＝AD＝c，
所以EF＝EB＋BA＋AF＝－(b－a)－a＋c＝(c－a－b)，
所以|EF|2＝(c－a－b)2＝(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)
＝(1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°)＝，
故|EF|＝.
(2)在正四面体ABCD中，EF＝(c－a－b)，|EF|＝.
同理，GH＝(b＋c－a)，|GH|＝.
所以cos〈EF，GH〉＝＝＝[(c－a)2－b2]
＝(c2＋a2－2c·a－b2)＝(1＋1－2×1×1×cos 60°－1)＝0，
所以EF与GH的夹角为90°.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】感悟提升 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和
〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使 a·b计算
准确.
3. 如图所示，四棱柱ABCD－A B C D 中，底面为平行四边形，以顶点 A为端点的三条棱长
1 1 1 1
都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC 的长；
1
(2)求BD 与AC夹角的余弦值.
1
解 (1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴|AC |＝，即AC 的长为.
1 1
(2)∵BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，
∴|BD1|＝，|AC|＝，
BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈BD1，AC〉＝＝.
∴AC与BD 夹角的余弦值为.
1
4.(教材改编)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN
上，且MN＝ON，AP＝AN，则OP＝________(用向量OA，OB，OC表示).
答案 OA＋OB＋OC
解析 OP＝OA＋AP＝OA＋AN
＝OA＋(ON－OA)＝OA＋ON－OA
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝OA＋＝OA＋OB＋OC.
考向三 利用空间向量证明(判断)平行与垂直
5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，
AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).
(1)向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，
故BE·DC＝0，所以BE⊥DC.
(2)因为AB⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥PA，PA∩AD＝⊂ A，PA，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
⊂
所以向量AB＝(1，0，0)为平面PAD的一个法向量，而BE·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以BE⊥AB，
又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知平面PAD的法向量为AB＝(1，0，0)，向量PD＝(0，2，－2)，DC＝(2，0，0)，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.
且n·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以n⊥AB.
所以平面PCD⊥平面PAD.
感悟提升 1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用
垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).
2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关
定理.
6.
(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A B C D ，M，N分别是A D，D B的中点，则(
1 1 1 1 1 1
)
A.直线A D与直线D B垂直，直线MN∥平面ABCD
1 1
B.直线A D与直线D B平行，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
C.直线A D与直线D B相交，直线MN∥平面ABCD
1 1
D.直线A D与直线D B异面，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
答案 A
解析 法一 以点D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间
1
直角坐标系(图略)，
设AB＝2，则A (2，0，2)，D(0，0，0)，D (0，0，2)，B(2，2，0)，
1 1
所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，
所以A1D＝(－2，0，－2)，D1B＝(2，2，－2)，
MN＝(0，1，0)，
所以A1D·D1B＝－4＋0＋4＝0，
所以A D⊥D B.
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又直线A D与D B是异面直线，
1 1
所以直线A D与D B异面且垂直，故B，C不正确；
1 1
因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以MN·n＝0×0＋0×1＋1×0＝0，MN⊥n，
所以MN∥平面ABCD，故A正确；
设直线MN与平面BB D D所成的角为θ，
1 1
因为平面BDD B 的一个法向量为a＝(－1，1，0)，
1 1
所以sin θ＝|cos〈MN，a〉|＝＝＝，
所以直线MN与平面BB D D不垂直，故D不正确.故选A.
1 1
法二 连接AD (图略)，则易得点M在AD 上，且M为AD 的中点，AD ⊥A D.
1 1 1 1 1
因为AB⊥平面AA D D，A D 平面AA D D，所以AB⊥A D，
1 1 1 1 1 1
又AB∩AD
1
＝A，AB，AD
1
平⊂面ABD
1
，
所以A
1
D⊥平面ABD
1
，又⊂ BD
1
平面ABD
1
，显然A
1
D与BD
1
异面，所以A
1
D与BD
1
异面且垂
直.
⊂
在△ABD 中，由中位线定理可得MN∥AB，
1
又MN⊄平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD.
⊂
易知直线AB与平面BB D D成45°角，
1 1
所以MN与平面BB D D不垂直.
1 1
所以选项A正确.
基础题型训练
一、单选题
1．若向量 ， ，且 与 的夹角的余弦值为 ，则实数 等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据空间向量数量积的坐标计算方法即可计算.
【详解】由题知， ，
解得 ．
故选：B.
2．已知点 ， ， ， ，若 ， ， ， 四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量共面定理，可设 ，由向量的坐标表示，解方程可得 的值．
【详解】解：由点 ，1， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
可得 ，1， ， ，1， ， ， ， ，
若 ， ， ， 四点共面，可设 ，
则 ，解得 ，所以 ．
故选：B
3．已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果.
【详解】根据题意， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 上的投影向量可为
故选：A.
4．平面α的法向量为 ＝(1,2，－2)，平面β的法向量 ＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为( )
A．－2 B．－8 C．0 D．－6
【答案】C
【分析】因为 为共线向量，从而 ，故 ．
【详解】因为 共线，故存在实数 使得 ，故 ，所以 ， ，故选C．
【点睛】空间向量中有三个定理：
（1）共线向量基本定理：如果 为共线向量，则存在实数 使得 ．
（2）共面向量基本定理： 为不共线向量，若 与 共面，则存在实数 使得 ，该定理
就是平面向量基本定理．
（3）空间向量基本定理：如果 为不共面向量，则对于空间的任意向量 ，存在唯一的有序实数对
，使得 ．该定理和平面向量基本定理有类似的应用即可把空间向量的问题基底化．
5．如图所示，已知 ， ， 三点不共线， 为平面 内一定点， 为平面 外任一点，则下列能
表示向量 的为（ ）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平面内向量的线性运算可得 ，再根据 求解即可.
【详解】根据平行四边形法则由图可得 ，
∴ ，
故选：D
6．如图，棱长为 的正四面体 的三个顶点 分别在空间直角坐标系的坐标轴 上，
则定点 的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】棱长为 的正四面体 可以放到正方体中，已知D点、O点的连线是正方体的体对角线，
故D点坐标为 ，选A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
7．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 或
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．在正方体 中，
D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则
【答案】BCD
【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.
【详解】对于选项A：若 ，即向量 与 的模相等，但方向不确定，故A错误；
对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；
对于选项C：在正方体 中， 与 大小相等，方向相同，故 ，所以C正确；
对于选项D：若 ， ，则 方向相同大小相等，故 ，若 中有零向量结论也正确，
所以D正确.
故选：BCD.
8．已知 ， ， 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， 两两共面，则 ， ， 共面
C．若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
D．对于空间的任意一个向量 ，总存在实数 ， ， ，使得
【答案】AC
【分析】直接利用共线向量和共面向量，向量的基底等基础知识和相关的定义判断四个命题的结论．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 ， ， 都是非零向量，当 且 时，一定有 ，故A正确；
若 ， ， 两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则 ， ， 不一定共面，故B错误；
若 ， ， 是空间的一组基底，则 ， ， 不共面，也可以是空间的一组基底，故C正确；
对于空间的任意一个向量 ，总存在实数 ， ， ，使得 ，需要 不共面，故D错误.
故选：AC．
三、填空题
9．在正方体 中，给出以下向量表达式：
① ； ② ；
③ ； ④ .
其中能够化简为向量 的是______________（填序号）.
【答案】①②
【分析】根据空间向量的加法、减法运算的几何意义，即可得答案；
【详解】①中， ；
②中， ；
③中， ；
④中， .
故答案为：①②.
【点睛】本题考查空间向量的加法、减法运算的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
10．已知向量 ，若 ，则 ______.
【答案】8
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由题意可知， ，可得到 的值.
【详解】 ，
，
，解得： ，
.
故答案为：8
【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础知识的考查，基础题型.
11．在空间直角坐标系 中， 轴上有一点 到已知点 和点 的距离相等，则点
的坐标是______．
【答案】
【分析】由题设及空间两点距离公式列方程求M坐标即可.
【详解】设 ，由题意得 ，解得 ，
所以 的坐标是 ．
故答案为：
12．已知空间三点坐标分别为 ， ， ，点 在平面 内，则实数 的
值为________．
【答案】
【分析】根据题意,存在实数 使得等式 成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可.
【详解】 点 在平面 内,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】存在实数 使得等式 成立,
,
，解得 .
故答案为：
四、解答题
13．已知 ，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】根据点的坐标，得到 且 ，即可求解.
【详解】由题意，点
可得向量 ， ，
可得 且 ，所以四边形 为平行四边形．
14．已知空间两个动点 ， ，求 的最小值．
【答案】2
【分析】由空间向量模的坐标运算求得表达式，然后由二次函数性质得最小值．
【详解】由已知
，易知 时， ．
15．已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量． ， ＝k ， ＝k ．
求证：四点E，F，G，H共面.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】证明见解析.
【分析】根据 便可得到 ，从而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，这
便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；
【详解】证明：如图，
∵ ；∴ ；
EF∥AB，且EF＝|k|AB；
同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；
∴EF∥HG，且EF＝HG；
∴四边形EFGH为平行四边形；
∴四点E，F，G，H共面.
【点睛】本题考查点线面的位置关系，属于基础题.证明平行四边形是证明四点共面的常用方法.
16．如图，三棱柱 中， ， ， 平面ABC， ，
，D，E分别是AC， 的中点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求DE与平面 夹角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判断定理，即得；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得向量 和平面
的法向量，由向量的数量积公式计算即得.
【详解】（Ⅰ） 平面ABC， 平面ABC， .
， .
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 .
（Ⅱ）以C为坐标原点，以 为x轴正方向， 为y轴正方向，垂直平面ABC向上的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则 .
所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得 ，令 ，得 ，故 .
设直线DE与平面 所成的角为 ，
则 .
故DE与平面 夹角的正弦值为 .
【点睛】本题考查空间线面的位置关系，向量法求线面角，考查空间想象能力，运算求解能力以及数形结
合思想.
提升题型训练
一、单选题
1．如图，空间四边形OABC中， ，点M是OA的中点，点N在BC上，且 ，
设 ，则x，y，z的值为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 表示为以 为基底的向量，由此求得 的值.
【详解】依题意
，所以 .
故选：C.
【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.
2．若 构成空间的一个基底，则一定可以与向量 ， 构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．以上都不行
【答案】C
【分析】根据题意结合空间向量的共面定理即可求解.
【详解】解：对A，因为 ，所以向量 与向量 ， 共面，故A错误；
对B，因为 ，所以向量 与向量 ， 共面，故B错误；
对C，因为 构成空间的一个基底，所以向量 与 和 不共面，所以向量 与向量 ， 构成
空间的一个基底，故C正确；
对D，因为C正确，故D错误.
故选：C.
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由 的坐标可得 ， ，两向量互相垂直则
，即 ，解得 ．
考点：两向量垂直坐标满足的条件．
4．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， ，则下列数量积最大
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据线面垂直的性质得 ， ， ， ，根据向量数
量积的定义逐一计算，比较可得答案.
【详解】解：设 ，因为 平面 ，所以 ， ， ， ，
又底面 是正方形，所以 ， ，
对于A， ；
对于B，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
对于C， ；
对于D， ，
所以数量积最大的是 ，
故选：B.
5．已知 、 、 、 为空间中不共面的四点，且 ，若 、 、 、 四点共面，
则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间共面向量的基本定理可设 ，利用空间向量的线性运算与空间向量的基
本定理可得出 、 、 的方程组，即可解得实数 的值.
【详解】因为 、 、 、 四点共面，则存在 、 ，使得 ，
则 ，
所以， ，
所以， ，三个等式全加可得 ，解得 .
故选：C.
6．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出如图的图形，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判别．
【详解】解：如图，作以 为邻边的平行四边形 ，以 为邻边的平行四边形 ，以
为邻边的平行四边形 ，连接 ，
因为 两两互相垂直，所以平行四边形 ， ， 都为矩形，
对于A，因为AB，AC，AD两两互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一点 ，所以 平面 ，所以
因为 平面 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以A正确，
对于B，因为 ， ，四边形 为矩形，
所以 ，即 ，所以B正确，
对于C，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 与 不一定垂直，所以 不一定等于零，所以C错误，
对于D，因为AB，AC，AD两两互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一点 ，
所以 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面
，
所以 ，
所以 ，所以D正确，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C
二、多选题
7．已知 为正方体，则下列说法正确的有（ ）
A． ；
B． ；
C． 与 的夹角为 ；
D．在面对角线中与直线 所成的角为 的有8条
【答案】ABD
【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断.
【详解】如图所示：
A. 由向量的加法运算得 ，因为 ，所以 ，故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】正确；
B. 正方体的性质易知 ，所以 ，故正确；
C. 因为 是等边三角形，且 ，所以 ，则 与 的夹角为 ，故错误；
D. 由正方体的性质得过 的面对角线与直线 所成的角都为 ，这样有4条，然后相对侧面与之平
行的对角线还有4条，共8条，故正确；
故选：ABD
8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有
B．若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 四点共面
C．任意向量 ， ， 满足
D．已知向量 ， ，若 ，则 为锐角
【答案】ABD
【分析】根据向量共线定理判断A；根据 判断B；根据数量积的运算律判断C；根据向量夹
角公式求解判断D.
【详解】解：对于A选项，因为 ， ， 是非零向量，且满足 ， ，故存在实数 使得
，故 ，所以 ，故正确；
对于B选项， ， ， 是空间的一组基底，故 三点不共线，
，所以， 四点共面，故B选项正确；
对于C选项，因为 ， 不一定共线，故 不一定成立，故C选项错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D选项，当 与 共线且同向时，有 ，即 ，该方程组无解，即 与 不能共线且
同向，故 时， 为锐角，即 时 为锐角，故D选项正
确.
故选：ABD
三、填空题
9． 是空间四点，有以下条件：
① ； ② ；
③ ； ④ ，
能使 四点一定共面的条件是______
【答案】④
【分析】利用空间向量共面定理即可判断.
【详解】对于④ ， ，由空间向量共面定理可知 四点一定共
面，①②③不满足共面定理的条件.
故答案为：④
【点睛】本题考查空间向量共面定理，属于基础题.
10．已知向量 ， ， 是三个不共面的非零向量，且 ， ，
，若向量 ， ， 共面，则 ______．
【答案】1
【分析】根据向量共面定理设 ，用待定系数法法解出m、n、λ﹒
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为向量 ， ， 共面，所以存在实数m，n，使得 ，
则 ，
则 ，解得 ．
故答案为：1
11．已知在四面体ABCD中， ， ，则 ______．
【答案】24
【分析】由线段的空间关系有 ，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求
.
【详解】由题设，可得如下四面体示意图，
则 ，
又 ， ，
所以 .
故答案为：24
12．如图，在平行六面体 中， 与 交于 点， 在底面的射影为 点， 与底面
所成的角为 ， ， ，则对角线 的长为___________________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据题意可得 面 ， ，过点 作 于点 ，连接 ，可证明
，在直角三角形中根据边角关系可得 ， 可求出
，再将 两边平方，利用空间向量数量积的运算可求 ，进而可
得 的值，即可求解.
【详解】连接 ，由题意可知 面 ，
所以 即为 与底面所成的角，所以 ，
如图过点 作 于点 ，连接 ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
因为 ，所以 面 ，所以 ，
在 中， ，
在 中， ，即
在 中， ，
所以 ，即 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，即 ，
同理可得 ， 是 的角平分线，所以四边形 是菱形，
所以 ，所以 ，所以 ，
，
所以
，
所以 ，即对角线 的长为 ，
故答案为： .
四、解答题
13．空间向量 ， ， 不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？
【答案】可以
【分析】根据空间向量的基底的定义，即可求解.
【详解】由题意，空间向量 ， ， 不共面，可得向量 ， ， 可以构成一个空间基底 ，
所以其中任意两个向量均不平行.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．判断下列点P是否在直线l上：
(1)点 ，直线l经过 和 两点；
(2)点 ，直线l经过 和 两点．
【答案】(1)在l上
(2)不在l上
【分析】利用向量共线定理判断即可.
(1)
由题知， ，
易知 ，所以 共线，
又因为 有公共点P，所以P、A、B三点共线，即点P在直线l上
(2)
由题知， ，
记 ，则 ，显然无解
所以 不共线，即点P不在直线l上.
15．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， ， ．点
在侧棱上 ，且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求证： 平面 ；
（2）设 为 的中点，求六面体 体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）以点 为坐标原点，以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，写出各点
的坐标，以及写出相关的向量的坐标，从而得 ， ，由此证明 平面 ；（2）
六面体 体积为 ，由此能求出六面体 的体积.
【详解】（1）如图，以点 为坐标原点，以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，则
，则 ，所以
， ，所以 ， ，又 ，所以 平面 ；
（2）因为 为 的中点，所以 ，点 到平面 的距离 ，
，所以六面体 体积为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查了空间中线面垂直的证明，解答本题关键在于能利用空间向量法，通过求解相关向量，
利用向量的数量积计算判断线线垂直，进而得线面垂直.
16．已知在平行六面体 中， ， ， ，∠ BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA
＇=60°，求BD＇的长．
【答案】5
【分析】利用加减法运算得到 ，平方，利用数量积运算求得 ，开方即得所求.
【详解】如图所示：
∵ ，
∴
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
故答案为：5.
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