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微专题 1 等差数列、等比数列
[考情分析] 等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和
公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合解答题的形式考查，
属于中档题目.
考点一 等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：a=a+(n-1)d，
n 1
a=a +(n-m)d.
n m
(2)等比数列的通项公式：a=aqn-1，a=a qn-m.
n 1 n m
(3)等差数列的求和公式：
n(a +a ) n(n-1)
S= 1 n =na1+ d.
n
2 2
(4)等比数列的求和公式：
{a (1-qn ) a -a q
1 = 1 n ,q≠1,
S= 1-q 1-q
n
na ,q=1.
1
例1 (1)(2024·天津模拟)已知数列{a }是各项不为零的等差数列，S 为数列{a }的前n项和，
n n n
4S =a ·a ，则a 的值为 ( )
n n n+1 8
A.4 B.8
C.12 D.16
(2)(2023·全国甲卷)设等比数列{a }的各项均为正数，前n项和为S ，若a =1，S =5S -4，则S 等于 (
n n 1 5 3 4
)
15 65
A. B.
8 8
C.15 D.40
[规律方法] 等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a ，公差d或公比q.
1
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S =an2+bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为
n
a =pqn-1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.
n
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行
相关计算.
跟踪演练1 (1)(2024·北京模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里
关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第三
天走的路程为 ( )
A.12里 B.24里
C.48里 D.96里
(2)(2024·长沙模拟)已知等差数列 {a } 的公差为d，前n项和为S ，则“d<0”是“S -S 0 B.a =0
2 012
C.S =0 D.S ≥S
4 024 n 2 012
S 5
(2)(2024·邵阳模拟)记S 为公比小于1的等比数列{a }的前n项和，S =2， 12 = ，则S 等于 ( )
n n 3 S S 14 6
6 9
A.6 B.3
1
C.1 D.
3
[规律方法] 等差数列、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
跟踪演练2 (1)(2024·贵港模拟)已知等差数列{a }的公差不为0，a =0，给定正整数m(m>2)，使得对
n 2 024
任意的n
