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微专题 1 等差数列、等比数列
[考情分析] 等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和
公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合解答题的形式考查，
属于中档题目.
考点一 等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：a=a+(n-1)d，
n 1
a=a +(n-m)d.
n m
(2)等比数列的通项公式：a=aqn-1，a=a qn-m.
n 1 n m
(3)等差数列的求和公式：
n(a +a ) n(n-1)
S= 1 n =na1+ d.
n
2 2
(4)等比数列的求和公式：
{a (1-qn ) a -a q
1 = 1 n ,q≠1,
S= 1-q 1-q
n
na ,q=1.
1
例1 (1)(2024·天津模拟)已知数列{a }是各项不为零的等差数列，S 为数列{a }的前n项和，
n n n
4S =a ·a ，则a 的值为 ( )
n n n+1 8
A.4 B.8
C.12 D.16
(2)(2023·全国甲卷)设等比数列{a }的各项均为正数，前n项和为S ，若a =1，S =5S -4，则S 等于 (
n n 1 5 3 4
)
15 65
A. B.
8 8
C.15 D.40
[规律方法] 等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a ，公差d或公比q.
1
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S =an2+bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为
n
a =pqn-1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.
n
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行
相关计算.
跟踪演练1 (1)(2024·北京模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里
关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第三
天走的路程为 ( )
A.12里 B.24里
C.48里 D.96里
(2)(2024·长沙模拟)已知等差数列 {a } 的公差为d，前n项和为S ，则“d<0”是“S -S <S -S ”的 (
n n 3n 2n 2n n
)
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
考点二 等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有a +a =a +a =2a；对于等比数列，
m n p q k
有a a =a a
=a2
.
m n p q k
2.前n项和的性质：
(1)对于等差数列有S ，S -S ，S -S ，…成等差数列；对于等比数列有S ，S -S ，S -S ，…成等比数
m 2m m 3m 2m m 2m m 3m 2m
列(q=-1且m为偶数时除外).
(2)对于等差数列有S =(2n-1)a .
2n-1 n
例2 (1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)已知数列{a }是公差为d的等差数列，S 是其前n项和，若a <0，S
n n 1 2
=S ，则 ( )
000 2 024
A.d>0 B.a =0
2 012
C.S =0 D.S ≥S
4 024 n 2 012
S 5
(2)(2024·邵阳模拟)记S 为公比小于1的等比数列{a }的前n项和，S =2， 12 = ，则S 等于 ( )
n n 3 S S 14 6
6 9
A.6 B.3
1
C.1 D.
3
[规律方法] 等差数列、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
跟踪演练2 (1)(2024·贵港模拟)已知等差数列{a }的公差不为0，a =0，给定正整数m(m>2)，使得对
n 2 024
任意的n<m(n∈N*)，都有a +a +…+a =a +a +…+a 成立，则m的值为 ( )
1 2 n 1 2 m-n
A.4 047 B.4 046
C.2 024 D.4 048(2)(2024·衡水模拟)已知数列{a }，{b }均为等差数列，其前n项和分别为S ，T ，满足
n n n n
a +a +a
(2n+3)S =(3n-1)T ，则 7 8 9等于 ( )
n n b +b
6 10
A.2 B.3
C.5 D.6
考点三 等差数列、等比数列的判断与证明
等差数列 等比数列
a
定义法 a -a =d
n+1
=q(q≠0)
n+1 n a
n
通项法 a =a +(n-1)d a =a qn-1
n 1 n 1
中项法 2a =a +a (n≥2) a2=a a (n≥2，a ≠0)
n n-1 n+1 n n-1 n+1 n
前n项和法 S =an2+bn (a，b为常数) S =kqn-k (k≠0，q≠0，1)
n n
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2024·茂名模拟)已知数列{a }满足a =1，a =3，a =3a -2a (n∈N*).
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明：数列{a -a }是等比数列；
n+1 n
(2)求数列{a }的通项公式；
n
(3)若数列{b }满足4b 1 -1·4b 2 -1·…·4b n -1=(an+1) b n(n∈N*)，证明：{b }是等差数列.
n n
[易错提醒] (1)a2 =a a (n≥2，n∈N*)是{a }为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，
n n-1 n+1 n
还要注意各项不为0.
(2){a }为等比数列，可推出a ，a ，a 成等比数列，但a ，a ，a 成等比数列并不能说明{a }为等比数列.
n 1 2 3 1 2 3 n
(3)证明{a }不是等比数列可用特殊值法.
n
1
跟踪演练3 (2024·沧州模拟)已知数列{a }满足a = ，2a -a a =1(n∈N*).
n 1 2 n+1 n n+1
{ 1 }
(1)证明：数列 为等差数列，并求a ；
a -1 n
n
a -a
(2)令b = n+1 n，求数列{b }的前n项和T .
n a a n n
n n+1答案精析
例1 (1)D (2)C
跟踪演练1 (1)C (2)B
例2 (1)ACD (2)B
跟踪演练2 (1)A (2)A
例3 (1)证明 ∵a =3a -2a ，
n+2 n+1 n
∴a -a =2(a -a )，
n+2 n+1 n+1 n
∵a =1，a =3，
1 2
∴{a -a }是以a -a =2为首项，2为公比的等比数列.
n+1 n 2 1
(2)解 由(1)得
a -a =2n(n∈N*)，
n+1 n
∴a =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )+a
n n n-1 n-1 n-2 2 1 1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=2n-1(n≥2)，
又a =1符合上式，
1
∴a =2n-1(n∈N*).
n
(3)证明 ∵4b 1 -1·4b 2 -1·…·4b n -1=(a +1) b n，
n
∴4(b
1
+b
2
+…+b
n
)-n=2nb
n，
∴2[(b +b +…+b )-n]=nb ， ①
1 2 n n
2[(b +b +…+b +b )-(n+1)]
1 2 n n+1
=(n+1)b . ②
n+1
②-①，
得2(b -1)=(n+1)b -nb ，
n+1 n+1 n
即(n-1)b -nb +2=0， ③
n+1 n
则nb -(n+1)b +2=0. ④
n+2 n+1
④-③，得nb -2nb +nb =0，
n+2 n+1 n
即b -2b +b =0，
n+2 n+1 n
∴b -b =b -b (n∈N*)，
n+2 n+1 n+1 n
∴{b }是等差数列.
n
1
跟踪演练3 解 (1)由2a -a a =1，知a = ，
n+1 n n+1 n+1 2-a
n1 1
所以 -
a -1 a -1
n+1 n
1
1
= 1 -
-1 a -1
2-a n
n
2-a 1 1-a
n n
= - = =-1，
a -1 a -1 a -1
n n n
{ 1 } 1
所以数列 是以 =-2为首项，-1为公差的等差数列，
a -1 a -1
n 1
1
所以 =-2+(-1)(n-1)
a -1
n
n
=-n-1，所以a = .
n n+1
a -a 1 1 n+1 n+2 1 1
n+1 n
(2)方法一 因为b = = - = - = - ，
n a a a a n n+1 n n+1
n n+1 n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 n
所以T =1- + - + - +…+ - =1- = .
n 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1
a -a
n+1 n
方法二 因为b =
n a a
n n+1
1 1
= - ，
a a
n n+1
1 1 1 1 1 1
所以T = - + - +…+ -
n a a a a a a
1 2 2 3 n n+1
1 1
= - =2-(2-a )=a ，
a a n n
1 n+1
n
所以T = .
n n+1
