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微创新 圆锥曲线与其他知识的综合问题
[考情分析] 高中数学中圆锥曲线问题主要包含定点、定值、最值、存在性探索问题等，这些不同类型的
问题既能体现圆锥曲线的桥梁作用，又能体现不同的数学思想和方法.与此同时，圆锥曲线的横向联系也同
样重要，与平面向量、圆、立体几何、不等式、数列、导数等不同知识内容的交汇，能够加强各个分支知
识点之间的联系，也能提高学生解决综合性数学问题的能力.
考点一 圆锥曲线与数列的交汇问题
例1 (2024·新课标全国Ⅱ)已知双曲线C：x2-y2=m(m>0)，点P (5，4)在C上，k为常数，00)，点P 为抛物线焦点.过点P 作一条斜率为正的直
1 1
线l从下至上依次交抛物线于点A 与点B ，过点B 作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于
1 1 1
P ，A .
2 2
(1)若直线A A 的斜率为k，证明：抛物线在点B 处的切线斜率为-k；
1 2 1
(2)过点A(t∈N*，t>1)作平行于A B 的直线分别交x轴和抛物线于P ，B，过点B 作直线分别交x轴和
t 1 1 2t-1 t t
抛物线于P ，A ，且∀t∈N*，直线AB 的斜率与直线A B 的斜率互为相反数.证明：数列{|⃗P P |}为
2t t+1 t t t+1 t n n+1
等差数列.证明 (1)设A (x ，y )，B (x ，y )，A (x ，y )，
1 1 1 1 2 2 2 3 3
y - y
y - y 1 2 2p
则k = 1 2 = y2 y2 = ，
A 1 B 1 x -x 1 - 2 y + y
1 2 1 2
2p 2p
2p 2p
同理k = ，k = =k.
A 2 B 1 y + y A 1 A 2 y + y
2 3 1 3
因为k =-k ，
A B A B
2 1 1 1
2p 2p
即 =- ，所以y +y =-2y ，
y + y y + y 1 3 2
2 3 1 2
2p p
则k = =- =k.
A 1 A 2 -2y y
2 2
当y>0时，y=√2px，
√ p
所以y'= ，
2x
√ p
√ p p
所以抛物线y2=2px (p>0)在点B (x ，y )(y >0)处的切线斜率为 = y2 = =-k，得证.
1 2 2 2 2x 2 2· 2 y 2
2p
(
a2
)
(2)设A t ，a ，
t 2p t
(
b2
)
B t ，b ，t∈N*，
t 2p t
b -a ( a2 )
t t x- t 2p ( a2 )
故直线AB：y=b2-a2 2p +a= x- t +a，
t t t t t b +a 2p t
t t
2p
a b ( a b )
令y=0，则x=- t t ，故P - t t，0 ，
2p 2t-1 2p
( a b )
同理P - t+1 t，0 .
2t 2p
当n=2t时，|P P |=x -x ，
n n+1 P P
n+1 n
|P P |=x -x ，
n-1 n P P
n n-1
故|P P |-|P P |=x +x -2x
n n+1 n-1 n P P P
n+1 n-1 n
-a b -a b +2a b
=x +x -2x = t+1 t+1 t t t+1 t
P P P
2t+1 2t-1 2t 2p
a (b -b )+b (a -a )
= t+1 t t+1 t t+1 t ，
2p
当n=2t-1(t≥2且t∈N*)时，同理有|P P |-|P P |
n n+1 n-1 n
b (a -a )+a (b -b )
= t t t+1 t t t-1 ，
2p
因为k =-k =k ，
A B A B A B
t t-1 t t t+1 t
b -a b -a b -a
t-1 t t t t t+1
故b2 -a2=-b2-a2=b2-a2 ，
t-1 t t t t t+1
2p 2p 2p
整理得到b +a=-(b+a)=b+a ，
t-1 t t t t t+1
因此b +b=-2a，a +a=-2b，
t-1 t t t+1 t t
由b +b=-2a可得b+b =-2a ，
t-1 t t t t+1 t+1
故b +2b+b =-2(a+a )=4b，
t+1 t t-1 t t+1 t
因此b +b =2b，
t+1 t-1 t
即{b}为等差数列，设其公差为d.
t
而b-b =-(a -a)，
t t-1 t+1 t
故a -a=-d，其中t≥2且t∈N*.
t+1 t
2p ( a2 ) (p )
又直线A B ：y= x- 1 +a ，因为该直线过 ，0 ，
1 1 a +b 2p 1 2
1 1
2p (p
a2
)
p2
故0= - 1 +a ，解得b =- ，
a +b 2 2p 1 1 a
1 1 1
2p2
故a =-2b -a = -a ，
2 1 1 a 1
1
-4 p2 p2 3p2
所以b =-2a -b = +2a + =2a - ，
2 2 1 a 1 a 1 a
1 1 1
2p2 2p2
故a -a = -a -a = -2a ，
2 1 a 1 1 a 1
1 1
3p2 p2 2p2
而b -b =2a - + =2a - =d，
2 1 1 a a 1 a
1 1 1
故a -a =-d，所以{a}为等差数列，其公差为-d.
2 1 t
故a=a -(t-1)d，b=b +(t-1)d，
t 1 t 1
故当n=2t时，
-da -b d
|P P |-|P P |= t+1 t
n n+1 n-1 n
2p
-d(b +a )
= t t+1
2p-d[b +(t-1)d+a -td]
= 1 1
2p
-d(b -d+a )
= 1 1 ，
2p
该数为常数.
当n=2t-1(t≥2且t∈N*)时，|P P |-|P P |
n n+1 n-1 n
b d+a d
= t t
2p
d[b +(t-1)d+a -(t-1)d]
= 1 1
2p
d(b +a )
= 1 1 ，
2p
该数为常数，
而a +b +a +b -d
1 1 1 1
2p2
(
2p2
)
=2a - - 2a - =0，
1 a 1 a
1 1
故a +b =-a -b +d，
1 1 1 1
-d(b -d +a ) d(b +a )
故 1 1 1 = 1 1 ，
2p 2p
故对任意的n(n≥2且n∈N*)，|P P |-|P P |为常数，故数列{|⃗P P |}(n∈N*)为等差数列.
n n+1 n-1 n n n+1
考点二 圆锥曲线与新定义的交汇问题
x2 y2 √6
例2 (2024·南通模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆Γ： + =1(a>b>0)的离心率为 ，直线l
a2 b2 3
与Γ相切，与圆O：x2+y2=3a2相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，|AB|=2√6.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存
在，则记此最大值为d(M，N).
①若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当△PAB的面积最大时，求d(M，
N)；
②若d(M，N)，d(N，M)均存在，记两者中的较大者为H(M，N).已知H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存
在，证明：H(X，Z)+H(Y，Z)≥H(X，Y).
(1)解 因为当l垂直于x轴时，|AB|=2√6，而直线l：x=±a与Γ相切，则2√3a2-a2=2√6，解得a=√3，
√6
又椭圆Γ的离心率为 ，则椭圆Γ的半焦距c=√2，b=√a2-c2=1，
3
x2
所以Γ的方程为 +y2=1.
3(2)①解 当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
{ y=kx+m,
由
x2+3 y2=3,
消去y得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，
由直线l与椭圆Γ相切，得Δ=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0，
整理得m2=3k2+1，
|m| √3k2+1 √ 2
于是圆心O到直线l的距离d= = = 3- ∈[1，√3)，
√k2+1 k2+1 k2+1
由(1)得圆O的方程为x2+y2=9，半径为3，
1 1
则△PAB的面积为S
△PAB
≤
2
(d+3)·|AB|=
2
(d+3)·2√9-d2=√(3-d)(d+3) 3，
设f(d)=(3-d)(d+3)3，1≤d<√3，
求导得f'(d)=2(d+3)2(3-2d)，
3 3
当1≤d< 时，f'(d)>0，函数f(d)单调递增，当 7-4√3>0，
4 16
9√3
得 >√2+√6，
4
27√3
即 >3√2+3√6，
4
3
综上，d= .
2
对于线段AB上任意点E，连接OE并延长与圆O交于点F，则F是圆上与E最近的点，
3 3
当E为线段AB的中点时，EF取得最大值 ，所以d(M，N)= .
2 2
②证明 因为H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，
设点X ，X ∈X，Y ，Y ∈Y，Z ，Z ∈Z，且H(X，Z)=|X Z |，H(Y，Z)=|Y Z |，H(X，Y)=|X Y |，
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2设点Y 是集合Y中到点X 的最近点，根据对称性，不妨设H(X，Y)=d(X，Y)=|X Y |，
2 2 2 2
令点X 到集合Z的最近点为Z ，点Z 到集合Y的最近点为Y ，
2 3 3 3
因为|X Z |是集合X中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则|X Z |≥|X Z |，
1 1 1 1 2 3
因为|Y Z |是集合Y中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则|Y Z |≥|Y Z |，
1 2 1 2 3 3
因此H(X，Z)+H(Y，Z)=|X Z |+|Y Z |≥|X Z |+|Y Z |，
1 1 1 2 2 3 3 3
而在坐标平面中，|X Z |+|Y Z |≥|X Y |，又点Y 是集合Y中到点X 的最近点，则|X Y |≥|X Y |，
2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2
所以H(X，Z)+H(Y，Z)≥H(X，Y).
[规律方法] 本题涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键.
跟踪演练2 (2024·青岛模拟)在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l
x2 y2
的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E： - =1(a>0，
a2 b2
b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点
1 2
P，且与E的渐近线交于A，B两点，当PF ⊥x轴时，直线y=1为△PF F 的等线.
2 1 2
(1)求E的方程；
(2)若y=√2x是四边形AF BF 的等线，求四边形AF BF 的面积；
1 2 1 2
1
(3)设⃗OG= ⃗OP，点G的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G处的切线n为△AF F 的等线.
3 1 2
(1)解 因为当PF ⊥x轴时，直线y=1为△PF F 的等线，
2 1 2
(
b2
)
此时，P c， ，点P在直线y=1的上方，
a
b2 c
所以 -1=2，e= =2，c2=a2+b2，
a a
y2
解得a=1，b=√3，所以E的方程为x2- =1.
3
(2)解 设P(x ，y )，当m的斜率存在时，
0 0
y2
设切线m：y-y =k(x-x )，代入x2- =1得(3-k2)x2+2k(kx -y )x-(k2x2 +y2 -2kx y +3)=0，
0 0 3 0 0 0 0 0 0
故Δ=[2k(kx -y
)]2+4(3-k2)(k2x2 +y2
-2kx y +3)=0，
0 0 0 0 0 0
化简得(x2 -1)k2-2x y k+y2 +3=0，
0 0 0 0
该式可以看作关于k的一元二次方程，
Δ =4x2 y2-4(x2-1)(y2+3)=0，
1 0 0 0 0
x y
x y 0 0 3x
所以k= 0 0 =( y2 ) = 0 ，
x2-1 1+ 0 -1 y
0 3 0y y
即m的方程为x x- 0 =1，(*)
0 3
当m的斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为y=±√3x，不妨设A在B上方，
1 1
联立得x = y ，x = y ，
A x - 0 B x + 0
0 √3 0 √3
1 1
故x +x = y + y =2x ，
A B x - 0 x + 0 0
0 √3 0 √3
所以P是线段AB的中点，因为F ，F 到过O的直线距离相等，
1 2
则过O点的等线必定满足A，B到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点P，即为直线OP，
即OP的方程为y=√2x，
又P在E的右支上，
{y =√2x ,
0 0 {x =√3,
由 y2 解得 0
x2- 0=1, y =√6,
0 3 0
故P(√3，√6).
√3
3
所以y =√3x = y = =√6+3，
A A x - 0 √3x - y
0 √3 0 0
√3
-3
所以y =-√3x =- y =
B B x + 0 √3x + y
0 √3 0 0
=√6-3，
所以|y - y |=6，
A B
1
所以S = |F F |·|y - y |=2|y - y |=12.
四边形AF 1 BF 2 2 1 2 A B A B
1
(3)证明 设G(x，y)，由⃗OG= ⃗OP，所以x =3x，y =3y，
3 0 0
又点P在双曲线E上，
故曲线Γ的方程为9x2-3y2=1(x>0)，
9x 3 y y
由(*)知切线n的方程为 0x- 0 =1，
3 3
即3x x-y y-1=0.
0 0易知A与F 在n的右侧，F 在n的左侧，分别记F ，F ，A到n的距离为d ，d ，d ，
2 1 1 2 1 2 3
1 1 √3
由(2)知x = y ，y =√3· y = y ，
A x - 0 A x - 0 x - 0
0 √3 0 √3 0 √3
| 3x √3 y |
0 - 0 -1
y y
所以d = x - 0 x - 0
3 0 √3 0 √3
√9x2+ y2
0 0
y 2y
| | | |
3x -√3 y -x + 0 2x - 0
0 0 0 √3 0 √3
= y = y
x - 0 x - 0
0 √3 0 √3
√9x2+ y2 √9x2+ y2
0 0 0 0
2
= ，
√9x2+ y2
0 0
|-6x -1| 6x +1 |6x -1| 6x -1
0 0 0 0
由x ≥1得d = = ，d = = ，
0 1 √9x2+ y2 √9x2+ y2 2 √9x2+ y2 √9x2+ y2
0 0 0 0 0 0 0 0
6x -1 2 6x +1
0 0
因为d +d = + = =d ，
2 3 √9x2+ y2 √9x2+ y2 √9x2+ y2 1
0 0 0 0 0 0
所以直线n为△AF F 的等线.
1 2
专题强化练
(分值：34分)
1.(17分)在Oxy平面上，我们把与定点F (-a，0)，F (a，0)(a>0)距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利
1 2
双纽线，F ，F 为该曲线的两个焦点.已知曲线C：(x2+y2)2=9(x2-y2)是一条伯努利双纽线.
1 2
(1)求曲线C的焦点F ，F 的坐标；(6分)
1 2
(2)判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过坐标原点O？如
果存在，求点A，B的坐标；如果不存在，请说明理由.(11分)
解 (1)设焦点F (-a，0)，F (a，0)(a>0)，
1 2
由题意得√(x-a) 2+ y2·√(x+a) 2+ y2=a2，
即[(x-a)2+y2][(x+a)2+y2]=a4，
整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2)，
又(x2+y2)2=9(x2-y2)，
3√2
则2a2=9，解得a=± ，
23√2
因为a>0，所以a= ，
2
( 3√2 ) (3√2 )
所以F - ，0 ，F ，0 .
1 2 2 2
(2)假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过原点O，则OA⊥OB，
由C：(x2+y2)2=9(x2-y2)，令x=0，(0+ y2 ) 2=9(0-y2)，即y4+9y2=0，
解得y=0，所以直线OA，OB的斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为y=k x，直线OB的方程为y=k x，
1 2
将直线OA的方程与曲线C联立，得(1+k2 )2x4=9x2(1-k2
)，
1 1
因为A，B异于坐标原点O，即x≠0，
9(1-k2
)
1
所以x2= >0，解得k ∈(-1，1)，
(1+k2
)
2 1
1
同理可得k ∈(-1，1)，
2
所以k k =-1不成立，则假设不成立，
1 2
即曲线C上不存在两点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过原点O.
2.(17分)已知双曲线C：x2-y2=1，直线l为其一条渐近线，且直线l的斜率大于0，A 为双曲线的右顶点，过
1
A 作x轴的垂线，交l于点B ，再过B 作y轴的垂线交双曲线右支于点A ，重复刚才的操作得到B ，A ，
1 1 1 2 2 3
B ，…，A ，B ，…，记A (x ，y ).
3 n n n n n
(1)求{x }的通项公式；(4分)
n
1 1 1
(2)过A作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于M，N，记a= ，b=a ，求证： + ln
i i i i |M N| i i+1 2√3 2
i i
n
2n+3 √2n+1-1
≤ Σ b< .(13分)
5 i 2
i=1
(1)解 双曲线C：x2-y2=1，渐近线方程为y=±x，
由已知可得y =x ，
n+1 n
又点A (x ，y
)在双曲线上，所以x2 -y2 =1，即x2 -x2
=1，
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n
所以{x2 }是以x2 =1为首项，公差为1的等差数列，所以x2 =n，即x =√n.
n 1 n n(2)证明
设A(x，y)，有x2 -y2
=1，
i i i i i
以A为切点的双曲线的切线，当y≠0，斜率存在时，设斜率为k，
i i
切线方程为y=k(x-x)+y，代入双曲线C，
i i
得(1-k2)x2-2k(y-kx)x-(y-kx)2-1=0，由Δ=0，
i i i i
得y2 k2-2xyk+x2
=0，
i i i i
x
i
解得k= ，切线方程为xx-yy=1，
y i i
i
A (1，0)为切点的双曲线的切线方程x=1也满足，
1
{x x- y y=1, 1 1
由 i i 可得x=y= = =√i+√i-1，
y=x, x - y √i-√i-1
i i
即M(√i+√i-1，√i+√i-1)，
i
{x x- y y=1, 1 1
由 i i 可得x=-y= = =√i-√i-1，
y=-x, x + y √i+√i-1
i i
即N(√i-√i-1，√i-1-√i)，所以|M N|=√(2√i-1) 2+(2√i) 2=2√2i-1，
i i i
1 1 1
所以a= = ，b= .
i |M N| 2√2i-1 i 2√2i+1
i i
先证右边：
1 1 1 √2i+1-√2i-1
b= = < = ，
i 2√2i+1 √2i+1+√2i+1 √2i+1+√2i-1 2
n
1 1 √3-1 √5-√3 √2n+1-√2n-1
所以 Σ b= +…+ < + +…+
i 2√3 2√2n+1 2 2 2
i=1
√2n+1-1
= ，右边得证.
2
再证左边：
先证当x>0时，x>ln(1+x)，
令f(x)=x-ln(x+1)(x>0)，
1 x
f'(x)=1- = >0，
x+1 x+1
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)=0，
即当x>0时，x>ln(1+x)，
1 ( 1 )
所以b= >ln
1+
i 2√2i+1 2√2i+1
2√2i+1+1
=ln ，
2√2i+1当i≥2时，2√2i+1+1≥2√2i+3，
证明如下：
(2√2i+1+1)2-(2√2i+3)2
=4(2i+1)+4√2i+1+1-4(2i+3)
=4√2i+1-7≥4√5-7>0，
2√2i+1+1 2√2i+3 1 2i+3
所以ln >ln = ln ，
2√2i+1 2√2i+1 2 2i+1
所以当n≥2时，
n
1 1 1 1 1 7 1 2n+3 1 1 2n+3
Σ b= + +…+ > + ln +…+ ln = + ln ，
i 2√3 2√5 2√2n+1 2√3 2 5 2 2n+1 2√3 2 5
i=1
n
1 1 1 2n+3
当n=1时，b = ，所以 Σ b≥ + ln ，左边得证.所以命题得证.
1 2√3 i 2√3 2 5
i=1
