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微重点 2 圆锥曲线中的二级结论
[考情分析] 圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关
键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也
可以有一定的启发.
考点一 焦点三角形
考向1 焦点三角形的面积
x2 y2
例1 已知椭圆 + =1上一点M与两焦点F ，F 所成的角∠F MF =60°，则△F MF 的面积为( )
16 9 1 2 1 2 1 2
16√3
A. B.16√3
3
C.3√3 D.9√3
答案 C
∠F M F
解析 根据椭圆焦点三角形的面积公式S =b2tan 1 2 ，
△F
1
MF
2 2
60°
得S =9tan =3√3.
△F 1 MF 2 2
[规律方法] 焦点三角形的面积公式：
P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F ，F 为其焦点，记∠F PF =θ，则在椭圆中，
1 2 1 2
b2
θ
S =b2tan ；在双曲线中，S = θ.
△PF 1 F 2 2 △PF 1 F 2 tan
2
x2 y2
跟踪演练1 (2024·西安模拟)设F ，F 是椭圆C： + =1的两个焦点，点P是C上的一点，且
1 2 6 18
1
cos∠F PF = ，则△PF F 的面积为( )
1 2 3 1 2
A.3 B.3√2
C.9 D.9√2
答案 B
2√2
解析 方法一 由题设，∠F PF ∈(0，π)，可得sin∠F PF = ，
1 2 1 2 3|PF |2+|PF |2-|F F |2 (|PF |+|PF |) 2-|F F |2 1
cos∠F PF = 1 2 1 2 = 1 2 1 2 -1= ，
1 2 2|PF ||PF | 2|PF ||PF | 3
1 2 1 2
由|PF |+|PF |=2a=6√2，|F F |=2c=4√3，
1 2 1 2
12 4
则 = ，即|PF ||PF |=9，
|PF ||PF | 3 1 2
1 2
1
所以△PF F 的面积S= |PF ||PF |sin∠F PF =3√2.
1 2 2 1 2 1 2
方法二 设∠F PF =θ，由题意得θ∈(0，π)，
1 2
θ ( π)
则 ∈ 0， ，
2 2
1
因为cos θ= ，则
3
√ 1
1-
θ √1-cosθ 3 √2
tan = = = ，
2 1+cosθ 1 2
1+
3
θ √2
由椭圆焦点三角形的面积公式得S =b2tan =6× =3√2.
△PF 1 F 2 2 2
考向2 焦半径之积及离心率的表示
例2 (2024·淄博模拟)已知F ，F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q
1 2
2π
e2 3e2
关于原点对称，∠PF Q= ，若椭圆的离心率为e ，双曲线的离心率为e ，则 1 + 2 的最小值
2 3 1 2 e2+1 e2+3
1 2
是( )
2+√3 1+√3
A. B.
3 3
2√3 4√3
C. D.
3 3
答案 A
解析 如图，设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，
1 1 2 2
设∠F PF =θ，
1 2
π
根据椭圆和双曲线的对称性，可知四边形PF QF 为平行四边形，则θ=π-∠PF Q= ，
2 1 2 32b2 2b2
|PF ||PF |= 1 = 2 ，
1 2
1+cosθ 1-cosθ
故b2 =3b2
，
1 2
1 3
则a2 +3a2 =4c2，即 + =4，
1 2 e2 e2
1 2
1 3 1 3 1 3
e2 3e2 ( + )( +1+ +1 )
1
则 e2+ 1 1 + e2+ 2 3 = 1 +1 + 3 +1 = 1 +1 3 +1 e 1 2 e 2 2 × 6
1 2 e2 e2 e2 e2
1 2 1 2
[ 3 +1 3 ( 1 +1 )] [ √ 3 +1 3 ( 1 +1 ) ]
= 1 × 4+ e 2 2 + e 1 2 ≥ 1 × 4+2 e 2 2 × e 1 2
6 1 3 6
+1 +1 1
+1
3
+1
e2 e2
e2 e2
1 2
1 2
1
= ×(4+2√3)
6
2+√3
= ，
3
{( 3 +1 ) 2 =3 ( 1 +1 ) 2 ,
e2 e2
2 1
当且仅当
1 3
+ =4,
e2 e2
1 2
{ e2=
3√3+4
<1,
1 11
即 时等号成立.
3 24+9√3
e2= = >1
2 8-3√3 37
x2 y2
[规律方法] (1)设P点是椭圆 + =1(a>b>0)上异于长轴端点的任意一点，F ，F 为其焦点，记
a2 b2 1 2
2b2 sin∠F PF
1 2
∠F PF =θ，则①|PF ||PF |= ；②e= .
1 2 1 2 1+cosθ sin∠PF F +sin∠PF F
1 2 2 1
x2 y2
(2)设P点是双曲线 - =1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任意一点，F ，F 为其焦点，记∠F PF =θ，则①|
a2 b2 1 2 1 2
2b2 sin∠F PF
PF ||PF |= ；②e= 1 2 .
1 2 1-cosθ |sin∠PF F -sin∠PF F |
1 2 2 1
x2 y2 3
跟踪演练2 设O为坐标原点，F ，F 为椭圆C： + =1的两个焦点，点P在C上，cos∠F PF = ，
1 2 4 3 1 2 5
则⃗PF ·⃗PF 等于( )
1 2
9 7
A. B.
4 47
C.2 D.
2
答案 A
2b2
解析 记∠F PF =θ，则|PF ||PF |= ，
1 2 1 2 1+cosθ
15
即|PF ||PF |= ，
1 2 4
则⃗PF ·⃗PF =|⃗PF ||⃗PF |cos∠F PF
1 2 1 2 1 2
15 3 9
= × = .
4 5 4
考点二 垂径定理
x2 y2
例3 (多选)已知A，B是椭圆 + =1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过
a2 b2
坐标原点O，M为线段AB的中点，则有k ·k 等于( )
AB OM
b2 b2
A. B.-
a2 a2
C.-1 D.e2-1
答案 BD
解析 设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
(x +x y + y )
则M 1 2， 1 2 ，
2 2
y + y y - y y2- y2
1 2 1 2 1 2
k = ，k = ，k ·k = ，
OM x +x AB x -x AB OM x2-x2
1 2 1 2 1 2
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
x2 y2 x2 y2
1+ 1=1， 2+ 2=1，
a2 b2 a2 b2
x2-x2 y2- y2
两式相减得
1 2+ 1 2=0，
a2 b2
y2- y2 b2 b2
1 2
整理得 =- ，∴k ·k =- =e2-1.
x2-x2 a2 AB OM a2
1 2
x2 y2
[规律方法] 双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行
a2 b2
b2
于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有k ·k = =e2-1.
AB OM a2x2 y2
跟踪演练3 (多选)(2024·泸州模拟)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，
a2 b2 1 2
其中|F F |=2c，过右焦点F 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是( )
1 2 2
2b2
A.弦AB的最小值为
a
B.若|AB|=m，则△F AB的周长为2m+4a
1
b2
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则k ·k=
OM a2
D.若直线AB的斜率为√3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
答案 ABC
2b2
解析 对于A，弦AB的最小值为通径 ，故A正确；
a
对于B，由双曲线的定义得|AF |-|AF |=2a，|BF |-|BF |=2a，
1 2 1 2
所以|AF |=|AF |+2a，|BF |=|BF |+2a，
1 2 1 2
|AF |+|BF |=|AF |+2a+|BF |+2a=|AB|+4a，
1 1 2 2
则△F AB的周长=|AF |+|BF |+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确；
1 1 1
b2
对于C，根据双曲线中的垂径定理可得k ·k = ，故C正确；
AB OM a2
对于D，
b
若直线AB的斜率为√3，所以 <√3，所以b2<3a2，所以c2<4a2，
ac
所以e= ∈(1，2)，故D错误.
a
考点三 椭圆、双曲线的第三定义
定义：平面内与两个定点A (-a，0)，A (a，0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含
1 2
b2
两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=- ；当常数
a2
b2
大于0时为双曲线，此时e2-1= .
a2
x2 y2
例4 (2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右顶点，点P在以AB为直
a2 b2
径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜
率的4倍，则椭圆C的离心率为( )
√3 1
A. B.
3 2
√3 3
C. D.
2 4
答案 C
解析 根据椭圆的第三定义可知k ·k =e2-1，
AQ BQ
{k ·k =-1,
AQ BP
又
4k =k ,
BQ BP
√3
所以k ·k =4k ·k =4(e2-1)=-1，则e= .
AP BP AP BQ 2
[规律方法] 第三定义推论：平面内与两个关于原点对称的点A(m，n)，B(-m，-n)的斜率乘积等于常数e2-1
b2
的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含A，B两点).当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=- ；当常数大于
a2
b2
0时为双曲线，此时e2-1= .
a2
x2 y2
跟踪演练4 设直线y=kx与双曲线C： - =1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的
a2 b2
一点，直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，若C的离心率为√2，则k ·k 等于( )
1 2 1 2
A.3 B.1
C.2 D.√3答案 B
解析 由题意可知点A，B关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k ·k =e2-1，
1 2
又由e=√2，则k ·k =1.
1 2
考点四 焦点弦
1.已知F ，F 分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点，直线 l过左焦点F 与曲线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，
1 2 1
b2
设 ∠AF F =α，e为离心率，p为焦点到对应准线的距离，则p= .
1 2 c
ep ep 1 1 2
(1)椭圆焦半径公式：|AF |= ，|BF |= ， + = .
1 1-ecosα 1 1+ecosα |A F | |BF | ep
1 1
2ep
(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|=|AF |+|BF |= .
1 1 1-e2cos2α
ep ep 1 1 2
(3)①若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF |= ，|BF |= ， + = .
1 1+ecosα 1 1-ecosα |A F | |BF | ep
1 1
ep ep
②若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF |= ，|BF |= ，
1 ecosα+1 1 ecosα-1
| 1 1 | 2
-
= .
|A F | |BF | ep
1 1
图1 图2
2ep
(4)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF |+|BF |= .
1 1 1-e2cos2α
2ep
若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF |-|BF ||= .
1 1 e2cos2α-1
2.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AFx=α，e为抛物线离心率，p为抛
物线的焦点到对应准线的距离.
ep p ep p 1 1 2 2
(1)抛物线焦半径公式：|AF|= = ，|BF|= = ， + = = .
1-ecosα 1-cosα 1+ecosα 1+cosα |AF| |BF| ep p
2ep 2p
(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|=|AF|+|BF|= = .
1-e2cos2α sin2α
3.焦点弦定理已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜
|λ-1|
角为α，⃗AF=λ⃗FB，则曲线的离心率满足等式|ecos α|= .
λ+1
x2 y2
例5 (1)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 作倾斜角为θ的直线l
a2 b2 1 2 2
1
交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cos θ= .若|AB|=|AF |，则双曲线C的离心率
4 1
为( )
A.4 B.√15
3
C. D.2
2
答案 D
b2 b2
解析 |AF |= ，|BF |= ，
2 a-ccosθ 2 a+ccosθ
b2
1
|AB|=|AF |+|BF |=|AF |=2a+|AF | |BF |=2a 1 =2a e2- e-3=0 e=2.
2 2 1 2 2 a+ c 2
4
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
x2
(2)(2024·沧州模拟)已知椭圆方程为 +y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为
4
.
3+2√2
答案
4
1 1
解析 由焦半径公式可得 + =4，
|AF| |BF|
1 ( 1 1 )
∴|AF|+2|FB|= (|AF|+2|FB|) +
4 |AF| |BF|
|AF| |BF| 3 2√2+3
= + + ≥ ，
4|BF| 2|AF| 4 4
|AF| |BF|
当且仅当 = 时取等号，
4|BF| 2|AF|
1 1
又 + =4，
|AF| |BF|
{|AF|=
2√2+2
,
8
得
√2+2
|BF|= ,
8
3+2√2
∴|AF|+2|FB|的最小值为 .
4
[易错提醒] (1)要注意公式中α的含义.(2)公式中的加减符号易混淆.
(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样.
x2 y2 2
跟踪演练5 过双曲线C： - =1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AF|= ，则|BF|
4 2 3
= .
答案 2
2
解析 设∠AFO=α，因为|AF|= <2+√6，
3
所以点A必在双曲线右支上，
由焦半径公式，
b2 2 2
|AF|= = = ，
ccosα+a √6cosα+2 3
√6
解得cos α= ，
6
√30
所以sin α= ，
6
√2
从而tan α=√5，双曲线C的渐近线的斜率为± ，
2
√2
因为√5> ，
2
所以点B也在双曲线的右支上，如图，
由图可知，∠BFO=π-∠AFO=π-α，
b2 2
所以|BF|= = =2.
ccos(π-α)+a -√6cosα+2
专题强化练
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
x2 y2
1.设双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为√5.P是C上一点，且F P⊥F P.
a2 b2 1 2 1 2
若△PF F 的面积为4，则a等于( )
1 2
A.1 B.2C.4 D.8
答案 A
解析 根据焦点三角形面积公式可知，
b2
S = θ，其中θ=∠F PF ，
△PF 1 F 2 tan 1 2
2
π
由题意知S =4，θ= ，
△PF 1 F 2 2
b2
代入S = θ，
△PF 1 F 2 tan
2
c
可得b=2，又离心率 =√5，
a
结合c2=a2+b2，解得a=1.
x2 y2
2.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G： + =1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线
4 3
AP，BP的斜率之积为( )
3 4
A. B.
4 3
3 4
C.- D.-
4 3
答案 C
b2 3
解析 根据椭圆的第三定义可知k ·k =- =- .
AP BP a2 4
3.已知双曲线E的中心为原点，F(1，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为
N(-4，-5)，则双曲线E的渐近线方程为( )
A.√5x±2y=0 B.2x±√5y=0
C.4x±5y=0 D.5x±4y=0
答案 A
-5-0 5
解析 ∵k = =1，k = ，
AB -4-1 ON 4
b2
且k ·k = ，
AB ON a2
b2 5
∴ = ，
a2 4
∴4b2=5a2，可得双曲线的渐近线方程为√5x±2y=0.
4.已知F为抛物线C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l ， l ，直线l 与C交于A，B两点，直
1 2 1
线l 与C交于 D，E两点，则 |AB|+|DE|的最小值为( )
2A.16 B.14
C.12 D.10
答案 A
( π)
解析 设 l 的倾斜角为 θ，不妨设θ∈ 0， ，
1 2
2p 4
那么|AB|= = ，
sin2θ sin2θ
π
因为l ⊥l ，所以 l 的倾斜角为θ+ ，
1 2 2 2
4
4
则|DE|= sin2(
θ+
π)=
cos2θ
，
2
求|AB|+|DE|的最小值，即求4 ( 1 + 1 ) 在 ( 0， π) 上的最小值，
sin2θ cos2θ 2
( 1 1 ) 4 16
+
令f(θ)=4 = = ，
sin2θ cos2θ sin2θcos2θ sin22θ
π
当sin22θ=1，即θ= 时，f(θ)取得最小值16.
4
5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若⃗BA=4⃗BF，则
△AOB的面积为( )
8√3 4√3
A. B.
3 3
8√2 4√2
C. D.
3 3
答案 B
解析 设直线l的倾斜角为θ(0<θ<π)，
|AF| p
由题意知 =3，|AF|= ，
|BF| 1-cosθ
p
|BF|= ，
1+cosθ
1+cosθ 1
∴ =3，解得cos θ= ，
1-cosθ 2
√3
则sin θ= ，
2
2p
又抛物线焦点弦弦长|AB|= ，
sin2θ
1 p2 4 4√3
∴S= |OF|·|AB|·sin θ= = = .
2 2sinθ √3 3x2 y2
6.已知F ，F 分别是椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点M，使得
1 2 a2 b2
∠F MF =2α(α≠0)，则椭圆C的离心率e的取值范围为( )
1 2
A.(0，sin 2α] B.(0，sin α]
C.[sin 2α，1) D.[sin α，1)
答案 D
π
解析 由题，0<2α<π，则0<α< ，
2
由焦点三角形面积公式得S =b2tan α，
△F MF
1 2
设M(x ，y )，则|y |≤b，
0 0 0
1
所以S = ·2c·|y |≤bc，
△F 1 MF 2 2 0
故S =b2tan α≤bc，
△F MF
1 2
所以bsin α≤ccos α，两边同时平方得(a2-c2)sin2α≤c2cos2α，
解得sin α≤e，
又00，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过
a2 b2
双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为 .
答案 √3
解析 如图，设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，
因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，
π
所以S =S =2a2且∠F'AF=θ= ，
△AF'F △ABF 2
b2
b2 √ b2
根据双曲线焦点三角形面积公式，得S = θ.所以2a2=b2，即 =2，e= 1+ =√3.
△AF'F tan a2 a2
2
x2 y2
10.已知椭圆C： + =1的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|=
4 2
；若|AF|>|BF|，则|AF|∶|BF|= .
8
答案 3∶1
3
解析 如图，设∠AFO=α，则α=45°，
由焦点弦公式，
2ab2 2×2×2 8
|AB|= = = .
a2-c2cos2α 4-2×cos245° 3由焦半径公式，
b2 2
|AF|= = =2，
a-ccosα 2-√2cos45°
2 2
|BF|= = ，
2+√2cos45° 3
所以|AF|∶|BF|=3∶1.
