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4.7.2 相似三角形的性质教学设计
课题 4.7.2相似三角形的性质 单元 4 学科 数学 年级 九
本节课是在学习了比例的性质，相似多边形及相似三角形性质（1）的基础上，进一步探究
两个相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的数量关系．进而推广到两个相似四边
教 材
形，两个相似五边形，两个相似n边形的周长比、面积比与相似比之间的数量关系．同时
分析
渗透由特殊到一般，类比，转化的数学思想方法.
通过经历探究两个相似三角形中与周长、面积相关的简单问题的过程，感悟由特殊到一般
核 心 的归纳思想和方法，感悟类比和转化的思想方法，积累将未知数学问题转化为已知数学问
素 养 题的活动经验．
分析
1、相似多边形的周长比、面积比 与相似比的关系
2、相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用
学习
3、经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力，合作意识
目标
重点 相似三角形的性质与运用
难点 相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理
解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 相似三角形的性质： 学生思考回顾 本环节采用开
对应角________,对应边________, 上几节课所学 门见山、以旧引
对应高的比等于________,对应角平分线的比等于 的内容，找 3 新的方式直接提
________,对应中线的比等于_______. 名学生口答， 出学习课题，使
如图，小张依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建 其余学生矫正 学生明确学习目
造了模型房梁△A′B′C′，图纸上△ABC的周长为 补充. 的，为下一步引
12cm，面积为8cm2. 入新知指明了思
考的方向，避免
了盲目性.激发学
生的学习欲望，
顺利实行旧知到
你能求出模型房梁的周长与面积吗？
新知的迁移.
△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比
呢？
讲授新课 如图， △ABC ∽ △A′B′C′，相似比为k，你能
求出△ABC 与 △A′B′C′的周长比和面积比 课堂巡查，引
吗？ 导学生在相似 学生通过计算相
比时，尝试求 似比为 2 时，两
出周长和面积 个相似三角形的
比，并落实在 周长与面积比，
课堂练习本 积累在特殊相似
上. 比情况下，如何
证明：△A′B′C′∽△ABC 求解周长比和面
AB AC BC 积比的经验，为
∴
= = =k
A'B' A'C' B'C'
猜想并尝试推导
∴AB=kA’B’，AC=kA’C’，BC=kB’C’ 一般情况下（相
∴C =AB+AC+BC=k(A'B'+A'C'+B'C') 似比为 K）周长
∆ABC
比和面积比做铺
C =A'B'+A'C'+B'C'
∆A'B'C'
垫.由此让学生
C
∴ ∆ABC =k 感悟由特殊到一
C
∆A'B'C' 般的归纳思想和
归纳总结：
方法，体会类比
相似三角形的性质
的 数 学 思 想 方
相似三角形周长的比等于相似比.
法.
面积之比呢？
猜想：相似三角形面积比等于相似比的平方.
求证：相似三角形面积比等于相似比的平方.
已知：如图，△ABC∽ △A’B’C’ ，相似比为k求证：S :S =k2
△ABC △A'B'C'
证明：
分别作△ABC和△A’B’C’的高CD和C’D’
∵△ABC∽ △A’B’C’
AB CD
∴
= =k
A'B' C'D'
∴
1
AB∙CD
S△ABC 2 AB CD
= = ∙ =k∙k=k2
S△A'B'C' 1
A'B'∙C'D'
A'B' C'D'
2
归纳总结：
学生思考并尝试
相似三角形的性质
证明
相似三角形的周长的比等于相似比，面积比等于 教师引导
相似比的平方. 学生类比与转
化
议一议：
两个相似四边形的周长等于相似比吗？面积比等
于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及
面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？
连接BD和B′D′
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′
AB BC CD DA
∴
= = = =k
A'B' B'C' C'D' D' A'
C
四边形ABCD
∴ =
C
四边形A'B'C'D'
AB+BC+CD+DA k(A'B'+B'C'+C'D'+D' A')
= =k
A'B'+B'C'+C'D'+D' A' A'B'+B'C'+C'D'+D' A'
S S 学生思考并反思
∵
∆ABC =k2 ∆DBC =k2
S S 学生独立完成 自己证明的思路
∆A'B'C' ∆D'B'C'
例题，并书写 过程S S +S 详细规范的解
∴
四 边 形AB=CD ∆ABC ∆DBC =k2
S S +S 题过程.
四边形A'B'C'D' ∆A'B'C' ∆D'B'C'
归纳总结：
相似多边形性质：
相似多边形周长的比等于相似比，面积比等于相
似比的平方。
典例精析
例2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积
是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移
的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相
似）.
S EC 2 EC2
∴ ∆GEC =( ) = （相似三角形的面积比等
S BC BC2
∆ABC
于相似比的平方）
1 EC2
即 =
2 22
∴EC2=2.
∴EC=√2 .
∴BE=BC－EC=2-√2 ，
即△ACB平移的距离为2-√2.
课堂练习 1.把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面
积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到
原来的（ ）
A．49倍 B．7倍 C．50倍 D．8倍2.两个相似多边形的一组对应边分别为 3cm 和 从简单的问题入
4.5cm，如果它们的面积和为 78cm2，那么较大多 手，让学生在解
边形的面积为（ ） 题过程中掌握知
A．46.8 cm2 B．42 cm2 C．52 cm2 D．54 cm2 学生利用所学 识,达到“学数
3.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 知识做练习。 学，用数学”的
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 目的，进一步培
比等于_____. 养学生解决问题
4.两个相似三角形对应的中线长分别是 6cm 和 的能力和推理论
证的能力。
18cm，若较大三角形的周长是 42cm，面积是
12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为
____cm2.
5.如图，已知 DE∥BC，BD=3AD，S =48，
△ABC
求：△ADE的面积.
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生归纳本节 通过小结让学生
所学内容，并 理清本节课的知
体验核心素养 识结构，感受探
的形成。 究过程中乐趣，
体验克服困难的
过程，树立学习
数学的信心。
板书 课题： 4.7.2相似三角形的性质
一、 周长比：
二、 面积比：
