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专题六 微重点 2 圆锥曲线中的二级结论
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
x2 y2
1.设双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为√5.P是C上一点，且F P⊥F P.
a2 b2 1 2 1 2
若△PF F 的面积为4，则a等于( )
1 2
A.1 B.2
C.4 D.8
x2 y2
2.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G： + =1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线
4 3
AP，BP的斜率之积为( )
3 4
A. B.
4 3
3 4
C.- D.-
4 3
3.已知双曲线E的中心为原点，F(1，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为
N(-4，-5)，则双曲线E的渐近线方程为( )
A.√5x±2y=0 B.2x±√5y=0
C.4x±5y=0 D.5x±4y=0
4.已知F为抛物线C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l ， l ，直线l 与C交于A，B两点，直
1 2 1
线l 与C交于 D，E两点，则 |AB|+|DE|的最小值为( )
2
A.16 B.14
C.12 D.10
5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若⃗BA=4⃗BF，则
△AOB的面积为( )
8√3 4√3
A. B.
3 38√2 4√2
C. D.
3 3
x2 y2
6.已知F ，F 分别是椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点M，使得
1 2 a2 b2
∠F MF =2α(α≠0)，则椭圆C的离心率e的取值范围为( )
1 2
A.(0，sin 2α] B.(0，sin α]
C.[sin 2α，1) D.[sin α，1)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列与双曲线有关的结论，正确的是( )
A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b
ab
B.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数
c
C.双曲线上任意一点P到两条渐近线的距离乘积为定值
D.过双曲线x2-y2=2上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面
积为2mn
8.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上
的射影，则下列结论正确的是( )
A.若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|=8
B.若⃗AF=2⃗FB，则直线AB的斜率为±2√3
C.若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D.CF⊥DF
三、填空题(每小题5分，共10分)
x2 y2
9.已知双曲线 - =1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过
a2 b2
双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为 .x2 y2
10.已知椭圆C： + =1的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|=
4 2
；若|AF|>|BF|，则|AF|∶|BF|= .答案精析
1.A 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D
7.ABC
8.ACD [若直线AB的倾斜角为45°，
2p
则|AB|= =8，故A正确；
sin245°
设直线AB的倾斜角为θ，若⃗AF=2⃗FB，
2-1 1
则|cos θ|= = ，
2+1 3
故k=tan θ=±2√2，故B错误；
设A(x ，y )，B(x ，y )，则C(-1，y )，
1 1 2 2 1
y
2 4+ y y 4-p2
所以k -k = y2+y = 1 2 = =0，
OB OC 2 1 y y
2 2
4
故B，O，C三点共线，故C正确；
设C(-1，y )，D(-1，y )，F(1，0)，
1 2
则⃗CF·⃗DF=(2，-y )·(2，-y )=4+y y =4-p2=0，
1 2 1 2
故CF⊥DF，故D正确.]
9.√3
解析 如图，设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，
因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，
π
所以S =S =2a2且∠F'AF=θ= ，
△AF'F △ABF 2
b2
根据双曲线焦点三角形面积公式，得S = θ.所以2a2=b2，
△AF'F tan
2b2 √ b2
即 =2，e= 1+ =√3.
a2 a2
8
10. 3∶1
3
解析 如图，
设∠AFO=α，
则α=45°，
由焦点弦公式，
2ab2
|AB|=
a2-c2cos2α
2×2×2 8
= = .
4-2×cos245° 3
由焦半径公式，
b2 2
|AF|= = =2，
a-ccosα 2-√2cos45°
2 2
|BF|= = ，
2+√2cos45° 3
所以|AF|∶|BF|=3∶1.
