文档内容
专题 01 解直角三角形与几何综合的两种考法
类型一、网格问题
例．将 放置在 的正方形网格中，顶点 在格点上．则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】如图所示，连接 ，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明 是等腰直角三角形，进而得
到 ，再根据45度角的正弦值为 即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
由网格的特点可知 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等
等，证明 是等腰直角三角形是解题的关键．
例2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点都在方格的格点上，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长CB到格点D，连接AD，先算出AC、CD，根据余弦的定义求出∠C的余弦值即可．
【详解】解：延长CB到格点D，连接AD，如图所示：
根据格点特点可知AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴△ACD为直角三角形，
∵ ，
，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了在方格纸中求余弦值，作出辅助线，将∠C放在直角三角形中，是解题的关键．
【变式训练1】．如图，△ABC的顶点是正方形的格点，则sin∠BAC的值为【答案】
【分析】找到方格点D，连接CD，由直角三角形逆定理得出三角形ADC为直角三角形，然后根据正弦函
数的定义求解即可．
【详解】：找到方格点D，连接CD，
根据题意可得：AD2=12+12=2， ，
AC2=12+32=10， ，
CD2=22+22=8， ，
AD2+ CD2=AC2，
∴ ADC ，
∴∠ =90°
，
∴
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理，求角的正弦等，理解题意，找准直角三角形求解是解题关键．
【变式训练2】．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
相交于点P，则 的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】首先连接 ，由题意易得 ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得
，即可得 ，在 中，即可求得 的值，继而求得答案．【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出
辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
【变式训练3】如图， 的三个顶点都在边长是 的小正方形的顶点上，则
．
【答案】
【分析】过 作 于 ，则 ，求出 和 的长，再解直角三角形求出 即可．【详解】解：如图，过 作 于 ，
∴ ，
∵小正方形的边长为 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式训练4】．如图，在边长为1的小正方形网格中，点 、 、 、 都在这些小正方形的顶点上，
连接 ．
（1） 的长为 ；
（2）连接 与 相交于点 ，则 的值是 ．
【答案】 2
【分析】（1）根据勾股定理来求 的长度；
（2）首先连接 ，由题意易得 ， ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得
，即可得 ，在 中，即可求得 的值．
【详解】解：（1）如图，根据勾股定理 得 ，
故答案为： ；
（2）如图，连接 ，
四边形 是正方形，， ， ， ，
，
根据题意得： ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅
助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
类型二、构造直角三角形问题
例1．如图，在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D【分析】作 于 ，根据 ， ，算出 和 ，再根据 ，算出
，最后根据 计算即可．
【详解】如下图，作 于 ，
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
例2．如图，在四边形 中， ， ， ， ．则 的长的值为
．
【答案】
【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即
可求解．【详解】解：如图，延长BC，AD交于E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴BC=BE-CE= ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题
的关键．
例3．如图，在矩形 中， ，连接 ，点 在 上， 平分
．【答案】 /
【分析】过点D作 ，由 平分 可得 是等腰直角三角形，再根据矩形
性质和勾股定理易求对角线 长，进而解三角形求出 、 即可解答．
【详解】解：过点D作 ，如图：
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵在矩形 中， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作 构造 是等腰直角三
角形，再解三角形．
【变式训练1】．如图，在四边形 中， ， ， ， ，则四边形
的面积为（ ）A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据 进行计算即可求出结果．
【详解】解：连接 ，如图所示
， ，
，
四边形 的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添
加辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式训练2】．如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ， 的
面积为 ．【答案】
【分析】过 作 ，如图所示，在 中， ， ，得到 ， ；在
中， ，得到 ，由勾股定理得 ；再由三角形面积公式代值求解即可得
到 ．
【详解】解：过 作 ，如图所示：
在 中， ， ， ，
在 中， ，
，即 ，
，
由勾股定理得 ； ，
故答案为： ， ．【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公
式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．
【变式训练3】．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，
则线段 的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】过点 作 的垂线，垂足分别为 ，在 ， 中，求得 的长，进而
证明 是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 的垂线，垂足分别为 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ 中， ， ，∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选:B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角
形划分为直角三角形．
【变式训练4】．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四
边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四边
形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG= DO，
同理可得：BH= BO，S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH= ×AC× ×（DO+BO）= ，故选：C．
四边形
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不
规则四边形面积的计算是解决本题的关键．课后作业
1．如图， 的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据 ， ， ，得到 ，推出
是直角三角形， ，推出 ．
【详解】如图，∵ ， ， ，
∴ ，∴ 是直角三角形， ，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定
理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义．
2．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么 的值为 ．
【答案】1
【分析】连接 ，根据勾股定理可求出 ， ，从而得出 ，则根据
勾股定理逆定理可得出 为直角三角形，且 ，最后根据正切的定义求解即可．【详解】解：如图，连接 ．
由图可知 ， ， ，∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，∴ ．故答案为：1．
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tan∠DEC=
．
【答案】3
【分析】作 于点 ， 于点 ， 于点 交 于点 ，先证明四边形 是平
行四边形，得 ，再证明 ，由 ，求得
，再根据 ，求出 、 的长，进而求出 、 的长，
即可求出 的值．
【详解】解：如图，作 于点 ， 于点 ， 于点 交 于点 ，
，
∴DH//AB，
∴AD//BC，
四边形 是平行四边形，，
，
，
设 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
∵GH//BE，
，
，
， ，
， ，
，
，
故答案为：3．【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、相
似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅
助线是解题的关键．
4．如图，在 中， ，点 为 的中点， 于点 ，连接 ．已知 .
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据 ，得到 中各边长的比值关系，计算出 的长度，根据中点的性质得到
的长度，最后再用 计算出 即可．
（2）过点 作 于点 ，根据 ， ，算出 的长度，根据中点的性质得到 的
长度，就可以算出 和 的长度，得到 的长度，勾股定理算出 ，即可得到结论．
【详解】（1） ，
，
， ，
，
∴ ，，
点 为 的中点，
．
在 中， ，
，
．
（2）过点 作 于点 ，
， ， ， ，
点 为 的中点， ，
在 ， ， ， ，
．由勾股定理得： ，
，
