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专题 03 二次根式化简的四种考法
类型一、利用数轴化简根式
例．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件 ，解得：
∴ ，
∴原式
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
(3)已知a，b，c为 的三边长．化简：
【答案】(1)1；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出 的范围，再根据二次根式的性质化简可
得；
（2）由a，b在数轴上的位置判断出 、 ，再利用二次根式的性质化简即可
得；
（3）由三角形的三边关系得出 ， ， ，再利用二次根式
的性质化简可得．
【详解】（1）解∶隐含条件 ，解得： ，
∴ ，
∴原式 ；
（2）观察数轴得隐含条件： ， ，
∴ ，
∴ ；（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：
， ， ， ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质
及三角形的三边关系等知识点．
【变式训练1】已知 在数轴上的对应点如图，化简： ．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断式子的符号，进而根据二次根式的性质以及绝对值的意
义化简，最后合并同类项即可求解．
【详解】解：根据点在数轴上的位置可得 ，且 ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了数轴上的点判断式子的符号，二次根式的性质，绝对值的意义，整式
的加减，数形结合是解题的关键．
【变式训练2】如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ．
【答案】
【分析】根据数轴可得 ， ，则 ，然后根据二次根式的性质
化简即可求解．
【详解】解：由图可知， ， ，
，
原式 ．
【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，化简二次根式，得出各式的符号是解题的关键．
类型二、含字母的二次根式化简（注意范围）
例1．化简：
【答案】
【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab<0
后，进行二次根式的化简即可．
【详解】解：要使该二次根式有意义，则有
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化
的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现
符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．
【变式训练1】把 中根号外因式适当变形后移至根号内得 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质可得 ，则 ，据此即可求解．
【详解】解：∵ ，有意义，
∴ ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练2】已知 ， ，化简 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．【变式训练3】已知： ， ，求： 的值．
【答案】
【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关
键．
类型三、双重二次根式化简
例．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如 的化简，我们只要找到两个数
a，b，使 ， ，即 ， ，那么便有：
.
例如化简：
解：首先把 化为 ，
这里 ， ，
由于 ， ，
所以 ，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】根据题意把题目中的无理式转化成 的形式，然后仿照题意化简即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的
形式是解答此题的关键．
【变式训练1】先阅读下面的解答过程，然后再解答：
要对形如 的式子化简，只要找到两个数 ，使 ， ，即
， ，那么便有
．
(1)用上述方法化简： ；
(2)若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用完全平方公式得到 ，然后根据二次根式的性质化简即可；
（2）利用完全平方公式得到 ，根据二次根式的性质化简，再进行估算出a，b
的值计算即可．
【详解】（1）
=
=
=
=
=
（2）
=
=
=
∵
∴
∵ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴
∴ =
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握 是解题的关键．
【变式训练2】问题探究：因为 ，所以
因为 ，所以 因为 ，所以
请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
(1) ；
(2)【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）因为 ，且 ，由此把原式中被开方式
改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可;
（2）因为 ，且 ，由此把原式中被开方式改为完全平
方式，进一步因式分解，化简得出答案即可．
【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝
．
（2） ＝ ＝ ＝ ＝ =
．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用二次根式的性
质化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
【变式训练3】【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另
一个式子的平方，如 ．善于思考的小明进行了以下探索：若设
（其中 均为整数），则有
．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．请
你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若 ，当 均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均
用含m、n的式子表示）
（2）若 ，且 均为正整数，分别求出 的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ＝ ．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简；
（3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．
【详解】（1）解： ，∵ ，且 均为整数， ，
故答案为：
（2）解： ，
∵ ，∴ ，
又∵ 均为正整数，∴ 或 ，
即 或 ；
（3）解： ＝ ＝ ＝ ，
故答案为：
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质 ，
掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质
，掌握完全平方公式 的结构是解题关键．
类型四、二次根式有意义的条件
例1．若x，y满足条件： ，化简代数式
．
【答案】5
【分析】根据二次根式有意义的条件求得 ， ，得到 ，再对原式化简即
可求解．
【详解】解：在 中，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
例2．若 ，则 的值为 ．
【答案】2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
【详解】解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵ ，
∴ ，
，
，
即 =2022．
故答案为2022．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝
对值是解题的关键．
【变式训练1】下列二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是 的选项是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B
选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保
证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：A. 中， 的取值范围是 ，故此项不符合题意；
B. 中， 的取值范围是 ，故此项符合题意；
C. 中， 的取值范围是 ，且 ，故此项不符合题意；
D. 中， 的取值范围是 ，故此项不符合题意；
故选B．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解
题的关键．
【变式训练2】若实数 、 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出 ，进而求出 ，由此代值计算
即可．
【详解】解：∵ 都有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条
件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【变式训练3】已知 ，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【分析】先对 变形，根据绝对值的意义得到
和 为最小值时x、y的取值，进而得到 的最小值．
【详解】解： ，
，
可理解为在数轴上，数 的对应的点到 和1两点的距离之和；
可理解为在数轴上，数 的对应的点到 和5两点的距离之和，
当 ， 的最小值为3；
当 时， 的最小值为6，
的范围为 ， 的范围为 ，
当 ， 时， 的值最小，最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，
并根据绝对值的意义确定x、y的取值是解题关键．
【变式训练4】已知 ，则2x﹣18y2＝ ．【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵ 一定有意义，
∴x≥11，
∴ ﹣|7﹣x|+ ＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得： ＝3y，
∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
课后训练
1．若 成立，则 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质 即可求解．
【详解】解：
，解得
故选：A
【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关性质建立不等式是解题的关键．
2．如果 ，那么x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．若 ，化简 的结果是（ ）A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】先根据二次根式的性质化简 ，再根据分式的性质化简即可．
【详解】解： ，
， 原式 ．故选： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式性质与化简方法是解题的关键．
4．下列各式中，与化简 所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的
性质是解题的关键．
5．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0进行列式求值
即可．
【详解】解：由题意得： 且 ，
∴ 且 ．
故选 ：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义、负整数指数幂的定义等知识点，掌握次根式被
开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0是解题关键．
6．把 中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．【详解】∵被开方数 ，分母 .
∴ ，∴ .
∴原式 ．故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简： |a|．也考查了二次根式的成立的条件
以及二次根式的乘法．
7．若 ，则 化简后的结果是（ ）
A．xy B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ， 有意义可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ， 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出
是解题的关键．
8．化简： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．设x，y均为实数，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】先根据二次根式的定义求出 和 的值，然后再将 和 的值代入要求得式子即可；
【详解】解：由二次根式的性质可得：，
，
将 代入 中得： ，
，
将 ， 代入上式得：原式 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简等知识点，熟知二次根
式有意义的条件的运用是解题关键．
10．a，b为有理数，且 ，则 ．
【答案】2
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即 ，且a，b为
有理数，求出 ，进而得到 ．
【详解】解：
a，b为有理数
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
11．解下列各题．
(1)已知： ，求 的平方根；
(2)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)2023
【分析】（1）先根据二次根式有意义求出x的值，再求出y的值，即可求出答案；
（2）先求出 的值，然后把 和x的值代入计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法
则是解答本题的关键．
12．像 这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助
构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ；
(3)若 ，且 为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)a的值为 或
【分析】（1）根据题目提供的方法将 ，化简为 ，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将 ，化简为 ，进而得到答案；（3）将 化简为 ，继而得到 ，
， 再根据 为正整数，即可求出其值，代入即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
， ，
又 为正整数，
，或者 ，
当 时， ；
当 ， ，
综上所述，a的值为 或 ．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征
是正确解答的前提．
