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专题 02 解直角三角形实际应用的三种考法
类型一、仰角俯角问题
例．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为
和 ，矩形建筑物宽度 ，高度 ．则信号发射塔顶端到地面的高度（即 的长）
为多少？
【变式训练1】．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景
平台 观景，然后再沿着坡角为 的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面
的垂直距离为 ．如下图， ， ， ，求斜坡 的长度．（结果
精确到 ， ， ， ， ， ，
）【变式训练2】．国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树场馆群，是我国首座符合国
际标准的冬奥会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲线完美融合，因此，被形象
地称为“雪如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交相辉映，在这里举行的跳台
滑雪分大跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，大跳台与标准台水平
相距 米，大跳台坡角 ，标准台坡角 ．求大跳台与标准台出发点落差
是多少？（参考数据： ， ， ； ， ，
，结果保留整数．）
【变式训练3】．投影仪，又称投影机，是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投
影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆 与地面 垂直，且 的长为 ，脚杆
的长为 ， 距墙面 的水平距离为 ，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角 ，脚
杆 与地面的夹角 ，求光源投屏最高点与地面间的距离 ．（参考数据： ，
， ， ，结果精确到 ）类型二、方位角问题
例．如图，湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援
船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿 方向行驶，与救援船相
遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东 方向上，B在A的东北方向上，且在C的正南方
向900米处．
(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米．参考数据： ）；
(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在7分钟内将
该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【变式训练1】．小明在学习直角三角形的三角函数时发现：
如图1，在 中， 所对的边分别是a、b、c，
∵ ， （ ）
∴ ．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．
(1)如图2，在锐角三角形 中， 所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函数的有关知识验证 ；
(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西
的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东 的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯
塔A在货轮的北偏西 的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．
【变式训练2】．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处
的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿 方向行驶，与救
援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知B在C的正西方向，A在C的北偏西 方向，B在A的南偏
东 方向1800米处．
(1)求湖岸A与码头C的距离（结果可含根号）；
(2)救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为420米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将
该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据： ， ，
）
【变式训练3】．如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，远处有一个小岛A，在 点测得小岛A在北偏东
60°，航行60海里到达 点，这时测得小岛在A在北偏东45°的方向上．(1)若渔船不改变航线继续向东航行，距离A岛的最短距离是多少？（结果保留根号）
(2)渔船行至 点时，忽然发现油料短缺，遂就地停船休整，与此同时，在正东方向，距离 点180海里的
救援船 前来救援，请问当小岛A、渔船 和救援船 所组成的三角形是直角三角形时，此时救援船 距
离小岛A有多远？（结果保留根号）
【变式训练4】．如图， 是某景区一段坡度 的上坡路段， 为竖直（与水平面垂直）的监控立
杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安装调试摄像头时，在摄像头D处
测得点A的俯角为 ，点B的俯角为 ．已知 米，点O、A、B、C、D、E、在同一平面内．
(1)求杆 的高度；（精确到个位）
(2)一辆小汽车从A点驶向B点，摄像头两次测速抓拍的时间间隔为 秒．若 ，此路段的限速
是40千米/小时，试判断这辆小汽车是否超速违章，并说明理由．（参考数据： ，
， ， ）
类型三、坡度问题
例．如图某中学依山而建，校门A处有一坡度 的斜坡 ，长度为13米，在坡顶B处看教学楼
的楼顶C的仰角是 ，离B点4米远的E处有一个花台，在E处看楼顶C的仰角是 的延长线交
校门处的水平面于点D．(1)求坡顶B的高度；
(2)求楼顶C的高度 ．
【变式训练1】．如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同
一水平线上的A点出发，沿斜坡 行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E
处，在E处测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平
面内，斜坡 的坡度 ，根据小颖的测量数据，求建筑物 的高度．(结果精确到0.1米．参考数
据： ）
【变式训练2】．如图．为测量学校旗杆 的高度．小明从旗杆正前方 处的点C出发沿坡度为
的斜坡 前进 到达点D，在点D处放置测角仪．测得旗杆顶部A的仰角为 量得测角仪
的高为 ，A、B、C、D、E在同一平面内．且旗杆和测角仪都与地面垂直．(1)求点D到地面 的铅垂高度．（结果保留根号）
(2)求旗杆 的高度．（结果精确到 ，参考数据：
）
【变式训练3】．如图是某校运动会主席台的侧面示意图， 是主席台上的背景墙，数学兴趣小组想利用
所学知识测量背景墙 的高度．他们在距离主席台底端 处 的 处竖立测角仪 ，从 处测得背
景墙顶端 处的仰角为 ， ， ， ， ， ， 均在同一平面内）．已知 长为 ，斜坡
的坡度 ， 坡长为 ， ，测角仪 高 ，求背景墙 的高．（结果保留1位
小数，参考数据： ． ．
【变式训练4】．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小
明在A点处测得山顶点C的仰角为 ，他从点A出发，沿 爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为 米的山坡 到达点D， 的坡度为 ，然后沿水平观景步道 走了900米到达点E，此时
山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡 到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，
小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据： ， ）
(1)求山顶C到
的距离（结果保留整数）；
(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分
（小红在山坡
、山坡
段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
课后作业
1．某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行
维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从 ，
也可选择乘坐观光车从 ．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B
在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且 米．（参考数据： ，
， ）
(1)求 的长度（精确到个位）；(2)已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，
应选择乘坐空中缆车还是观光车？
2．（1）如图：为测量河宽 （假设河的两岸平行），在点 处测得 ，在点 处测得
，且 ，则河宽 为多少 （结果保留根号）．
（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点 处测得旗杆顶部点 的仰角为 ，旗杆底部点 的俯角
为 ．若旗杆底部点 到建筑物的水平距离 米，旗杆台阶高 米，则旗杆顶点 离地面的高度为多
少米（结果保留根号）．
3．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂 ，连杆 ，悬臂 和安装在 处的摄像头组成．如图
2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂 ， ，固定
，可通过调试悬臂 与连杆 的夹角提高拍摄效果．
(1)当悬臂 与桌面 平行时， =___________°
(2)问悬臂端点 到桌面 的距离约为多少？(3)已知摄像头点 到桌面 的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂 与连杆 的夹角 的
度数约为多少？（参考数据： ）
4．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社
区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为5米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高
为 米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 米；参考数据：
， ， ）
