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专题 02 解直角三角形实际应用的三种考法
类型一、仰角俯角问题
例．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为
和 ，矩形建筑物宽度 ，高度 ．则信号发射塔顶端到地面的高度（即 的长）
为多少？
【答案】
【分析】设 ，分别借助三角函数表示出 ；根据 即可建立方程求解．
【详解】解：设
由图可知：
则
解得：
则
答：信号发射塔到地面的高度为 ．
【点睛】本题考查三角函数与仰角、俯角问题．找到直角三角形，利用三角函数表示出相关线段长度是解
题关键．
【变式训练1】．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景
平台 观景，然后再沿着坡角为 的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面
的垂直距离为 ．如下图， ， ， ，求斜坡 的长度．（结果
精确到 ， ， ， ， ， ，）
【答案】
【分析】延长 交 于点F，过D作 于G，由解直角三角形可求得 ，从而求得 ，则可
得 ，在 中由三角函数即可求得 的长．
【详解】解：延长 交 于点F，过D作 于G，如图；
则 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
∴
即斜坡 的长度为 ．
【点睛】本题考查了与坡角有关的解直角三角形的应用，理解题意，作出适当的辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
【变式训练2】．国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树场馆群，是我国首座符合国
际标准的冬奥会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲线完美融合，因此，被形象
地称为“雪如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，大跳台与标准台水平
相距 米，大跳台坡角 ，标准台坡角 ．求大跳台与标准台出发点落差
是多少？（参考数据： ， ， ； ， ，
，结果保留整数．）
【答案】大跳台与标准台出发点落差 约为 米．
【分析】先求解 ，过 作 于 ，而 ， ，可得四边形
是矩形，可得 ， ，再分别求解 ， ，从而可得答案．
【详解】解：∵大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，
∴ ，
过 作 于 ，而 ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴大跳台与标准台出发点落差 约为 米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
【变式训练3】．投影仪，又称投影机，是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投
影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆 与地面 垂直，且 的长为 ，脚杆
的长为 ， 距墙面 的水平距离为 ，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角 ，脚
杆 与地面的夹角 ，求光源投屏最高点与地面间的距离 ．（参考数据： ，
， ， ，结果精确到 ）
【答案】光源投屏最高点与地面间的距离 约为 ．
【分析】过点A作 ，垂足为G，过点D作 ，垂足为H，则 ，
， ，先在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出
的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而根据 ，进行
计算即可解答．
【详解】解：过点A作 ，垂足为G，过点D作 ，垂足为H，
则 ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴光源投屏最高点与地面间的距离 约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
类型二、方位角问题
例．如图，湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援
船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿 方向行驶，与救援船相
遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东 方向上，B在A的东北方向上，且在C的正南方
向900米处．
(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米．参考数据： ）；
(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在7分钟内将
该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【答案】(1)湖岸A与码头C的距离约为2459米
(2)快艇能在7分钟内将该游客送上救援船，理由见解析
【分析】（1）过点A作 交 延长线于点D，根据题意得 ， ，
米， ，所以 ，设 米，在 中，利用三角函数求出
，即可求出 解决问题；（2）设快艇在y分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400
米/分，列出方程进而可以解决问题．
【详解】（1）解：如图，过点A作 交 延长线于点D，
根据题意可知： ， ， 米， ，
， ，
，
设 米，
在 中，
，
解得：
（米），
答：湖岸A与码头C的距离约为2459米；
（2）解：快艇能在7分钟内将该游客送上救援船，理由如下：
设快艇在y分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，
，
，
答：快艇能在7分钟内将该游客送上救援船．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
【变式训练1】．小明在学习直角三角形的三角函数时发现：
如图1，在 中， 所对的边分别是a、b、c，
∵ ， （ ）
∴ ．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．(1)如图2，在锐角三角形 中， 所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函
数的有关知识验证 ；
(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西
的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东 的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯
塔A在货轮的北偏西 的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．
【答案】(1)见解析
(2)货轮距灯塔A的距离为 海里
【分析】（1）过点A作 于点D，过点B作 于点H，在 中表示出 ，在
中表示出 ，即可求证；
（2）由（1）中所得结论可推出： ，据此即可求解．
【详解】（1）解：过点A作 于点D，过点B作 于点H
在 中，∵ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴
同理可得∴
（2）解：由题意可得
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 海里．
此时货轮距灯塔A的距离为 海里．
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．构造直角三角形是解题关键．
【变式训练2】．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处
的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿 方向行驶，与救
援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知B在C的正西方向，A在C的北偏西 方向，B在A的南偏
东 方向1800米处．
(1)求湖岸A与码头C的距离（结果可含根号）；
(2)救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为420米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将
该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据： ， ，
）
【答案】(1) 米
(2)能，理由见详解
【分析】（1）根据题意可知： ， ， ，即有 ，，可得 ，即 ，在 中，有
，问题得解；
（2）设快艇将游客送上救援船时间为 分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程=
，列出方程，求出时间 ，再和6分钟进行比较即可求解．
【详解】（1）解：作 ，交 延长线于点 ，
根据题意可知： ， ， ，
∴ ， ，
∴在 中， （米），
即 （米），
∴在 中， （米）；
（2）解：设快艇将游客送上救援船时间为 ，
此时快艇与救援船行驶的总距离为： 米，
∵在 中， 米， 米，
∴ （米），
∴ （米），
则 ，
解得： ，6min内可以将该游客送上救援船．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．
【变式训练3】．如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，远处有一个小岛A，在 点测得小岛A在北偏东
60°，航行60海里到达 点，这时测得小岛在A在北偏东45°的方向上．
(1)若渔船不改变航线继续向东航行，距离A岛的最短距离是多少？（结果保留根号）
(2)渔船行至 点时，忽然发现油料短缺，遂就地停船休整，与此同时，在正东方向，距离 点180海里的
救援船 前来救援，请问当小岛A、渔船 和救援船 所组成的三角形是直角三角形时，此时救援船 距
离小岛A有多远？（结果保留根号）
【答案】(1)距离A岛的最短距离是 海里
(2)此时救援船 距离小岛A为 海里
【分析】（1）过点 作 于 ，过点A作 于 ，根据角的关系得出
，再根据等角对等边得出 ，设 ，在 中，根据勾股
定理求解即可得出答案；
（2）过点A作 于 于A，交 于 ，易证 为等腰直角三角形，再根据三角函数即可得
出答案．
【详解】（1）过点 作 于 ，
由题意知 ，
∴ ，
过点A作 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，由题意知 ， ，
在 中， ， ，
勾股得 ，
∴ ，
解得 ， （舍），
∴
答：距离A岛的最短距离是 海里．
（2）过点A作 于 于A，交 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ （海里），
当救援船 到达点 时，A、 、 组成的三角形为直角三角形，
答：此时救援船 距离小岛A为 海里．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用及解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练4】．如图， 是某景区一段坡度 的上坡路段， 为竖直（与水平面垂直）的监控立
杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安装调试摄像头时，在摄像头D处
测得点A的俯角为 ，点B的俯角为 ．已知 米，点O、A、B、C、D、E、在同一平面内．(1)求杆 的高度；（精确到个位）
(2)一辆小汽车从A点驶向B点，摄像头两次测速抓拍的时间间隔为 秒．若 ，此路段的限速
是40千米/小时，试判断这辆小汽车是否超速违章，并说明理由．（参考数据： ，
， ， ）
【答案】(1)杆 的高度约为9米；
(2)小汽车没有超速违章，理由见解析
【分析】（1）过点D作 ，过点B作 交 的延长线于点M，设 为x，则 为
7x，由勾股定理求得 米， 米，进而得到 为9米；
（2）过点C作 于点N，由 推导出 ，进而得到 米，
米， 米，推导出小汽车的速度为 千米/小时，进而得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点D作 ，过点B作 交 的延长线于点M，
∵ 是坡度 的公路，
∴设 为x米，则 为7x米，
由勾股定理得： ，
∵ 米，
∴ ，
∴ ，即 （米），
∵ ，
∴ （米），
∴ （米），答：杆 的高度约为9米；
（2）小汽车没有超速违章．理由如下： 如图，过点C作 于点N，
由题可知， ， ∵ ， ∴ ，
由（1）得 米， ∴ （米），
∵ ， ∴ （米），
∴ （米），
∴此时小汽车的速度为 （米/秒） （千米/小时），
∵ ，
∴小汽车没有超速违章．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的
正弦，余弦，正切是解题的关键．
类型三、坡度问题
例．如图某中学依山而建，校门A处有一坡度 的斜坡 ，长度为13米，在坡顶B处看教学楼
的楼顶C的仰角是 ，离B点4米远的E处有一个花台，在E处看楼顶C的仰角是 的延长线交
校门处的水平面于点D．
(1)求坡顶B的高度；
(2)求楼顶C的高度 ．
【答案】(1)5米；
(2) 米．
【分析】（1）过B作 于M，由坡度设 ，由勾股定理即可求解；（2）在 中，利用正切三角函数可分别表示 ，由此建立方程可求得 ，进而可求得
的长．
【详解】（1）解：过B作 于M，如图，
∵斜坡 的坡度为 ，
∴设 ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
即坡顶B的高度为5米；
（2）解：由题意知： ，且 ，
在 中， ，即 ；
在 中， ，即 ；
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 米．
【点睛】本题考查了与俯角、坡度有关的解直角三角形，分别求得 并建立方程是解题的关键．【变式训练1】．如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同
一水平线上的A点出发，沿斜坡 行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E
处，在E处测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平
面内，斜坡 的坡度 ，根据小颖的测量数据，求建筑物 的高度．(结果精确到0.1米．参考数
据： ）
【答案】建筑物 的高度约为 米
【分析】过 作 于 ，延长 交 于 ．则四边形 是矩形，得 ，在
中求出 ，再解直角三角形求出 、 的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，过 作 于 ，延长 交 于 ．
则四边形 是矩形，
，
在 中， 米， ，设 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，即 ，
（米），
（米），
在 中， ，
是等腰直角三角形，
（米），
在 中， ， ，
（米），米．
即建筑物 的高度约为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造直角三角形解决问题．
【变式训练2】．如图．为测量学校旗杆 的高度．小明从旗杆正前方 处的点C出发沿坡度为
的斜坡 前进 到达点D，在点D处放置测角仪．测得旗杆顶部A的仰角为 量得测角仪
的高为 ，A、B、C、D、E在同一平面内．且旗杆和测角仪都与地面垂直．
(1)求点D到地面 的铅垂高度．（结果保留根号）
(2)求旗杆 的高度．（结果精确到 ，参考数据：
）
【答案】(1) 米
(2) 米
【分析】（1）延长 交 延长线于点 ，则 ，在 中求得 ；
（2）作 ，可得 、 ，根据 、
可得答案．
【详解】（1）解：延长 交射线 于点 ．由题意得 ．
在 中， ， ．
．
．
米，
米， 米．
∴点 的铅垂高度是 米．
（2）过点 作 于 ．
由题意得， 即为点 观察点 时的仰角，
．
， ， ，
．
四边形 为矩形．
米．
（米）．
在 中， ，
（米）．
（米）．
答：旗杆 的高度约为 米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的
定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．【变式训练3】．如图是某校运动会主席台的侧面示意图， 是主席台上的背景墙，数学兴趣小组想利用
所学知识测量背景墙 的高度．他们在距离主席台底端 处 的 处竖立测角仪 ，从 处测得背
景墙顶端 处的仰角为 ， ， ， ， ， ， 均在同一平面内）．已知 长为 ，斜坡
的坡度 ， 坡长为 ， ，测角仪 高 ，求背景墙 的高．（结果保留1位
小数，参考数据： ． ．
【答案】背景墙 的高约为21.7米
【分析】延长 与 交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，如图所示，
由坡度得到 ，设 米，则 米，在 中，由勾股定理得到 ，在
中，由正切三角函数列式求解即可得到答案．
【详解】解：延长 与 交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，如图所
示：
由题意得： ， ， 米， 米， ， 米，
，
斜坡 的坡度 ，
，
设 米，则 米，
在 中， ， （米 ，米，
，
，
米， 米，
（米 ，
在 中， （米 ，
（米 ，
背景墙 的高约为21.7米．
【点睛】本题考查三角函数测高，理解坡度、掌握解三角形的实际应用是解决问题的关键．
【变式训练4】．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小
明在A点处测得山顶点C的仰角为 ，他从点A出发，沿 爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长
为 米的山坡 到达点D， 的坡度为 ，然后沿水平观景步道 走了900米到达点E，此时
山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡 到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，
小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据： ， ）
(1)求山顶C到
的距离（结果保留整数）；
(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分
（小红在山坡
、山坡
段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
【答案】(1)山顶C到 的距离约为1873米
(2)小红先到达山顶C处，理由见解析
【分析】（1）过点D作 于点H，过点C作 于点M，交 延长线于点K．由 的坡度为 ，得到 ，在 和 中，利用特殊三角函数值分别求出 ， ，即可求
出 ；
（2）在 中， ，得到 ，分别计算出小明，小红所用的时间
比较即可．
【详解】（1）解：过点D作 于点H，过点C作 于点M，交 延长线于点K．
由题意得， ， ，
∵ 的坡度为 ，
∴ ，
在 中， ， 米，
∴ 米，
在 中， ， 米，
∴ 米，
∴ （米）
答：山顶C到 的距离约为1873米．
（2）解：小红先到达山顶C处，理由如下：
由题意得，在 中， ，
∴ 米，
∴小明到达山顶所需时间为： （分），小红到达山顶所需时间为： （分），
∵ ，
∴小红先到达山顶C处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
课后作业
1．某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行
维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从 ，
也可选择乘坐观光车从 ．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B
在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且 米．（参考数据： ，
， ）
(1)求 的长度（精确到个位）；
(2)已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，
应选择乘坐空中缆车还是观光车？
【答案】(1) 米；
(2)应选择乘坐观光车．
【分析】（1）作 于M， 于N，推出四边形 是矩形，得到 ，
求出 （米），由锐角的正切定义求出 的长，由 是等腰直角三角形，得
到 ，求出 的长，即可解决问题；
（2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断．【详解】（1）解：作 于M， 于N，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ （米），
∵ ，
∴ （米），
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ （米），
∴ （米），
∴ （米）；
（2）解：由勾股定理得到 （米），
∴ （米），
∴乘坐观光车的时间是 （分钟），
乘坐空中缆车的时间是 （分钟），
∴应选择乘坐观光车．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，
应用三角函数定义来解决问题．
2．（1）如图：为测量河宽 （假设河的两岸平行），在点 处测得 ，在点 处测得，且 ，则河宽 为多少 （结果保留根号）．
（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点 处测得旗杆顶部点 的仰角为 ，旗杆底部点 的俯角
为 ．若旗杆底部点 到建筑物的水平距离 米，旗杆台阶高 米，则旗杆顶点 离地面的高度为多
少米（结果保留根号）．
【答案】（1）河宽 为 ；（2）旗杆顶点 离地面的高度为 米
【分析】（1）根据 ， ，则 ，根据等角对等边， ，在
中，根据 ，得出 的长即可；
（2）作 于点 ，构成两个直角三角形．运用锐角三角函数分别求出 和 ，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．答：河宽 为 ；
（2）解：如图，作 于点 ．
∵根据题意可得：在 中，有 ，
在 中，有 ，
∴ ，
∴旗杆顶点 离地面的高度为 米．
答：旗杆顶点 离地面的高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
3．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂 ，连杆 ，悬臂 和安装在 处的摄像头组成．如图
2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂 ， ，固定
，可通过调试悬臂 与连杆 的夹角提高拍摄效果．
(1)当悬臂 与桌面 平行时， =___________°(2)问悬臂端点 到桌面 的距离约为多少？
(3)已知摄像头点 到桌面 的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂 与连杆 的夹角 的
度数约为多少？（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解；
（2）过 作 与 交于 ，过 作 与 交于 ，可推出四边形 为矩形， ；
在 中解出 ，即可求解；
（3）过 作 ， ，在 中解出 即可求解．
【详解】（1）解：如图：当悬臂 与桌面 平行时，作
，悬臂 也与桌面平行
∴
故答案为：
（2）解：过 作 与 交于 ，过 作 与 交于∴四边形 为矩形
∴ ，
∵
∴
在 中
∵
∴
∴
（3）解：过 作 ， ，
∴
在 中
∴
∵∴
∴
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键．
4．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社
区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为5米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高
为 米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 米；参考数据：
， ， ）
【答案】 米
【分析】过 作 于 ， 于 ，在 中， （米），
（米），可得 米， （米），而 ，知
米，故 ，计算即可．
【详解】解：过 作 于 ， 于 ，如图：
在 中，
（米）， （米），
，
四边形 是矩形，
米， （米），
在 中，
，
米，（米），
阴影 的长约为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
