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专题 03 二次函数图像与各项系数关系的三种考法
类型一、图像与a，b，c，之间关系
例．如图，已知二次函数 的图象与x轴分别相交于A，B两点，与y轴相交于点C，
，则由抛物线的特征判断以下结论：① ；② ；③ ；④ ，
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据函数图象得 ， ，即可判断①；根据函数图象得函数有两个不相等的实数根，
得 ，即可判断②；根据函数图象得，当 时， ，即可判断③；根据函数的图象
得 ，根据 ，得 ，当 时， ，即可判断④；即可得．
【详解】解：根据函数图象得 ，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
根据函数图象得函数有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故②错误；
根据函数图象得，当 时， ，
故③正确；
根据函数的图象得 ，
∵ ，∴ ，
当 时， ，
，
故④正确；
综上，①③④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
【变式训练1】．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴的交点
在 和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论： ； ；
； ； ．其中正确的结论有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据对称轴、图象开口方向、与 轴的交点判断出 的符号，从而判断①；根据对称轴得
到函数图象经过 ，从而判断②；根据图象与 轴有两个交点可以得到 ，从而可以判断③；
根据二次函数 的图象与 轴的交点在 和 之间可以得出 ，再根
据 即可判断④，根据 ，进行比较即可判断⑤，从而得到答案．
【详解】解： 函数开口向上，
，
对称轴在 轴右侧，
异号， ，
抛物线与 轴交点在 轴负半轴，，
，故①正确，符合题意；
图象与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
图象与 轴的另一个交点为 ，
当 时， ，故②错误，不符合题意；
由图象可得：抛物线与 轴有两个交点，
，
，
，
，
，故③正确，符合题意；
二次函数 的图象与 轴的交点在 和 之间，
，
图象与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
， ，
， ，
，
，故④正确，符合题意；
，
，
，故⑤正确，符合题意；
综上所述，正确的有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物
线与 轴的交点位置确定，利用数形结合的思想是解此题的关键．
【变式训练2】．如图，抛物线 经过点 ， ，且 ，有下列结论：①；② ；③ ；④ ．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】利用函数图象，由抛物线开口方向得 ，由抛物线的对称轴位置得 ，由抛物线与 轴的
交点位置得 ，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．
【详解】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在 轴的右侧，
，故①正确，符合题意；
抛物线经过点 ，
，
，
故②正确，符合题意；
，
，
，
，
，
故③不正确，不符合题意；
当 时， ，
，
， ，
，故④正确，符合题意．
故选： ．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．【变式训练3】．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴的交点B
在 和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵函数开口方向向上，
∴ ，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号， ，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵图象与x轴交于点 ，对称轴为直线 ，
∴图象与x轴的另一个交点为 ，
∴当 时， ，
∴ ，故②错误；
③∵抛物线与y轴B交点在 和 之间，对称轴为直线 ，
∴顶点纵坐标要小于 ，∴ ，且 ，
∴ ，故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在 和 之间，
∴ ，
∵图象与x轴交于点 和 ，
∴ 的两根为 和3，
由韦达定理可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
⑤∵对称轴为直线为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数 系数符号由抛物线开口
方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．
【变式训练4】．如图是二次函数 的图象，其对称轴为 ．下列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤若 ， 是抛物线上两点，则 ；⑥若
点 在该抛物线上，则 ．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向得到 ，根据对称轴得到 ，由抛物线与y轴的交点位置得到 ，
则可对①进行判断；由 可对②进行判断；根据 得出 ，从而把 化简为
，然后结合 ， 可对③进行判断；观察图形可得出当 时， ，然后结合
求出 ，可对④判断；通过二次函数的增减性可对⑤进行判断；根据函数在顶点处取最大
值可对⑥判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴ ，
∴ ，
故①错误；
∵ ，
∴ ，
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，即 ，
故③错误；
观察图形可知：当 时， ，
即 ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ， 在抛物线上， ，
∴ ，故⑤正确；
当 时， ，
当 时， 有最大值为 ，
∴ ，
∴ ，
故⑥正确；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观
察函数图象，逐一分析各结论的正误是解题的关键．
类型二、二次函数与一次函数图像
例1．抛物线 和直线 在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可．
【详解】解：A．由二次函数图象的开口方向可知 ，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号， ，
此时直线 应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合要求；
B．由二次函数图象的开口方向可知 ，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号， ，此时直线
应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
C．由二次函数图象的开口方向可知 ，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号， ，此时直线
应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
D．由二次函数图象的开口方向可知 ，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号， ，此时直线
应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；故选D．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析
式中系数的正负．
【变式训练1】．在同一直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的大致图像可能
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 的图象相比是
否一致．【详解】解：A．由抛物线可知， ，即 ，由直线可知， ，故本选项不符
合题意；
B．由抛物线可知， ，即 ，由直线可知， ，
∵抛物线与y轴的交点为 ，直线与y轴的交点为 ，
∴抛物线与y轴的交点与直线与y轴的交点关于x轴对称，
而图中两个点明显不关于x轴对称，故本选项符合题意；
C．由抛物线可知， ，即 ，由直线可知， ，且图中抛物线与y轴的交点
与直线与y轴的交点关于x轴对称，故本选项符合题意；
D．由抛物线可知， ，即 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象
经过的象限是解题的关键．
【变式训练2】．在同一平面直角坐标系中，函数 和函数 （m是常数，且
）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象判断两个 值，函数的图象是否正确即可得到答案．
【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中 ，二次函数解析式中 ，故该选项不符
合题意；
B、根据函数图象可知：一次函数解析式中 ，二次函数解析式中 ，但对称轴 ，矛盾，
故该选项不符合题意；
C、根据函数图象可知：一次函数解析式中 ，二次函数解析式中 ，故该选项不符合题意；
D、根据函数图象可知：一次函数解析式中 ，二次函数解析式中 ，两者符号相同，根据， 得抛物线的对称轴应在 轴的左侧，与图象相符，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函
数图象是解题的关键．
【变式训练3】．已知一次函数 （ 为常数）的图象如图所示，则函数 的图象是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象，确定 的取值范围，进而进行判断即可．
【详解】解：∵ 的图象过一、二、四象限，
∴ ，
∵ ， ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线的开口向上，顶点位于第一象限，
故满足题意，只有选项D．
故选D．【点睛】本题考查二次函数和一次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数和二次函数的性质．
【变式训练4】．如图，函数 的图象过点 ，那么函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象判断 ，由函数 的图象过点 ，得出 ，即
可得出函数 的图象经过点 ，据此即可得出结论．
【详解】解： 对称轴在 轴的右侧，
、 异号，
，
，
直线 随 的增大而减小，
函数 的图象过点 ，
，
函数 的图象经过点 ，
故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，能够判断直线 随 的增
大而减小，且经过点 是解题的关键．
类型三、二次函数与反比例函数图像
例．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 和反比例函数 在同一直角坐标系
中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象推出 ，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可
得到答案．
【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 经过第一、三、四象限，反比例函数 经过第二、四象限，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应
的系数关系是解题的关键．
【变式训练1】．在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数 的大致图像可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 的取值范围分当 时和当 时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以
及二次函数的图像与性质进行判断即可．
【详解】解：当 时，反比例函数 的图像经过一、三象限，二次函数 的图像开口向
上，其对称轴 在 轴右侧，且与 轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意；
当 时，反比例函数 的图像经过二、四象限，二次函数 的图像开口向上，其对称轴
在 轴左侧，且与 轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据 的取值
范围分当 时和当 时两种情况进行讨论．
【变式训练2】．函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】先根据抛物线顶点排除A、C，然后根据函数 图象得到 的正负，再与二次函数
的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由函数 可知抛物线的顶点为 ，故A、C不合题意；
B、由抛物线可知， ，由双曲线可知， ，故B不合题意；
D、由抛物线可知， ，由双曲线可知， ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象，反比例函数的图象，熟记反比例函数与二次函数的有关性质是解题的
关键．
【变式训练3】．二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 的取值范围分当 时和当 时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次
函数图象和性质进行判断即可．
【详解】当 时，反比例函数 的图象经过第一、三象限，当 时，二次函数 图象，
开口向上，对称轴 在y轴左侧，则A选项不符合题意，当 时，二次函数 图象，开口向下，对称轴 在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意；
当 时，反比例函数 的图象经过第二、四象限，当 时，二次函数 图象，开口向上，
对称轴 在y轴右侧，则D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对 的取值进行分类讨论
（当 时和当 时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析
式进行求解．
【变式训练4】．若双曲线 的两个分支在第二、四象限内，则抛物线 的图象大
致是图中的（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线 的图象位置可知 ；再根据k的符号判断抛物线的开口方向及对称轴，
从而得出答案．
【详解】解：∵双曲线 的两个分支在第二、四象限内，
∴ ，
∴抛物线开口向下，可以排除C、D选项；
对称轴 ，
∴抛物线的对称轴在y轴的左边．可以排除B选项，
∴A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象和二次函数图象．熟练掌握反比例数图象和二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
课后作业
1．函数 与 在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 ， ，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当 时，反比例函数 ，在二、四象限，而二次函数 开口向下，与y轴交点在原点上
方，故选项B、C、D都不符合题意，选项A符合题意；
②当 时，反比例函数 ，在一、三象限，而二次函数 开口向上，与y轴交点在原点下
方，故选项A、B、C、D都不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的
特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
2．函数 ， 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数 的图
像可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与 轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设 ， ，
由图像知， ， ， ， ， ， ， ，
∴ ，
∵函数 的图像开口大于函数 的图像开口，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴函数 的图像是抛物线，开口向下，对称轴在 轴的右侧，与 轴的交点在 轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在 轴的右侧，与 轴的交点在 轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在 轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：
二次函数 的 越大，图像开口越小．
3．二次函数二次函数 的图象如图所示．下列结论：
① ；② ；③ 为任意实数、则 ；④ ；⑤若
且 ，则 ，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
， ， ，
，
，
故①错误；
② 对称轴是直线 ，与x轴交点在 左边，
二次函数与x轴的另一个交点在 与 之间，
∴当 时， ，
，
故②错误；
③ 对称轴是直线 ，图象开口向下，
时，函数最大值是 ，
m为任意实数，则 ，
，
③正确；
④ ，
，
由②得 ，
，
④正确；
⑤ ，
，
，，
，∴ ， ，
， ， ， ⑤正确；
综上可知，正确的有③④⑤，共3个，故选：C．
【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质、二
次函数与一元二次方程的关系．
4．已知二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，则下列
结论正确的是（ ）
①当 时， 随 的增大而减小；
②若图象经过点 ，则 ；
③若 ， 是函数图象上的两点，则 ；
④若图象上两点 ， 对一切正数 ，总有 ，则 ．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解
答本题．
【详解】解：①：∵二次函数 为非零常数， ，
，
又∵当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，开口向下，
∴当 时， 随 的增大而减小，
故①正确；
②：∵二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，
，
若图象经过点 ，则 ，得 ，，∴ ，
故②错误；
③：又∵对称轴为直线 ， ，
∴ ，
∴若 ， 是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则 ，
故③正确；
④若图象上两点 ， 对一切正数n，总有 ， ，
∴该函数与x轴的两个交点为 ，
∴ ，
解得 ，
故④正确；
∴①③④正确；②错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
5．二次函数 和一次函数 在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数 的性质和二次函数 的性质即可判断
【详解】解：A选项中二次函数图象开口朝下，可得 ，由一次函数图象可得 ，故此选项错误；B选项中二次函数图象开口朝上，可得 ，可得 ，又由一次函数图象可得 ，故
此选项正确；
C选项二次函数图象开口朝上，可得 ，由一次函数图象可得 ，故此选项错误；
D选项二次函数图象开口朝上，可得 ，可得 ，由一次函数图象可得 ， 故此选项
错误；
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的基本性质，熟练的掌握函数图象的基本性质是解题的
关键．
