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专题 02 绝对值化简的三种考法
【知识点精讲】
1. 绝对值的意义
|a|
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作
2. 绝对值的性质
|a|
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性 ≥0，即：
互为相反数的两个数绝对值相等
3. 绝对值与数的大小
1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值
例．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： 的结果是（ ）
A．a–2c B．–a C．a D．2b–a
【答案】C
【详解】由数轴上a、b、c的位置关系可知：aa，c>b，a<0，∴a–b<0，c–a>0，b–
c<0，∴ =b–a–（c–a）+（c–b）–（–a）=b–a–c+a+c–b+a=a．故选
C．
【变式训练1】已知有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且
（1）求 和 的值
（2）化简：
【答案】（1） ； ；（2） ．【分析】（1）根据 且a、b位于原点两侧，得到a、b互为相反数，然后进行求解即
可；
（2）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解．
【详解】（1）∵ 且a、b位于原点两侧
∴a、b互为相反数
∴ ，
（2）如图可得：c＜b＜0＜a且
∴a＞0，a=-b即a+b=0，c-a＜0，c-b＜0，-2b＞0
因此
=
=
=
【点睛】本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，其中根据去掉绝对值是解答本题
的关键.
【变式训练2】解答下列问题
（1）若有理数 、 满足 ，且 ，求 的值．
（2）已知有理数 、 、 的在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
【答案】（1）6或8．
（2） ．
【分析】（1）根据绝对值的性质解得x，y的值，分情况讨论得出符合条件的x，y的值，
即可解．
（2）根据数轴可以判断a、b、c的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ 或 ， 或 ，
①当 ， 时， （舍去），
②当 时， ，
③当 时， ， ．
④当 时， ， ．
则②3④满足，则 或8．
（2）由题得： ，
∴．
【点睛】考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉，
利用数形结合的思想解答．
【变式训练3】已知a、b、c在数轴上位置如图所示：
(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b-a 0； c-b 0； a+c 0；
(2)化简：
【答案】（1）＞；＜；＜；（2）a+3c
【分析】（1）先根据数轴判断a、b、c的符号及大小，再根据有理数的加减法，可得答案；
（2）由（1）中的判断，再根据绝对值的性质，可化简去掉绝对值，合并同类项，可得答
案．
【详解】解：（1）由数轴可知c＜a＜0＜b,
∴b-a＞0； c-b＜0； a+c＜0；
（2）∵b-a＞0； c-b＜0； a+c＜0
∴ =b-a-(b-c)-2(-a-c)=b-a-b+c+2a+2c=a+3c
【点睛】本题考查了绝对值的性质及数轴的有关知识，利用数轴判断出a、b、c的符号及
大小关系，再用绝对值的性质化简是解题关键.
类型二、分类讨论化简
例1．若 ，且 ，求 的值．
【答案】 或 .
【分析】先 判定x、y的大小，然后 确定x、y的值进行分类解答.
【详解】解： ，当 时， ，则 ；当 时，
，则 .
【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于确定x，y的大小和分类讨论.
例2.若a，b，c都是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值．
【答案】±1或±3.
【详解】分析：要对a，b，c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取
值，代入求值．
详解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：
①当a，b，c都是正数时， + + =3；②当a，b，c都是负数时， = = =﹣1，所以和为﹣3；
③当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 、 、 中有两个1，一个﹣1，和为1．
④当a，b，c中有一个正数、两个负数时， 、 、 中有两个﹣1，一个+1，所以和为
﹣1． 综上所述： + + =±1或±3．
点睛：分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【变式训练1】已知ab＞0，则 （ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3
【答案】C
【详解】解：设 ，分四种情况讨论：
①当a＞0，b＞0时，M=1+1+1=3；
②当a＜0，b＜0时，M=﹣1+（﹣1）+1=﹣1；
③a＞0，b＜0时，M=1﹣1﹣1=﹣1；
④当a＜0，b＞0时，M=﹣1+1﹣1=﹣1．
故选C．
点睛：本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键．
【变式训练2】已知 化简： =__________．
【答案】-a-3b-c
【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.
【详解】解：∵
∴a≤0，b＜0，c≥0
∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0
∴ =-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c
故答案为-a-3b-c.
【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为
其相反数，是解答本题的关键.【变式训练3】若 ，则 _______．
【答案】2或-2.
【分析】对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解．
【详解】解：当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1-1=2；
当a、b、c中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式=-1+1+1+1=2；
当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式=-1-1+1-1=-2；
当a、b、c都是负数时，则原式=-1-1-1+1=-2，
总是代数式的值是2或-2，
故答案为：2或-2.
【点睛】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键．
【变式训练4】①若2a与1－a互为相反数，则a=_________.
②已知|a|=3，|b-1|=4，|a-b|=b-a，则a+b=_____________.
【答案】 -1 8或2或-6
【分析】①根据互为相反数的两数和为0，列等式求解；②根据绝对值性质求出a，b值，
再根据 确定a≤b，根据此关系确定a，b的值求解即可.
【详解】解：①∵2a与1－a互为相反数，
∴2a+(1-a)=0，∴a=-1.
②∵|a|=3，∴a=3或a= -3；
∵|b-1|=4，∴b-1=4或b-1= -4，∴b=5或b= -3.
∵|a-b|=b-a，∴a-b≤0，∴a≤b.
∴a=3，b=5或a= -3，b=5或a= -3，b= -3，
∴a+b=3+5=8或a+b=(-3)+5=2或a+b=(-3)+(-3)= -6，即a+b的值为8或2或-6
故答案为①-1；②8或2或-6
【点睛】本题考查相反数和绝对值的性质以及简单代数式求值问题，掌握绝对值的性质是
解答此题的关键.
类型三、几何意义化简绝对值
例．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为 ，则在数轴
上A、B两点之间的距离 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示x的点与表
示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是
．
(2)如果 ，那么 ．(3)若 ，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间
的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)①若数轴上表示x的点位于 与1之间，则 ；
②若 ，则 ．
【答案】(1)3，4
(2)2或
(3)8，2
(4)①4；②5或 ．
【分析】（1）根据距离公式 计算即可．
（2）根据绝对值的意义计算即可．
（3）根据绝对值的意义，确定a，b的值，再最值的意义计算即可．
（4）①根据取值范围，化简绝对值计算即可．
②分 ， ， 三种情况计算即可．
【详解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是： ，数轴上表示1和 的两点
之间的距离是： ；
故答案为：3，4．
（2） ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2或 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或1， 或 ，
∴A，B两点间的最大距离是： ，最小距离是： ；
故答案为：8，2．
（4）①∵x的点位于 与1之间，
∴ ，故答案为：4．
②当 时， ，得到 ，
解得， ；
当 时， ，得到 ，解得， ；当 时， ，得到 ，无解；
综上， 或 ；故答案为：5或 ．
【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握
绝对值方程的计算是解题的关键．
【变式训练1】一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是__________；表示﹣3和2两点之间的距离是
__________；
(2)如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝__________．
(3)若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则 的值为__________；
(4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得 ＝7，这些点表示的数的和是
__________．
【答案】(1)4，5
(2)1或
(3)6
(4)12
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值进行解答即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值得到|a+2|=3，即可得结果；
（3）先根据表示数a的点位于﹣4与2之间可知﹣4＜a＜2，再根据绝对值的性质把原式去
掉绝对值符号求出a的值即可；
（4）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案．
（1）
由题意可得，
数轴上表示5和1的两点之间的距离是：5－1=4，
表示-3和2两点之间的距离是：2-（-3）=5，
故答案为：4，5；
（2）
若表示数a和-2的两点之间的距离是3，则|a+2|=3，解得a=1或a=-5，
故答案为：1或 ；
（3）
∵-4＜a＜2，
∴|a+4|+|a-2|=a+4+2-a=6，故答案为：6；
（4）
当x＞5时，|x+2|+|x-5|=x+2+x-5=2x-3＞7，
当-2≤x≤5时，|x+2|+|x-5|=x+2+5-x=7，
当x＜-2时，|x+2|+|x-5|=-x-2+5-x=-2x+3＞7，
∴使得|x+2|+|x-5|=7的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5，
∵-2+（-1）+0+1+2+3+4+5=12，
故答案为：12；
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨
论的数学思想解答．
【变式训练2】综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
点 在数轴上分别表示有理数 两点之间的距离表示为 ，在数轴上 两
点之间的距离 ．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和 的两点之间的距
离是__________；
独立思考：
（2）数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为__________；
（3）试用数轴探究：当 时m的值为__________．
实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：
（4）利用数轴求出 的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？
（5）当 的值最小时，m的值为__________（直接写出答案即可）．
【答案】（1） ；（2） ；（3）5或 ；（4） ；（5）9
【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离；
（2）根据定义用代数式表示；
（3）分两种情况： 点在2的左边； 点在2的右边；分别列式计算便可；
（4）确定 与1的距离加上 与4的距离之和最小时， 的取舍范围，再在该范围内求整
数；
（5） 表示数轴上某点到表示 、9、16三点的距离之和，依此即
可求解．
【详解】解：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是： ；
数轴上表示3和 的两点之间的距离是 ，故答案为：6；5；
（2）数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ，
故答案为： ；
（3） 表示数 的点与表示数2的点距离为3，
当表示数 的点在2的左边时， ，
当表示数 的点在2的右边时， ，
所以 或5，
故答案为： 或5；
（4） 表示数轴上 和1两点之间的距离， 表示数轴上 和4两点之间的距离，
当且仅当 时，两距离之和最小，
可取的整数有：1，2，3，4．
（5） 表示数轴上 和 两点之间的距离， 表示数轴上 和9两点之间的距
离，
表示数轴上 和16两点之间的距离，
当且仅当 时，距离之和最小，
当 的值最小时， 的值为9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表
示是解题的关键．
课后训练
1．若 时，化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案．
【详解】解： ，
， ，
．
故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用a的取值范围化简是解题关键．
2．在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，
其中正确的结论有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据三点与1的位置关系即可判断①；对于②，根据a、b、c的位置关系化简方
程左端，判断是否等于右端即可；对于③，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；
对于④，首先判断1−bc的符号，然后和a比较即可 ．
【详解】①∵a<1，b<1，c<1
∴a-1<0，b-1<0，c-1<0
∴ ，故①正确；
②∵a0，a+c<0
∴ ，故③正确；
④∵a<-1
∴|a|>1
∵01-bc，故④错误；
故选B
【点睛】本题考查了数轴，有理数，绝对值的化简，题目较难，英重点关注数轴上点和已
知数的位置关系，然后进行推导求解．
3．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ，那么
的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到 ，则 ，
，再进行化简计算，即可得到答案．
【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴当 时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴
=
=
=
=
=0；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正
确的求出 ， ， ．
4．有理数 、 、 在数轴上的位置如图，化简： ___________．
【答案】
【分析】根据数轴得到 ， ，即可判断 ， ，
， ，根据绝对值性质求解即可得到答案．
【详解】解：由数轴可得，
， ，
∴ ， ， ， ，
∴原式 ，
故答案为 ．【点睛】本题考查根据数轴去绝对值，解题的关键是根据数轴判断式子与0的关系及正数
绝对值等于它本身，负数绝对值是它的相反数．
5．若 ， ，则 ______．
【答案】-2或0或4
【分析】对a和b，以及 的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值．
【详解】解：①当 ， 时， ， ，
原式 ；
②当 ， 时， ， ，
原式 ；
③当 ， ，且 时， ，
原式 ；
④当 ， ，且 时， ，
原式 ；
⑤当 ， ，且 时， ，
原式 ；
⑥当 ， ，且 时， ，
原式 ．
故答案是：-2或0或4．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．
6．已知 ， ， 的大小关系如图所示，则下列各式：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ .其中正确的是____．（请填写序
号）
【答案】②③⑤
【分析】根据数轴先求出a、b和c的取值范围，再逐一进行判断即可得出答案.
【详解】由图可得，b<0，00，故②正确； ，故③正确；，故④错误； ，故⑤正确；故答案为
②③⑤.
【点睛】本题考查的是数轴、相反数和绝对值的综合应用，难度较大，需要熟练掌握相关
基础知识.
7．学习过绝对值之后，我们知道 表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2
两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题：
(1) 可以理解为_________与_________两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
(2)已知 ，求x的值；
(3)利用数轴探究：
①满足 的所有整数x的值为_________；
②当x满足_________时， 的值最小最小值是_________；
(4)已知在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距离高速公路起点的距
离分别是 、 、 ．现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P，请直接
指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小，这个最
小距离是多少？
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)① 或 ；② ，
(4)物流集散中心P应该建设在 处，最小距离是
【分析】（1）根据题意可知 表示 与 的差的绝对值，即可求解；
（2）根据题意找出与 相距三个单位的点即可；
（3）①根据题意可知题目是求 与 的距离加上 与 的距离之和等于 ，求解即可；②
根据题意可知： 代表 与 的距离加上 与 的距离之和最小，则 应在 和
之间；
（4）以高速公路起点为数轴原点建立数轴，点 应在 之间，此时
，所以，当 时， 最小．
（1）
解： 可以理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
故答案为： ， ；
（2）
解：∵ ，即 与 的距离为 ，
则 或 ，∴ 或 ；
（3）
解：①根据题意可知题目是求 与 的距离加上 与 的距离之和等于 ，
若 位于 和 之间，则 ，
∵原式 ，
∴ 只能位于点 的左侧或 的右侧，
当 时：原式整理为： ，
解得： ；
当 时，原式整理为： ，
解得： ；
综上：满足 的所有整数x的值为： 或 ；
②根据题意可知： 代表 与 的距离加上 与 的距离之和，
要使其最小则 应在 和 之间，
即 时， 的值最小最小值是 ；
故答案为：① 或 ；② ， ；
（4）
解：以高速公路起点为数轴原点建立数轴，如图：
则 ，
显然，当点 位于 点左侧或者 点右侧时， ，
当点 位于 、 之间时， ，
∴当 ，即 与点 重合时， 最小，
故物流集散中心P应该建设在 处，
可使P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是 ．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值，借助数轴可以使有关绝对值的问题转换为数轴上有关
距离的问题，反之，有关数轴上距离问题也可转换为绝对值问题，这种相互转换在解决问
题时可以带来方便，也考查了数轴上两点之间的距离．
8．有理数 、 在数轴上的对应点位置如图所示，化简 .
【答案】
【分析】结合数轴，确定a+1，2-b，a+b-1的符号是正或负，再结合绝对值的非负性，去掉
绝对值符号，最后去括号合并同类项即可完成.【详解】根据数轴，
【点睛】本题考查数轴以及绝对值的化简，难度较大，属于易错题，熟练掌握绝对值的非
负性以及有理数加减法的运算法则是解题关键.
9．已知a，b，c在数轴上的位置如下图，且|a|＜|c|．
(1)abc 0，c＋a 0，c－b 0(请用“＜”，“＞”填空)；
(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|．
【答案】（1）＞；＜；＜（2）
【分析】（1）观察数轴可知， ， ，根据有理数的乘法运算
法则和加减法运算法则即可解答；
（2）根据绝对值的非负性，结合数轴即可化简绝对值.
【详解】解：（1）由数轴得： ， ，
∴ ， ，
故答案为＞；＜；＜
（2）∵ ， ，
∴
【点睛】本题考查数轴、有理数的加减法、乘法以及化简绝对值，熟练掌握各个知识点是
解题关键.
