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专题 02 绝对值化简的三种考法
【知识点精讲】
1. 绝对值的意义
|a|
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作
2. 绝对值的性质
|a|
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性 ≥0，即：
互为相反数的两个数绝对值相等
3. 绝对值与数的大小
1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值
例．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： 的结果是（ ）
A．a–2c B．–a C．a D．2b–a
【变式训练1】已知有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且
（1）求 和 的值
（2）化简：【变式训练2】解答下列问题
（1）若有理数 、 满足 ，且 ，求 的值．
（2）已知有理数 、 、 的在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
【变式训练3】已知a、b、c在数轴上位置如图所示：
(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b-a 0； c-b 0； a+c 0；
(2)化简：
类型二、分类讨论化简
例1．若 ，且 ，求 的值．
例2.若a，b，c都是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值．【变式训练1】已知ab＞0，则 （ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3
【变式训练2】已知 化简： =__________．
【变式训练3】若 ，则 _______．
【变式训练4】①若2a与1－a互为相反数，则a=_________.
②已知|a|=3，|b-1|=4，|a-b|=b-a，则a+b=_____________.
类型三、几何意义化简绝对值
例．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为 ，则在数轴
上A、B两点之间的距离 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示x的点与表
示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是
．
(2)如果 ，那么 ．
(3)若 ，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间
的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)①若数轴上表示x的点位于 与1之间，则 ；
②若 ，则 ．【变式训练1】一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是__________；表示﹣3和2两点之间的距离是
__________；
(2)如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝__________．
(3)若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则 的值为__________；
(4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得 ＝7，这些点表示的数的和是
__________．
【变式训练2】综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
点 在数轴上分别表示有理数 两点之间的距离表示为 ，在数轴上 两
点之间的距离 ．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和 的两点之间的距
离是__________；
独立思考：
（2）数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为__________；
（3）试用数轴探究：当 时m的值为__________．
实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：
（4）利用数轴求出 的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？
（5）当 的值最小时，m的值为__________（直接写出答案即可）．课后训练
1．若 时，化简 （ ）
A． B． C． D．
2．在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ，
其中正确的结论有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ，那么
的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
4．有理数 、 、 在数轴上的位置如图，化简： ___________．
5．若 ， ，则 ______．
6．已知 ， ， 的大小关系如图所示，则下列各式：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ .其中正确的是____．（请填写序
号）
7．学习过绝对值之后，我们知道 表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2
两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题：
(1) 可以理解为_________与_________两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
(2)已知 ，求x的值；
(3)利用数轴探究：
①满足 的所有整数x的值为_________；
②当x满足_________时， 的值最小最小值是_________；
(4)已知在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距离高速公路起点的距
离分别是 、 、 ．现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P，请直接
指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是多少？
8．有理数 、 在数轴上的对应点位置如图所示，化简 .
9．已知a，b，c在数轴上的位置如下图，且|a|＜|c|．
(1)abc 0，c＋a 0，c－b 0(请用“＜”，“＞”填空)；
(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|．
