文档内容
专题 01 特殊平行四边形的三种几何变换问题
类型一、翻折问题
例1．（几何翻折）实践操作
在矩形 中， ， ，现将纸片折叠，点 的对应点记为点 ，折痕为
（点 、 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点 落在矩形 的边 上（如图①）．
①当点 与点 重合时， ；当点 与点 重合时， ；
②当点 在 上，点 在 上时（如图②），求证：四边形 为菱形，并直接写
出当 时的菱形 的边长．
深入探究
（2）若点 落在矩形 的内部（如图③），且点 、 分别在 、 边上，请直
接写出 的最小值．
拓展延伸
（3）若点 与点 重合，点 在 上，射线 与射线 交于点 （如图④）．在各
种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段 与线段 的长度相等？若存在，
请直接写出线段 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）① ； ②边长是 ，证明见解析（2）2（3）存在，长度是 或
【分析】（1）①当点 与点 重合时，如图1，画出图形可得结论；当点 与点 重合时，
如图2，则 平分 ；
②证明 得 ，根据一组对边平行且相等得：四边形 是平行
四边形，加上对角线互相垂直可得 为菱形，当 时，设菱形的边长为 ，根
据勾股定理列方程得： ，求出 的值即可；
（2）如图4，当 与 重合，点 在对角线 上时， 有最小值，根据折叠的性质求
，由勾股定理求 ，所以 ；
（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）① ；
当点 与点 重合时， 是 的中垂线，
；
当点 与点 重合时，此时 ．
②设 交 于点 ，
四边形 是矩形，
点 沿 折叠后对应点为 ，
在 和 中，
四边形 是平行四边形
是菱形
当 时，菱形的边长为 ．
设菱形边长为 ，则
在 中，由勾股定理得： ，
，
．
（2） 的最小值为 ．
若点 落在矩形 的内部，且点 、 分别在 、 边上，
设 ，则 ，
当 在一条直线上时， 最小，最小值为 ，
所以当 最大取 时， 的最小值为 ．
（3） 或 ．
情况一：连接 ，
，
设 ，则 ，
则
，
，解得： ；
情况二：
设 ，则 ，
则 ， ，
则 ， ， ，
，解得： ．综上所述， 的长度为 或
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折
叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
例2．（与函数结合）如图1，将矩形 放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若 满足 ．
(1)求点A的坐标；
(2)取 中点M，连接 ， 与 关于 所在直线对称，连接 并延长，
交x轴于点P．
①求 的长；
②如图2，点D位于线段 上，且 ．点E为平面内一动点，满足 ，连接
．请你求出线段 长度的最大值．
【答案】(1) ；(2)① ；②
【分析】（1）由 ．可得 ， ，即可求解；
（2）①证明 ，得到 ，可得 ，即可求解；
②取 的中点 ，连接 ， ．当点 、 、 三点共线时， 的长度最大，进而
求解．
【详解】（1）解： ．
， ，解得 ， ，
点 的坐标为 ；
（2）① 与 关于 所在直线对称，
， ， ，
如图，连接 ，
，， ，
设 ， ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
点 为 的中点，
，
∴ ；
②取 的中点 ，连接 ， ．
，点 是 的中点，
．
，
，
，
由中点坐标可知：点 的坐标为 ，
，
，，
当点 、 、 三点共线时， 的长度最大，
则 的最大值 ，
， ，
，
的最大值 ．
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平
行四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形 是平行四边形．
【变式训练1】综合与实践
动手操作：
第一步：如图①，将矩形纸片 沿过点O的直线折叠，使得点A，点D都落在 边
上，此时，点A与点D重合，记为E，折痕分别为 、 ，如图②；
第二步：再沿过点O的直线折叠，使得直线 与直线 重合，且O、E、C三点在同一
条直线上，折痕分别为 、 ，如图③；
第三步：在图③的基础上继续折叠，使 与 重合，得到图④，展开铺平，连接
， 交于点N，如图⑤，图中的虚线为折痕．
问题解决：
(1)在图⑤中， 的度数是 ；
(2)在图⑤中，请判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)试判断线段 与 的数量关系，并证明；
(4)若 ，则 的长是 ．（提示： ）
【答案】(1)
(2)四边形 是菱形，理由见解析
(3) ；证明见解析
(4)
【分析】（1）根据折叠性质得出 ， ，求出 ， ，再求出结果即可；
（2）证明 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，得出
，求出 ，证明
， ， 得出四边形 是平行四边形，证明 ，得出结论；
（3）根据 证明 ，即可得出结论；
（4）过点F作 交 于点P，根据角平分线的定义 ，设 ，得
出 ，根据 ，得出 ，求出x的值即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
，由折叠的性质，可知 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
，
由折叠的性质得 ， ，
， ，
；
故答案为： ．
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
同（1）可得， ，
，
，
由折叠的性质可知 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同理可证， 是等腰直角三角形，
，
又 ，
，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，
又 ，
，
∴四边形 是菱形；
（3）解： ，理由如下：
由（2）可知 ，
，
，
∵四边形 是菱形， ，
由折叠性质可知， ，
，
在 和 中， ， ；
（4）解：过点F作 交 于点P，如图所示：
，且 ，
，
设 ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
，
解得： ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性
质，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握正方
形和菱形的判定和性质．
【变式训练2】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断
操作一：对折正方形纸片，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点H，沿 折叠，使点B落在 上的点G处，得到折痕 ，把
纸片展平；
根据以上操作，直接写出图1中 的度数：______；
(2)拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长 交 于点M，连接 交 于点N（如
图2）．判断 的形状，并说明理由；
(3)迁移探究
如图3，已知正方形 的边长为6cm，当点H是边 的三等分点时，把 沿
翻折得 ，延长 交 于点M，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2) 是等边三角形，见解析
(3) 或
【分析】（1）根据翻折可得： ， 得到 ，即可求解；
（2）先证明 ，得到 ，再根据平行证明
，即可求解；
（3）分两种情况讨论： 或 ．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
由翻折性质可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由翻折性质可得： ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 是等边三角形；
由题意可得： ，
由翻折性质可得： ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（3）解：①连接 ，如图所示，
∵正方形 的边长为6cm，点H是边 的三等分点，
∴ ， ， ，
由翻折性质可得： ， ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
解得： ，
即 ；
②如图所示，
∵正方形 的边长为6cm，点H是边 的三等分点，
∴ ， ， ，
由翻折性质可得： ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴设 ，则 ，
由勾股定理得： ，解得： ，即 ；
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到正方形的性质和翻折的性质、全等三角形的判定和
性质，难度较大，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键．
【变式训练3】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平，连接 ；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接
．
根据以上操作，请判断图1中 是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点Q，连接 ．
①如图2，当点M在 上时， ______ ， ______ ；
②改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断 与 的
数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片 的边长为 ，当 时，直接写出 的
长．
【答案】(1) 是等边三角形
(2)①15，15；② ，理由见解析
(3) cm或 cm
【分析】（1）由折叠的性质可得 ， ，进而可得 ，可知
是等边三角形；
（2）①由“ ”可证 ，可得 ；②由“ ”可
证 ，可得 ；
（3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）解：①∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由折叠可得： ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，同（1）可证 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ，15；
② ，理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由折叠可得： ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由折叠的性质可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
如图，当点Q在线段 上时，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
如图，当点Q在线段 上时，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
综上所述： 的长为 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三
角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
类型二、旋转问题
例1．（线段旋转）【课本再现】把两个全等的矩形 和矩形 拼成如图1的图案，
则 ______ ；
【迁移应用】如图2，在正方形 中， 是 边上一点（不与点 ， 重合），连接
，将 绕点 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点 ，求证：
；
【拓展延伸】在菱形 中， ， 是 边上一点（不与点 ， 重合），连
接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点 ．
①线段 与 的数量关系是_____________________．
②若 ， 是 的三等分点，则 的面积为____________________．
【答案】【课本再现】90；【迁移应用】见解析；【拓展延伸】① ；② 或
【分析】（1）【课本再现】先证明 ，可得 ，从而得到
，即可；
【迁移应用】过点F作 交 于点H，结合正方形的性质和旋转的性质证明
，可得 ，从而得到 ，进而得到 是等腰
直角三角形，即可；
【拓展延伸】①过点F作 ，与 的延长线交于点H，可证得
，从而得到 ， ，进而得到 ，
，继而得到 ；②分两种情况讨论，即可．【详解】∵矩形 和矩形 是全等矩形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：90
【迁移应用】如图，过点F作 交 于点H，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质得： ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
【拓展延伸】①过点F作 ，与 的延长线交于点H，
由旋转的性质得： ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；故答案为：
②当 时，有
，
由①得： ，
∴ ，
∵ 的底边 上的高相等，
∴ ；
当 时，有 ，
∴
综上所述， 的面积为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质
等知识，熟练掌握相关知识点，并利用类比思想解答是解题的关键．
例2．（图形旋转）（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形
的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部
分．正方形 可绕点 转动．则下列结论正确的是________________（填序号即
可）．
① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，
总有 ．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ，
与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 之间
的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ， ，直角 的顶点 在
边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， 可绕
着点 旋转，当 时，求线段 的长度．【答案】（1）①②③④；（2） ，理由见解析；（3） 或
【分析】（1）先证明 ，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股
定理，逐项判断即可求解；
（2）连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，根据矩形的性质可得点 是 的中点，
再证明 ，可得 ，再由线段垂直平分线的性质可得
，在 中，根据勾股定理，即可求解；
（3）设 ．分两种情况讨论：①当点 在线段 上时，②当点 在 延长线上
时，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）在正方形和正方形 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴ ， ，故②正确；
∴四边形 的面积 ，
四边形 的面积总等于 ，故③正确；
如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故答案为：①②③④
（2） ，理由如下：
连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，
∵ 是矩形 的中心，
∴点 是 的中点．
∴ ，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在矩形 中， ，
∴ ，
在 中，
∴ ；
（3）设 ．
①当点 在线段 上时，
∵ ，
∴
∵在 中， ，
∴ ，∴ ，
又由（2）得： ，
∴
∴ ，
解得 ．
∴ ．
②当点 在 延长线上时，同理可证
∴ ，
又在 中， ．
∴
解得 ．
∴
故 的长度为 或 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性
质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类
比思想解答是解题的关键．
类型三、平移问题
例1．（线段的平移）已知正方形 ，点 ， 分别在射线 ，射线 上，
， 与 交于点 ．(1)如图1，当点 ， 分别在线段 ， 上时，求证： ，且 ；
(2)如图2，当点 在线段 延长线上时，将线段 沿 平移至 ，连接 ．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② ，证明见解析
【分析】（1）根据正方形性质可得 ， ，进而可证明
，依据全等三角形性质即可证得结论；
（2）①按题目要求补全图形即可；
②连接 ，根据平移性质即可得出四边形 是平行四边形，根据平行四边形性质得
， ，再由 ，可得 ， ，进而可
得出 ， ，由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中， ， ，
， ，
， ，， ，故 ，且 ；
（2）解：①补全图如图2所示；
② 理由如下：如图3，连接 ，
线段 沿 平移至 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质、勾股定理的
应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理．
例2．（图形的平移）平行四边形 中， 于 ，且 ．
(1)如图1，若 ，求平行四边形 的面积．
(2)如图2，连接 ，过A作 交 于 ，在 上截取 ，连接 ，点
为 中点，连接 ，求证： ．
(3)如图3，连接 ，把 沿直线 方向平移，得到 ，若 ，
，请直接写出平移过程中 的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 的最小值为
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ，证明 ，利用勾股定
理求出 ，利用平行四边形面积公式即可得出结果；
（2）延长 交 于T，连接 ， ，证明 ， ，即可解决问题；
（3）由题意可知四边形 是平行四边形，推出 ，推出 的最小值
的最小值，点 在过点A且平行于 的定直线上，作点D关于定直线的对称
点 ， ，则 的长度即为 的最小值，
求出 的最小值，可得结论．
【详解】（1）解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：如图，延长 交 于T，连接 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 的最小值 的最小值，
∵点 在过点A且平行于 的直线上，
∴作点D关于直线的对称点 ，
∵ ，则 的长度即为 的最小值，
过点 作 于H，交 于J，过点A作 于T，设 交 于K，过点C
作 于R，∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，设 ，
在 中，则有 ，
解得 或 （舍去），
∴ ， ，
过点B作 交 的延长线于Q，则 ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，
解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学
会用转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．【变式训练1】（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形
的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分．正
方形 可绕点 转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）．
① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，
总有 ．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ，
与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 之间
的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ， ，直角 的顶点 在
边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， 可绕
着点 旋转，当 时，求线段 的长度．
【答案】（1）①②③④；（2） ，理由见解析；（3） 或
【分析】（1）先证明 ，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股
定理，逐项判断即可求解；
（2）连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，根据矩形的性质可得点 是 的中点，
再证明 ，可得 ，再由线段垂直平分线的性质可得
，在 中，根据勾股定理，即可求解；
（3）设 ．分两种情况讨论：①当点 在线段 上时，②当点 在 延长线上
时，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）在正方形和正方形 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；∴ ， ，故②正确；
∴四边形 的面积 ，
四边形 的面积总等于 ，故③正确；
如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故答案为：①②③④
（2） ，理由如下：
连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，
∵ 是矩形 的中心，
∴点 是 的中点．∴ ，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在矩形 中， ，∴ ，
在 中，
∴ ；（3）设 ．
①当点 在线段 上时，
∵ ，∴
∵在 中， ，∴ ，∴ ，
又由（2）得： ，
∴ ，∴ ，解得 ．∴ ．
②当点 在 延长线上时，同理可证
∴ ，又在 中， ．
∴ ，解得 ．∴
故 的长度为 或 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性
质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类
比思想解答是解题的关键．
【变式训练2】已知：如图①，在矩形 中， ，垂足是 .点
是点 关于 的对称点，连接 ．（1）求 和 的长；
（2）若将 沿着射线 方向平移，设平移的距离为 (平移距离指点 沿 方向所
经过的线段长度)．当点 分别平移到线段 上时，直接写出相应的 的值．
（3）如图②，将 绕点 顺时针旋转一个角 ，记旋转中 为
，在旋转过程中，设 所在的直线与直线 交于点 ，与直线 交于点 ．
是否存在这样的 两点，使 为等腰三角形？若存在，求出此时 的长；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）存在 组符合条件的点 、
点 ，使 为等腰三角形； 的长度分别为 或 或 或 ．
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求
出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计
算即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt ABD中，AB=3，AD=4，
由勾股△定理得：BD= ，
∵S BD•AE= AB•AD，
ABD
△
∴AE= ，
∵点F是点E关于AB的对称点，
∴AF=AE ，BF=BE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，在Rt ABE中，AB=3，AE ，
△
由勾股定理得：BE ；
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE ，
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′ ，
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
根据平移的性质知：∠1=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′ ，即 ；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，AB⊥AD，
∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′ ，
∴BB′=BD-B′D=5- ，即m ；
（3）存在．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠2=∠BAE，
∵点F是点E关于AB的对称点，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1=∠2，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，
则∠Q=∠DPQ，
∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=F′A′+A′Q= ，
在Rt BF′Q中，由勾股定理得：BQ= ，
△
∴DQ=BQ-BD= ；
②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，则∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，
则此时点A′落在BC边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q= -BQ，
在Rt BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
△
即： ，
解得： ，
∴DQ= BD-BQ=5- ；
③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，
则∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°- ∠2．
∵∠1=∠2，∴∠4=90°- ∠1，
∴∠A′QB=∠4=90°- ∠1，
∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=A′Q-A′F′=3- ，
在Rt BF′Q中，由勾股定理得：BQ= ，
△
∴DQ=BQ-BD= ；
④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，
则∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=3，
∴DQ=BD-BQ=5-3=2．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：
或 或 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、
旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画
出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．
课后训练1．
(1)操作判断 如图1，在 中， ， ，点E在 上（且不与点A、
C重合）在 的外部作 ，使 ， ，连接 ，过点B作
，过点D作 ， 交 于点F，连接 ．
根据以上操作，判断：四边形 的形状是 ；三角形 的形状是 ；
(2)迁移探究明明同学所在的“认真•坚持”学习小组“异想天开”，将 绕点C逆时
针旋转，如图2，当点E落在线段 上时，请你：
①求证：四边形 的是矩形；
②连接 若 ，求 的长；
(3)拓展应用亮亮同学所在的“感恩•责任”学习小组受此启发，将 绕点C继续逆时
针旋转，能使四边形 为菱形，若 ，请你直接写出线段 的长．
【答案】(1)平行四边形；等腰直角三角形
(2)①见解析；②
(3) 或
【分析】（1）由 得到四边形 是平行四边形，由
得到 ，则 是等腰
直角三角形；
（2）① 得到 ，点E落
在线段 上则点D在 上，由四边形 是平行四边形， ，得到四边形
是矩形；
②连接 ，四边形 是矩形得 ，证 ，得
， ，则 ；
（3）当点D在 的左侧时，如图，连接 延长 交 于K，设直线 交
于H， 于N，先证明 ，得到 ，则 ，则 垂
直平分 ，得到 ，则 ，得到 ，得到
，当点D在 的右侧时，连接 同理可得 ．【详解】（1）解：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
故答案为：平行四边形；等腰直角三角形；
（2）①证明：∵ ，
∴ ，
∵点E落在线段 上，
∴点D在 上，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是矩形；
②解：如图，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当点D在 的左侧时，如图，连接 延长 交 于K，设直线 交
于H， 于N，∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点D在 的右侧时，连接
同理可得 ；
综上所述：AF的长为 或
【点睛】此题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、全等
三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．
2.已知，四边形 是正方形， 绕点D旋转（ ）， ，，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)直线 与 相交于点G．
①如图2， 于点M， 于点N，在 旋转的过程中， 的大小是
否发生变化，请说明理由．
②如图3，连接BG，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段 长度
的最小值．
【答案】(1)见解析；
(2)①不变，理由见解析；② ．
【分析】（1）根据 证明三角形全等即可；
（2）①证明四边形 是矩形即可；
②作 交 于点 ，作 于点 ，由（2）①证明四边形 是正方
形，则 是等腰直角三角形，求出 的最小值，可得结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ．
， ．
，
，
在 和 中，
（2）①证明：如图 中，设 与 相交于点 ．，
．
，
，
，
，
，
， ，
四边形 是矩形，
，
故 的大小不发生变化；
②解：作 交 于点 ，作 于点 ，作 于点 ，
，
，
， ，
最大时， 最小， ．
．
由（2）①可知，四边形 是矩形，
， ．
．又 ，
，
．
矩形 是正方形，
是等腰直角三角形，
；
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰
直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
属于中考压轴题．
3．【发现与证明】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中有许多结论：
中， ，将△ABC沿AC翻折至 ，AD与 交于E，连接 ，不
难发现新图形中有两个等腰三角形．
(1)请利用图1证明 是等腰三角形：
(2)【应用与探究】如图1，已知： ，若 ，∠求：∠ACB的度数；
(3)如图2，已知： ， ， ， 与边CD相交于点E，求 的面
积．
【答案】(1)见详解；
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质得到 ， ， ；再根据
平行四边形的性质得到 ；最后根据等腰三角形的性质即可求解．
（2）根据折叠的性质得到 ，即
．（3）过C点分别作 ，垂足分别为G、H，再根据直角三角形的性质定
理求解即可．
【详解】（1）解： 沿AC翻折至 ，
四边形ABCD是平行四边形，
是等腰三角形
（2）解：由（1）可知， 和 是等腰三角形
（对顶角）
（3）解：如图2，过C点分别作 ，垂足分别为G、H
在 中， ，设
由勾股定理得， ，
即： ，
，
的面积＝ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质即三角形翻折的性质，难点在于找到两者的联系．
