文档内容
专题 01 特殊平行四边形的三种几何变换问题
类型一、翻折问题
例1．（几何翻折）实践操作
在矩形 中， ， ，现将纸片折叠，点 的对应点记为点 ，折痕为
（点 、 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点 落在矩形 的边 上（如图①）．
①当点 与点 重合时， ；当点 与点 重合时， ；
②当点 在 上，点 在 上时（如图②），求证：四边形 为菱形，并直接写
出当 时的菱形 的边长．
深入探究
（2）若点 落在矩形 的内部（如图③），且点 、 分别在 、 边上，请直
接写出 的最小值．
拓展延伸
（3）若点 与点 重合，点 在 上，射线 与射线 交于点 （如图④）．在各
种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段 与线段 的长度相等？若存在，
请直接写出线段 的长度；若不存在，请说明理由．例2．（与函数结合）如图1，将矩形 放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且
点B，C分别位于x轴，y轴上．若 满足 ．
(1)求点A的坐标；
(2)取 中点M，连接 ， 与 关于 所在直线对称，连接 并延长，
交x轴于点P．
①求 的长；
②如图2，点D位于线段 上，且 ．点E为平面内一动点，满足 ，连接
．请你求出线段 长度的最大值．
【变式训练1】综合与实践
动手操作：第一步：如图①，将矩形纸片 沿过点O的直线折叠，使得点A，点D都落在 边
上，此时，点A与点D重合，记为E，折痕分别为 、 ，如图②；
第二步：再沿过点O的直线折叠，使得直线 与直线 重合，且O、E、C三点在同一
条直线上，折痕分别为 、 ，如图③；
第三步：在图③的基础上继续折叠，使 与 重合，得到图④，展开铺平，连接
， 交于点N，如图⑤，图中的虚线为折痕．
问题解决：
(1)在图⑤中， 的度数是 ；
(2)在图⑤中，请判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)试判断线段 与 的数量关系，并证明；
(4)若 ，则 的长是 ．（提示： ）
【变式训练2】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断
操作一：对折正方形纸片，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点H，沿 折叠，使点B落在 上的点G处，得到折痕 ，把
纸片展平；
根据以上操作，直接写出图1中 的度数：______；
(2)拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长 交 于点M，连接 交 于点N（如
图2）．判断 的形状，并说明理由；
(3)迁移探究
如图3，已知正方形 的边长为6cm，当点H是边 的三等分点时，把 沿
翻折得 ，延长 交 于点M，请直接写出 的长．
【变式训练3】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平，连接 ；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接
．
根据以上操作，请判断图1中 是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点Q，连接 ．
①如图2，当点M在 上时， ______ ， ______ ；
②改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断 与 的
数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片 的边长为 ，当 时，直接写出 的
长．
类型二、旋转问题
例1．（线段旋转）把两个全等的矩形 和矩形 拼成如图1的图案，则
______ ；【迁移应用】如图2，在正方形 中， 是 边上一点（不与点 ， 重合），连接
，将 绕点 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点 ，求证：
；
【拓展延伸】在菱形 中， ， 是 边上一点（不与点 ， 重合），连
接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点 ．
①线段 与 的数量关系是_____________________．
②若 ， 是 的三等分点，则 的面积为____________________．
例2．（图形旋转）（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形
的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部
分．正方形 可绕点 转动．则下列结论正确的是________________（填序号即
可）．① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，
总有 ．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ，
与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 之间
的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ， ，直角 的顶点 在
边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， 可绕
着点 旋转，当 时，求线段 的长度．
类型三、平移问题
例1．（线段的平移）已知正方形 ，点 ， 分别在射线 ，射线 上，
， 与 交于点 ．(1)如图1，当点 ， 分别在线段 ， 上时，求证： ，且 ；
(2)如图2，当点 在线段 延长线上时，将线段 沿 平移至 ，连接 ．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段 ， 和 之间的数量关系，并证明．
例2．（图形的平移）平行四边形 中， 于 ，且 ．
(1)如图1，若 ，求平行四边形 的面积．
(2)如图2，连接 ，过A作 交 于 ，在 上截取 ，连接 ，点
为 中点，连接 ，求证： ．
(3)如图3，连接 ，把 沿直线 方向平移，得到 ，若 ，
，请直接写出平移过程中 的最小值．【变式训练1】（1）如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形
的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分．正
方形 可绕点 转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）．
① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，
总有 ．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 ，
与边 相交于点 ，连接 ，矩形 可绕着点 旋转，猜想 之间
的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ， ，直角 的顶点 在
边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， 可绕
着点 旋转，当 时，求线段 的长度．
【变式训练2】已知：如图①，在矩形 中， ，垂足是 .点
是点 关于 的对称点，连接 ．（1）求 和 的长；
（2）若将 沿着射线 方向平移，设平移的距离为 (平移距离指点 沿 方向所
经过的线段长度)．当点 分别平移到线段 上时，直接写出相应的 的值．
（3）如图②，将 绕点 顺时针旋转一个角 ，记旋转中 为
，在旋转过程中，设 所在的直线与直线 交于点 ，与直线 交于点 ．
是否存在这样的 两点，使 为等腰三角形？若存在，求出此时 的长；若不
存在，请说明理由．
课后训练
1．
(1)操作判断 如图1，在 中， ， ，点E在 上（且不与点A、
C重合）在 的外部作 ，使 ， ，连接 ，过点B作
，过点D作 ， 交 于点F，连接 ．
根据以上操作，判断：四边形 的形状是 ；三角形 的形状是 ；
(2)迁移探究明明同学所在的“认真•坚持”学习小组“异想天开”，将 绕点C逆时
针旋转，如图2，当点E落在线段 上时，请你：
①求证：四边形 的是矩形；
②连接 若 ，求 的长；
(3)拓展应用亮亮同学所在的“感恩•责任”学习小组受此启发，将 绕点C继续逆时针旋转，能使四边形 为菱形，若 ，请你直接写出线段 的长．
2.已知，四边形 是正方形， 绕点D旋转（ ）， ，
，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)直线 与 相交于点G．
①如图2， 于点M， 于点N，在 旋转的过程中， 的大小是
否发生变化，请说明理由．
②如图3，连接BG，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段 长度
的最小值．
3．【发现与证明】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中有许多结论：
中， ，将△ABC沿AC翻折至 ，AD与 交于E，连接 ，不
难发现新图形中有两个等腰三角形．(1)请利用图1证明 是等腰三角形：
(2)【应用与探究】如图1，已知： ，若 ，∠求：∠ACB的度数；
(3)如图2，已知： ， ， ， 与边CD相交于点E，求 的面
积．
