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微重点 2 圆锥曲线中的二级结论
[考情分析] 圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关
键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也
可以有一定的启发.
考点一 焦点三角形
考向1 焦点三角形的面积
x2 y2
例1 已知椭圆 + =1上一点M与两焦点F ，F 所成的角∠F MF =60°，则△F MF 的面积为( )
16 9 1 2 1 2 1 2
16√3
A. B.16√3
3
C.3√3 D.9√3
x2 y2
跟踪演练1 (2024·西安模拟)设F ，F 是椭圆C： + =1的两个焦点，点P是C上的一点，且
1 2 6 18
1
cos∠F PF = ，则△PF F 的面积为( )
1 2 3 1 2
A.3 B.3√2
C.9 D.9√2
考向2 焦半径之积及离心率的表示
例2 (2024·淄博模拟)已知F ，F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q
1 2
2π
e2 3e2
关于原点对称，∠PF Q= ，若椭圆的离心率为e ，双曲线的离心率为e ，则 1 + 2 的最小值
2 3 1 2 e2+1 e2+3
1 2
是( )
2+√3 1+√3
A. B.
3 3
2√3 4√3
C. D.
3 3
x2 y2
[规律方法] (1)设P点是椭圆 + =1(a>b>0)上异于长轴端点的任意一点，F ，F 为其焦点，记
a2 b2 1 2
2b2 sin∠F PF
1 2
∠F PF =θ，则①|PF ||PF |= ；②e= .
1 2 1 2 1+cosθ sin∠PF F +sin∠PF F
1 2 2 1
x2 y2
(2)设P点是双曲线 - =1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任意一点，F ，F 为其焦点，记∠F PF =θ，则①|
a2 b2 1 2 1 2
2b2 sin∠F PF
PF ||PF |= ；②e= 1 2 .
1 2 1-cosθ |sin∠PF F -sin∠PF F |
1 2 2 1x2 y2 3
跟踪演练2 设O为坐标原点，F ，F 为椭圆C： + =1的两个焦点，点P在C上，cos∠F PF = ，
1 2 4 3 1 2 5
则⃗PF ·⃗PF 等于( )
1 2
9 7
A. B.
4 4
7
C.2 D.
2
考点二 垂径定理
x2 y2
例3 (多选)已知A，B是椭圆 + =1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过
a2 b2
坐标原点O，M为线段AB的中点，则有k ·k 等于( )
AB OM
b2 b2
A. B.-
a2 a2
C.-1 D.e2-1
x2 y2
[规律方法] 双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行
a2 b2
b2
于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有k ·k = =e2-1.
AB OM a2
x2 y2
跟踪演练3 (多选)(2024·泸州模拟)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，
a2 b2 1 2
其中|F F |=2c，过右焦点F 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是( )
1 2 2
2b2
A.弦AB的最小值为
a
B.若|AB|=m，则△F AB的周长为2m+4a
1
b2
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则k ·k=
OM a2
D.若直线AB的斜率为√3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
考点三 椭圆、双曲线的第三定义
定义：平面内与两个定点A (-a，0)，A (a，0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含
1 2
b2
两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=- ；当常数
a2
b2
大于0时为双曲线，此时e2-1= .
a2
x2 y2
例4 (2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右顶点，点P在以AB为直
a2 b2
径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜
率的4倍，则椭圆C的离心率为( )√3 1
A. B.
3 2
√3 3
C. D.
2 4
[规律方法] 第三定义推论：平面内与两个关于原点对称的点A(m，n)，B(-m，-n)的斜率乘积等于常数e2-1
b2
的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含A，B两点).当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=- ；当常数大于
a2
b2
0时为双曲线，此时e2-1= .
a2
x2 y2
跟踪演练4 设直线y=kx与双曲线C： - =1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的
a2 b2
一点，直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，若C的离心率为√2，则k ·k 等于( )
1 2 1 2
A.3 B.1
C.2 D.√3
考点四 焦点弦
1.已知F ，F 分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点，直线 l过左焦点F 与曲线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，
1 2 1
b2
设 ∠AF F =α，e为离心率，p为焦点到对应准线的距离，则p= .
1 2 c
ep ep 1 1 2
(1)椭圆焦半径公式：|AF |= ，|BF |= ， + = .
1 1-ecosα 1 1+ecosα |A F | |BF | ep
1 1
2ep
(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|=|AF |+|BF |= .
1 1 1-e2cos2α
ep ep 1 1 2
(3)①若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF |= ，|BF |= ， + = .
1 1+ecosα 1 1-ecosα |A F | |BF | ep
1 1
ep ep
②若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF |= ，|BF |= ，
1 ecosα+1 1 ecosα-1
| 1 1 | 2
-
= .
|A F | |BF | ep
1 1
图1 图22ep
(4)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF |+|BF |= .
1 1 1-e2cos2α
2ep
若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF |-|BF ||= .
1 1 e2cos2α-1
2.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在 x 轴上)交于A，B两点，设 ∠AFx=α，e为抛物线离心率，p为抛
物线的焦点到对应准线的距离.
ep p ep p 1 1 2 2
(1)抛物线焦半径公式：|AF|= = ，|BF|= = ， + = = .
1-ecosα 1-cosα 1+ecosα 1+cosα |AF| |BF| ep p
2ep 2p
(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|=|AF|+|BF|= = .
1-e2cos2α sin2α
3.焦点弦定理
已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜
|λ-1|
角为α，⃗AF=λ⃗FB，则曲线的离心率满足等式|ecos α|= .
λ+1
x2 y2
例5 (1)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 作倾斜角为θ的直线l
a2 b2 1 2 2
1
交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cos θ= .若|AB|=|AF |，则双曲线C的离心率
4 1
为( )
A.4 B.√15
3
C. D.2
2
x2
(2)(2024·沧州模拟)已知椭圆方程为 +y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为
4
.
[易错提醒] (1)要注意公式中α的含义.
(2)公式中的加减符号易混淆.
(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样.
x2 y2 2
跟踪演练5 过双曲线C： - =1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AF|= ，则|BF|
4 2 3
= .答案精析
∠F M F
例1 C [根据椭圆焦点三角形的面积公式S =b2tan 1 2 ，
△F
1
MF
2 2
60°
得S =9tan =3√3.]
△F 1 MF 2 2
跟踪演练1 B
例2 A [如图，设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，设
1 1 2 2
∠F PF =θ，
1 2
根据椭圆和双曲线的对称性，可知四边形PF QF 为平行四边形，
2 1
π
则θ=π-∠PF Q= ，
2 3
2b2 2b2
|PF ||PF |= 1 = 2 ，
1 2
1+cosθ 1-cosθ
故b2 =3b2
，
1 2
1 3
则a2 +3a2 =4c2，即 + =4，
1 2 e2 e2
1 2
1 3
e2 3e2
则 e2+ 1 1 + e2+ 2 3 = 1 +1 + 3 +1 =
1 2 e2 e2
1 2
1 3 1 3
( + )( +1+ +1 )
1
1 3 e2 e2 ×
+1 +1 1 2 6
e2 e2
1 2
[ 3 +1 3 ( 1 +1 )]
1 e2 e2
= × 4+ 2 + 1 ≥
6 1 3
+1 +1
e2 e2
1 2
[ ]
√ 3 +1 3 ( 1 +1 )
1 e2 e2
× 4+2 2 × 1
6
1 3
+1 +1
e2 e2
1 21
= ×(4+2√3)
6
2+√3
= ，
3
{( 3 +1 ) 2 =3 ( 1 +1 ) 2 ,
e2 e2
2 1
当且仅当
1 3
+ =4,
e2 e2
1 2
{ e2=
3√3+4
<1,
1 11
即 时等号成立.]
3 24+9√3
e2= = >1
2 8-3√3 37
跟踪演练2 A
例3 BD
跟踪演练3 ABC
例4 C
跟踪演练4 B
例5 (1)D
3+2√2
(2)
4
解析 由焦半径公式可得
1 1
+ =4，
|AF| |BF|
∴|AF|+2|FB|
1 ( 1 1 )
= (|AF|+2|FB|) +
4 |AF| |BF|
|AF| |BF| 3 2√2+3
= + + ≥ ，
4|BF| 2|AF| 4 4
|AF| |BF|
当且仅当 = 时取等号，
4|BF| 2|AF|
1 1
又 + =4，
|AF| |BF|
{|AF|=
2√2+2
,
8
得
√2+2
|BF|= ,
8
3+2√2
∴|AF|+2|FB|的最小值为 .
4跟踪演练5 2
