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微专题 1 空间几何体
[考情分析] 表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.空间
位置关系一是考查命题的真假判断，二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选
择题、填空题或解答题的第(1)问的形式考查，属于中档题.
考点一 表面积与体积
1.旋转体的侧面积和表面积
(1)S =2πrl，S =2πr(r+l)(r为底面半径，l为母线长).
圆柱侧 圆柱表
(2)S =πrl，S =πr(r+l)(r为底面半径，l为母线长).
圆锥侧 圆锥表
(3)S =4πR2(R为球的半径).
球表
2.空间几何体的体积公式
(1)V =Sh(S为底面面积，h为高).
柱
1
(2)V = Sh(S为底面面积，h为高).
锥 3
1
(3)V = (S +√S ·S +S )h(S ，S 分别为上、下底面面积，h为高).
台 3 上 上 下 下 上 下
4
(4)V = πR3(R为球的半径).
球 3
例1 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则
圆锥的体积为( )
A.2√3π B.3√3π
C.6√3π D.9√3π
答案 B
解析 设圆柱的底面半径为r，
则圆锥的母线长为√r2+3，
而它们的侧面积相等，
所以2πr×√3=πr×√3+r2，
即2√3=√3+r2，故r=3，1
故圆锥的体积为 π×9×√3=3√3π.
3
(2)(2024·昆明模拟)某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图.底座ABCD是边长为4√2的正方形，
垂直于底座且长度为6的四根吊挂线AA ，BB ，CC ，DD 一头连着底座端点，另一头都连在球O的表
1 1 1 1
面上(底座厚度忽略不计)，若该艺术吊灯总高度为14，则球O的体积为( )
108π 256π
A. B.
3 3
500π 864π
C. D.
3 3
答案 C
解析 如图，作出该艺术吊灯的正视图，由已知得四边形A B C D 为正方形，则B D =8，
1 1 1 1 1 1
设正方形A B C D 的外接圆圆心为O ，连接O O并延长交球面于点E，如图所示，则OO ⊥B D ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以D O =B O =4，
1 1 1 1
因为该艺术吊灯总高度为14，DD =BB =6，所以O E=8，
1 1 1
设球O的半径为R，则OO =8-R，
1
在Rt△OO B 中，(8-R)2+42=R2，解得R=5，
1 1
4 4 500π
所以球O的体积为 πR3= π×53= .
3 3 3
[规律方法] 空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解.
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几
何体补成熟悉的几何体.
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积.跟踪演练1 (1)(2024·天津)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，
BE=2，CF=3，则该五面体的体积为( )
√3 3√3 1
A. B. +
6 4 2
√3 3√3 1
C. D. -
2 4 2
答案 C
解析 用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，
使得D，N；E，M；F，L重合，
因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，
AD=1，BE=2，CF=3，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面DGK(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，
侧棱长l=1+3=2+2=3+1=4，
1
V = V
五面体ABC-DEF 2 三棱柱ABC-JIH
1 1 1 √3 √3
= S ·l= × ×1×1× ×4= .
2
△DGK
2 2 2 2
(2)(2024·河南TOP20名校联考)如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分
别为4 cm2和9 cm2，高为3 cm.现在收集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为
mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)
455
答案
16
解析 如图所示，将三棱台补成三棱锥O-A B C ，设三棱锥O-ABC的高为h，
1 1 1h √4
则 = ，解得h=6 cm，
h+3 9
1
所以三棱锥O-ABC的体积为 ×4×6=8(cm3)，
3
再设O-A B C ，O-A B C 的体积分别为V ，V ，
0 0 0 1 1 1 0 1
h 3 6 3
8 ( ) ， 8 ( ) ，
则 = 3 所以 = 3
V h+ V 6+
0 2 0 2
125 8 ( 6 ) 3
所以V = cm3，同理 = ，
0 8 V 6+3
1
(3) 3
所以V = ×8=27(cm3)，
1 2
V -V 91 455
所以该地的降雨量为 1 0= (cm)= (mm).
4 32 16
考点二 空间点、线、面的位置关系
平行关系及垂直关系的转化
例2 (1)(2024·石家庄质检)设α，β，γ是三个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真
命题的是( )
A.若α⊥β，m α，l⊥β，则m∥l
B.若m α，l β，α∥β，则m∥l
⊂
C.若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β
⊂ ⊂
D.若α∩β=l，m∥l，m⊥γ，则α⊥γ
答案 D
解析 对于A选项，若α⊥β，m α，l⊥β，则l∥α或l α，无法确定m与l的关系，错误；
对于B选项，根据面面平行的性⊂质定理，缺少条件m γ⊂，l γ，则m与l可能平行或异面，错误；
对于C选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件l ⊂α，则⊂l，β平行、相交或l β均有可能，错误；
⊂ ⊂对于D选项，若α∩β=l，m∥l，m⊥γ，则l⊥γ，由面面垂直的判定定理可得α⊥γ，正确.
(2)(多选)(2024·聊城模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是(
)
A.“AB=PB”与“PB=BD”
B.“PA⊥PC”与“PB⊥PD”
C.“PB⊥CD”与“PC⊥AB”
D.“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”
答案 BC
解析 对于A，若AB=PB，而底面ABCD是正方形，AB≠BD，所以PB=BD不成立，故A错误；
对于B，设底面正方形中心为O，当P在以O为球心，OA为半径的球面上时可符合题意，故B正确；
对于C，当平面PBC⊥底面ABCD时，由面面垂直的性质可知AB⊥平面PBC，DC⊥平面PBC，显然符合
题意，故C正确；
对于D，先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，
{α⋂β=l,α⋂γ=a,β⋂γ=b,
如图，有 α⊥γ,
β⊥γ,
取A∈γ，作AB⊥a，AC⊥b，
垂足分别为B，C，由面面垂直的性质可知AB⊥α，AC⊥β，
由线面垂直的性质及l α，l β可知，AC⊥l，AB⊥l，
又AB∩AC=A，AB，AC⊂ γ，⊂由线面垂直的判定可知l⊥γ，
⊂
若“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”同时成立，
易知P∈平面PAB∩平面PCD，可设平面PAB∩平面PCD=l，则P∈l，
则l⊥平面PBD，
易知AB∥CD，AB⊄平面PCD，所以AB∥平面PCD，则l∥AB，则有AB⊥平面PBD，显然AB⊥BD不成
立，故D错误.
[规律方法] (1)证明线线平行的常用方法
①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.(2)证明线线垂直的常用方法
①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质定理.
跟踪演练2 (1)(2024·金华模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，
l⊥n，l⊄α， l⊄β，则( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交，且交线垂直于l
D.α与β相交，且交线平行于l
答案 D
解析 由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β，由直线
m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β，则推出m∥n，与m，n异面
矛盾，所以α与β相交，且交线平行于l，故选D.
(2)(多选)(2024·秦皇岛模拟)如图，在圆柱O O中，轴截面ABCD为正方形，点F是A´B上一点，M为
1
BD与轴O O的交点.E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且EF∥平面AMN，则下列选项正确的有
1
( )
A.CF∥平面AMN
B.AN⊥平面DBF
C.DB⊥平面AMN
D.F是A´B的中点
答案 BCD
解析 由题意可知，点M是BD的中点，所以点A，M，C三点共线，
所以点C∈AM 平面AMN，所以CF∩平面AMN=C，
则直线CF与平⊂面AMN不平行，故A错误；
因为AD⊥平面ABF，BF 平面ABF，所以AD⊥BF，
因为BF⊥AF，AD∩AF=A⊂，且AD，AF 平面ADF，
所以BF⊥平面ADF，因为BF 平面DB⊂F，
所以平面ADF⊥平面DBF，
⊂
又因为平面ADF∩平面DBF=DF，AN 平面ADF，AN⊥DF，
所以AN⊥平面DBF，故B正确；
⊂
因为AN⊥平面DBF，DB 平面DBF，所以AN⊥DB，
⊂因为轴截面ABCD为正方形，点M是BD的中点，所以AM⊥DB，
又因为AM∩AN=A，且AM，AN 平面AMN，所以DB⊥平面AMN，故C正确；
连接MF(图略)，因为BF⊥平面⊂ADF，DF 平面ADF，所以BF⊥DF，
因为DB⊥平面AMN，MN 平面AMN，所⊂以DB⊥MN，且点M是DB的中点，
因为EF∥平面AMN，EF ⊂平面DEF，平面DEF∩平面AMN=MN，所以EF∥MN，所以DB⊥EF，且E是
MB的中点， ⊂
1 √2 √2
所以BF=MF= BD，且BD=√2AB，所以BF= AB，所以AF=BF= AB，
2 2 2
所以点F是A´B的中点，故D正确.
考点三 折叠与展开问题
空间几何体的侧面展开图
(1)圆柱的侧面展开图是矩形.
(2)圆锥的侧面展开图是扇形.
(3)圆台的侧面展开图是扇环.
例3 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )
A.C∈GH
B.CD与EF是共面直线
C.AB∥EF
D.GH与EF是异面直线
答案 ABD
解析 由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即C∈GH，又可知CD与EF是平行直线，即CD与EF
是共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F重合)，GH与EF是异面直线，故A，B，D正确，C错误.
(2)(多选)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当
这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )A.圆锥的母线长为3
B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为60°
D.若一只蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为9√3
答案 BD
解析 设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，
圆锥的侧面积为πrl=3πl，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
(360)
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 °=120°，故C错误；
3
πl2=3×3πl，解得l=9，所以圆锥的母线长为9，故A错误；
圆锥的表面积为3×π×9+π×32=36π，故B正确；
如图为圆锥沿SA展开的侧面展开图，连接AA'，则△ASA'为等腰三角形，
所以蚂蚁爬行的最短距离为AA'=2×9×sin 60°=9√3，故D正确.
[规律方法] 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的
最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.
跟踪演练3 (1)将一块边长为 2 的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这个正四面
体某顶点到其相对面的距离是( )
√6 √5
A. B.
3 3
√3 √2
C. D.
3 3
答案 A
解析 依题意可得如图所示正三棱锥S-ABC，且棱锥的所有棱长均为1，取AB的中点D，连接CD，设S
在底面ABC的射影为点O，根据正三棱锥的性质可知O为△ABC的重心，所以CD=
√
12-
(1) 2
=
√3
，CO=
2 2
2 2 √3 √3
CD= × = ，
3 3 2 3所以SO=√SC2-CO2=
√
12-
(√3) 2
=
√6
.
3 3
(2)(多选)(2024·长沙模拟)如图，AD与BC分别为圆台上、下底面直径，AD∥BC，若AB=3，AD=2，
BC=4，则( )
A.圆台的表面积为14π
B.圆台的体积为14√2π
5π
C.圆台的中截面(过圆台高的中点且平行于底面的截面)面积为
2
D.从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为3√3
答案 AD
解析 对于A选项，圆台的表面积包括上、下底面面积及侧面积，上、下底面面积和为π×12+π×22=5π，
根据圆台侧面积公式可得其侧面积为π×(1+2)×3=9π，所以圆台的表面积为14π，故A正确；
对于B选项，易知圆台的高为√32-(2-1) 2=2√2，
1 14√2π
根据台体体积公式可得圆台的体积为 (π×12+π×22+π×√12×22)×2√2= ，故B错误；
3 3
对于C选项，易知圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，其中位线为中截面圆的直径，
2+4 3 (3) 2 9π
所以中截面圆的半径长为 = ，所以中截面圆的面积为π× = ，故C错误；
4 2 2 4
对于D选项，将圆台沿着轴截面ABCD切开，将圆台的侧面的一半展开，延长BA，CD交于点M，如图所
示.
1
在圆台的轴截面等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD= BC，
2
根据台体性质易知A，D分别为BM，CM的中点，所以AM=DM=AB=3，
1
设∠AMD=θ，则A´D=3θ= ×2π×1，
2π
则θ= ，
3
π
在△ACM中，AM=3，CM=6，∠AMD= ，
3
由余弦定理可得
√ π √ 1
AC= AM2+CM2-2AM·CM·cos = 32+62-2×3×6× =3√3，
3 2
因此，从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为3√3，故D正确.
专题强化练
(分值：84分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·天津)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m⊥n
B.若m∥α，n∥α，则m∥n
C.若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D.若m∥α，n⊥α，则m与n相交
答案 C
解析 对于A，B，若m∥α，n∥α，
则m与n可能平行，相交或异面，故A，B错误；
对于C，D，若m∥α，n⊥α，
则m⊥n，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.
2.(2024·来宾模拟)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为( )
4
A.1 B.
3
6 9
C. D.
5 7
答案 D
解析 设该正四棱台的高为h，
又其上、下底面边长分别为1，2，体积为3，
1 7h 9
则V= h(12+22+√12×22)= =3，所以h= .
3 3 7
3.(2024·宁波模拟)已知平面α，β，γ，α∩β=l，则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由于α∩β=l，所以l α，l β，
若 l⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，故⊂充分⊂性成立；
若α⊥γ，β⊥γ，设α∩γ=m，β∩γ=n，
则存在直线a γ，使得a⊥m，所以a⊥α，由于l α，故a⊥l，
同理存在直线⊂b γ，使得b⊥n，所以b⊥β，由于⊂l β，故b⊥l，
由于a，b不平行⊂，所以a，b是平面γ内两条相交直⊂线，所以l⊥γ，故必要性成立.
2π
4.(2024·晋城模拟)已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积为(
3
)
16√2π
A.6√2π B.
3
16√3π
C.6√3π D.
3
答案 B
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
{πrl=12π,
由题意可得 2π 解得l=3r=6，
l=2πr,
3
则圆锥的高h=√l2-r2=4√2，
1 16√2π
所以此圆锥的体积为 h×πr2= .
3 3
5.(2024·衡水模拟)生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如用来收运垃圾的畚箕，其结构
为如图所示的五面体ADE-BCF，其中四边形ABFE与DCFE都为等腰梯形，ABCD为平行四边形，若
AD⊥平面ABFE，且EF=2AB=2AE=2BF，记三棱锥D-ABF的体积为V ，则该五面体的体积为( )
1
A.8V B.5V
1 1
C.4V D.3V
1 1
答案 C
解析 因为四边形ABCD为平行四边形，所以S =S ，所以V =V =V .
△ABD △BCD F-BCD F-ABD 1记梯形ABFE的高为h，因为EF=2AB，
1 1
所以S = EF·h= ×2AB·h=2S ，
△AEF 2 2 △ABF
所以V =2V =2V ，
D-AEF D-ABF 1
所以该五面体的体积V=V +V +V =2V +V +V =4V .
D-AEF D-ABF F-BCD 1 1 1 1
6.(2024·武汉模拟)如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其
中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为
顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列选项正确的是( )
A.△CEF为正三角形
B.SA⊥平面CEF
C.SD∥平面CEF
D.点D到平面CEF的距离为2√3
答案 C
解析 该半圆围成的圆锥的侧面，如图所示，
选项A，设圆锥底面半径为r，则2πr=4π，∴r=2，∴CE=4，
∵F为AS的中点，O为AD的中点，∴FO∥SD，
1
且FO=2= CE，
2
∴∠CFE=90°，由题意得CF=EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，选项A错误；
选项B，假设SA⊥平面CEF，易得∠AFO=90°，
在△AFO中，AO=FO=AF=2，
∴∠AFO=60°，假设不成立，选项B错误；
选项C，∵FO∥SD，FO 平面CEF，SD⊄平面CEF，
∴SD∥平面CEF，选项C⊂正确；选项D，
∵CE⊥AD，CE⊥SO，AD∩SO=O，AD，SO 平面SAD，
∴CE⊥平面SAD，又CE 平面CEF， ⊂
∴平面CEF⊥平面SAD，⊂
∴点D到直线FO的距离即为点D到平面CEF的距离，
又∵FO∥SD，∴点D到直线FO的距离等于点O到直线SD的距离，为√3，选项D错误.
7.(2024·揭阳模拟)如图，正四棱台容器ABCD-A B C D 的高为12 cm，AB=10 cm，A B =2 cm，容器中水的
1 1 1 1 1 1
高度为6 cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3
cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为( )
√1 √2
A.3 cm B.3 cm
π π
√3 √4
C.3 cm D.3 cm
π π
答案 A
解析 正四棱台容器ABCD-A B C D 的高为12 cm，AB=10 cm，A B =2 cm，
1 1 1 1 1 1
1
正四棱台容器内水的高度为6 cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为 ×(2+10)=6(cm)，
2
1
其体积为V = ×(62+102+√62×102)×6=392(cm3)；
1 3
放入铁球后，水位高9 cm，沿A B 作纵截面，从A ，B 分别向底面引垂线，如图，
1 1 1 1
其中EF是底面边长为10 cm，B H是容器的高为12 cm，GH是水的高为9 cm，
1
由截面图中比例线段的性质知，
GN B G 1
= 1 = ，HF=4 cm，
HF B H 4
1
可得GN=1 cm，此时水面边长为4 cm，
1
此时水和放入的57个球的体积和为V = ×(42+102+√42×102)×9=468(cm3)，
2 3放入的57个球的体积为468-392=76(cm3)，
4 √1
设小铁球的半径为r，则57× πr3=76，解得r=3 cm.
3 π
π
8.(2024·临汾模拟)在平行四边形ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD= ，E，H分别为AB，CD的中点，将
3
△ADE沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥A'-BCDE，F为A'C的中点，则下列说法不正确的是( )
A.平面BFH∥平面A'DE
B.四棱锥A'-BCDE体积的最大值为3
C.无论如何折叠都无法满足A'D⊥BC
D.三棱锥A'-DEH表面积的最大值为2√3+4
答案 C
解析 选项A，连接BF，BH，FH，由平行四边形ABCD，知BE∥DH，又AB=2AD=4，E，H分别为
AB，CD的中点，所以BE=DH，即四边形BEDH为平行四边形，所以BH∥DE，又BH⊄平面A'DE，DE
平面A'DE，所以BH∥平面A'DE，又F是A'C的中点，所以FH∥A'D，又FH⊄平面A'DE，A'D 平面 ⊂
A'DE，所以FH∥平面A'DE，又FH∩BH=H，FH，BH 平面BFH，所以平面BFH∥平面A'DE，⊂故A正确；
⊂
π
选项B，当平面A'DE⊥平面BCDE时，四棱锥A'-BCDE的体积最大，因为∠BAD= ，AD=AE=2，所以点
3
A'到平面BCDE的距离为√3，梯形BCDE的高为√3，
1 (2+4)×√3
所以最大值为V= ×√3× =3 ，故B正确；
3 2
选项C，连接DB，根据题意可得BC⊥DB ，
当BC⊥A'B时，因为A'B∩DB=B，A'B，DB 平面A'DB，所以BC⊥平面A'DB，又A'D 平面A'DB，即
BC⊥A'D，故C错误；
⊂ ⊂
选项D，连接A'H，EH，当EH⊥A'E时，根据对称性可得DH⊥A'D，此时△A'EH，△A'DH的面积最大，
1 1
因此三棱锥A'-DEH的表面积最大，最大值为S=S +S +S +S = ×2×√3×2+ ×2×2×2=2√3+4，
△A'DE △A'DH △DEH △A'EH 2 2
选项D正确.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2024·深圳模拟)已知m，n是异面直线，α，β是两个不同的平面，m α，n β，那么( )
A.当m⊥β或n⊥α时，α⊥β
⊂ ⊂B.当m∥β且n∥α时，α∥β
C.当α⊥β时，m⊥β或n⊥α
D.当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行
答案 AB
解析 当m⊥β，m α时，α⊥β；
当n⊥α，n β时，⊂α⊥β，故A正确；
当m∥β，n⊂ ∥α时，又m，n为异面直线，m α，n β，
所以α∥β，故B正确；
⊂ ⊂
当α⊥β时，由m α，得m∥β或m与β相交；
当α⊥β时，由n⊂β，得n∥α或n与α相交，故C错误；
当α，β不平行时⊂，可能m∥β或m与β相交，n∥α或n与α相交，故D错误.
10.(2024·浙江强基联盟5月联考)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF=EF=2DF=2，
AE=3，EB=4，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A'D'位置，且平面A'D'FE⊥平面BCFE，连接
A'B，D'C，如图2，则( )
A.BE⊥A'D'
B.平面A'EB∥平面D'FC
C.多面体A'EBCD'F为三棱台
π
D.直线A'D'与平面BCFE所成的角为
4
答案 ABD
解析 对于A，因为平面A'D'FE⊥平面BCFE，
平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，BE⊥EF，BE 平面BCFE，
所以BE⊥平面A'D'FE，又A'D' 平面A'D'FE⊂，
所以BE⊥A'D'，A正确；
⊂
对于B，因为A'E∥D'F，A'E⊄平面D'FC，D'F 平面D'FC，
则A'E∥平面D'FC，
⊂
又BE∥CF，BE⊄平面D'FC，CF 平面D'FC，
则BE∥平面D'FC，
⊂
又A'E∩BE=E，A'E，BE 平面A'EB，所以平面A'EB∥平面D'FC，B正确；
D'F 1
⊂
FC 2 D'F FC
对于C，因为 = ， = ，则 ≠ ，
A'E 3 EB 4 A'E EB所以多面体A'EBCD'F不是三棱台，C错误；
对于D，分别延长A'D'，EF相交于点G，
因为平面A'D'FE⊥平面BCFE，平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，A'E 平面A'D'FE，A'E⊥EF，
所以A'E ⊥平面BCFE，则∠A'GE为直线A'D'与平面BCFE所成的⊂角.
D'F GF
因为A'E∥D'F，所以 = ，
A'E GF+FE
A'E
解得GF=1，GE=3，tan∠A'GE= =1，
GE
π
则∠A'GE= ，D正确.
4
11.(2024·徐州适应性测试)已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为2√3，则( )
A.该圆台的体积为26√3π
112π
B.该圆台外接球的表面积为
3
C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D.挖去以该圆台上底面为底，高为√3的圆柱后所得几何体的表面积为(16+2√3)π
答案 BC
解析 由已知得圆台的上、下底面半径分别为1，3，
1 26√3π
对于A，圆台的体积为 π(12+32+√12×32)×2√3= ，A错误；
3 3
对于B，如图是圆台的轴截面ABCD，外接球球心为O，设外接球半径为R，
28
当球心在梯形ABCD内时，√R2-12+√R2-32=2√3，解得R2= ，
3
当球心在梯形ABCD外时，√R2-12-√R2-32=2√3，方程无解，
所以外接球的表面积为112π
4πR2= ，B正确；
3
对于C，用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，
又母线长为√(2√3) 2+(3-1) 2=4，则最大周长为4+4+2+6=16，C正确；
对于D，如图，挖去以该圆台上底面为底，高为√3的圆柱后所得几何体的表面积为
π(3+1)×4+2π×1×√3+π×(32+12)=26π+2√3π，D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那
么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是 .
答案 2√2
解析 过点B'作B'C'∥y'轴，交x'轴于点C'，如图，
在△O'B'C'中，∠B'O'C'=30°，
∠B'C'O'=135°，O'B'=2，
由正弦定理
B'C' O'B'
= ，
sin30° sin135°
1
2×
2
于是得B'C'= =√2，
√2
2
由斜二测画法规则知，
在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是2√2.
13.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为r ，圆台母线长分别为2(r -r )，
1 2 2 1
3(r -r )，则圆台甲与乙的体积之比为 .
2 1
√6
答案
4
解析 由题可得两个圆台的高分别为h =√[2(r -r )] 2-(r -r ) 2=√3(r -r )，
甲 2 1 2 1 2 1
h =√[3(r -r )] 2-(r -r ) 2=2√2(r -r )，
乙 2 1 2 1 2 1
1
(S +S +√S S )h
V 3 上 下 上 下 甲
甲
所以 =
V 1
乙 (S +S +√S S )h
3 上 下 上 下 乙
h √3(r -r ) √6
甲 2 1
= = = .
h 2√2(r -r ) 4
乙 2 1
14.将3个6 cm×6 cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图(1)所示，
将这6个部分接入一个边长为3√2 cm的正六边形上，如图(2)所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围
成一个七面体，则该七面体的体积为 cm3.
答案 108
解析 将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，
该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积
1
的一半，即 ×63=108(cm3).
2
15题5分，16题6分，共11分
15.(2024·郑州模拟)如图，正方形ABCD的中心为O，边长为4，将其沿对角线AC折成直二面角，设M为
AD的中点，N为BC的中点，则三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为( )
2√2π √3π
A. B.
3 3
2√3π 4√2π
C. D.
3 3答案 C
1
解析 由题意可得OM=ON= CD=2，
2
过点M作MP⊥AO于点P，连接PN，
由二面角D-AC-B为直二面角，故平面DAC⊥平面ACB，
又平面DAC∩平面ACB=AC，MP 平面DAC，
故MP⊥平面ACB，又PN 平面A⊂CB，故MP⊥PN，
√2 √2 1
⊂
则MP= CD=√2，CP=√2CD- CD=3√2，CN= BC=2，
4 4 2
在△CNP中，利用余弦定理得
√ √2
NP= (3√2) 2+22-2×3√2×2× =√10，
2
在△MPN中，MN=√(√10) 2+(√2) 2=2√3，
在△MON中，OM=ON=2，MN=2√3，取MN的中点为H，
则点O到MN的距离为OH=
√
22-
(2√3) 2
=1，
2
根据圆锥的定义知，三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体为两个相同圆锥的组合体，
故圆锥的底面半径为OH，所以旋转体的体积为
1 2√3π
V= π×12×2√3= .
3 3
16.(多选)[椭圆柱]把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱OO'中椭圆长轴
AB=4，短轴CD=2√3，F ，F 为下底面椭圆的左、右焦点，F '为上底面椭圆的右焦点，AA'=4， P为线段
1 2 2
BB'上的动点，E 为线段A'B'上的动点，MN 为过点F 的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确
2
的是( )
A.当F F '∥平面PMN时，P为BB'的中点
1 2B.三棱锥F '-F CD外接球的表面积为8π
2 2
C.若点Q是下底面椭圆上的动点，Q'是点Q在上底面的射影，且Q'F ，Q'F 与下底面所成的角分别为α，
1 2
16
β，则tan(α+β)的最大值为-
13
D.三棱锥E-PMN体积的最大值为8
答案 ACD
解析 由题设，长轴长|AB|=|A'B'|=4，短轴长|CD|=2√3，
则|OF |=|OF |=|O'F '|=1，
1 2 2
得F ，F '分别是OB，O'B'的中点，而柱体中四边形ABB'A'为矩形，连接OB'，PF ，
2 2 2
由B'F '∥OF ，|B'F '|=|OF |=1，
2 1 2 1
所以四边形F OB'F '为平行四边形，OB'∥F F '，
1 2 1 2
当F F '∥平面PMN时，F F ' 平面ABB'A'，平面ABB'A'∩平面PMN=PF ，
1 2 1 2 2
则F
1
F
2
'∥PF
2
，有OB'∥PF
2
，⊂
在△OBB'中，F 是OB的中点，则P为BB'的中点，A选项正确；
2
OF ⊥CD，|CD|=2√3，|OF |=1，
2 2
则在△F CD中，|CF |=|DF |=2，∠CF D=120°，
2 2 2 2
1 |CD|
△F CD外接圆的半径r= × =2，
2 2 sin∠CF D
2
F F '∥AA'，则F F '⊥平面F CD，
2 2 2 2 2
三棱锥F '-F CD外接球的半径R=√22+22=2√2，
2 2
所以外接球的表面积为4πR2=32π，B选项错误；
点Q是下底面椭圆上的动点，Q'是点Q在上底面的射影，且Q'F ，Q'F 与下底面所成的角分别为α，β，
1 2
令|QF |=m，|QF |=n，则m+n=4，又|QQ'|=4，
1 2
4 4
则tan α= ，tan β= ，
m n
tanα+tanβ 4(m+n) 16
tan(α+β)= = =
1-tanαtanβ mn-16 mn-16
16
= ，由椭圆性质知1≤m≤3，
-(m-2) 2-12
16
则当m=1或m=3时，tan(α+β)的最大值为- ，C选项正确；
13由V =V +V ，要使三棱锥E-PMN体积最大，
三棱锥E-PMN 三棱锥M-PEF
2
三棱锥N-PEF
2
只需△PEF 的面积和M，N到平面PEF 距离之和都最大，
2 2
S =S -S -S ，
△PEF 四边形BF EB' △PBF △PEB'
2 2 2
令EB'=a，PB=b，且a，b∈[0，4]，则PB'=4-b，
1 1 1 b(a-1)
S = ×4×(1+a)- ×1×b- ×a×(4-b)=2+ ，
△PEF 2 2 2 2 2
当a=b=4时，有最大值S =8，
△PEF
2
y2 x2
在下底面内以O为原点，构建如图的平面直角坐标系，且B(0，2)，则椭圆方程为 + =1，
4 3
设MN：y=tx+1，联立椭圆方程得(3t2+4)x2+6tx-9=0，Δ=144(t2+1)>0，
6t 9
x +x =- ，x x =- ，
M N 3t2+4 M N 3t2+4
12√t2+1
|x -x |=√(x +x ) 2-4x x = ，
M N M N M N 3t2+4
12
12l ，
令l=√t2+1≥1，|x -x |= = 1
M N 3l2+1 3l+
l
1 12
由对勾函数性质可知y=3l+ 在[1，+∞)上单调递增，|x -x | = =3，
l M Nmax 4
1
综上，三棱锥E-PMN体积的最大值为 ×8×3=8，D选项正确.
3
