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专题四 微重点 1 球的切、接问题
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·济南模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该
球的表面积为( )
A.4π B.6π
C.8π D.10π
2.(2024·安庆模拟)已知圆锥PO的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为( )
A.4∶1 B.3∶1
C.2∶1 D.8∶1
3.(2024·南京模拟)在圆台O O 中，圆O 的半径是圆O 半径的2倍，且O 恰为该圆台外接球的球心，则圆
1 2 2 1 2
台的侧面积与球的表面积之比为( )
A.3∶4 B.1∶2
C.3∶8 D.3∶10
4.(2024·日照模拟)已知棱长为1的正方体ABCD-A B C D ，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱
1 1 1 1
相切，若点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，则⃗PA·⃗PB的最大值为( )
7
A.2 B.
4
3 1
C. D.
4 4
π
5.在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD= ，现将菱形ABCD沿对角线BD折起，当三棱锥A-BCD的体积最
3
大时，三棱锥A-BCD外接球的表面积为( )
A.24π B.48π
C.60π D.72π
√3
6.(2024·泰安模拟)在三棱锥D-ABC中，AB=2，AD=BD，AC⊥BC，tan∠ADB= ，E为AB的中点，且直
3
√10
线DE与平面ABC所成角的余弦值为 ，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为( )
4
A.24π B.36π
C.40π D.48π
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
1
7.已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的 ，
3
则下列结论正确的是( )3
A.球O的半径为
2
B.球O的表面积为6π
C.球O的内接正方体的棱长为√6
D.球O的外切正方体的棱长为√6
8.(2024·桂林模拟)如图，已知圆锥PO的底面半径为√3，高为√6，AB为底面圆的直径，点C为底面圆周
上的动点，则( )
9√3 3√11
A.当C为弧AB的三等分点时，△PAC的面积等于 或
4 4
B.该圆锥可以放入表面积为14π的球内
5
C.边长为 的正方体可以放入该圆锥内
4
D.该圆锥可以放入边长为2√2的正方体中
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·深圳模拟)已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为√2，则该圆锥的表面积为 .
10.(2024·威海模拟)已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体
积为 .答案精析
1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B
7.BD 8.ABD
9.8π
解析 过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如图所示.
设圆锥的高为h，母线的长为l，
底面半径为r，圆锥的内切球半径为R，
则在△SO B中有h2+r2=l2，
1
即h2+2=l2， ①
R h-R
又由△SDO∽△SO B得 = ，
1 r l
即l=√2(h-1)， ②
所以由①②得l=3√2，h=4，
所以圆锥的表面积为S=S +S =πr2+πrl=2π+6π=8π.
底 侧
32π
10.
3
解析 如图，圆锥顶点为P，底面圆心为C，底面圆周与顶点均在球心为O的球面上，
OA=OP=3，记PA=l，CA=r，
则圆锥侧面积为S=πrl，
若r相同时，l较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，当圆锥侧面积最大时，P，C两点位于球心O
的两侧，此时l2=r2+(3+OC)2，
r2+OC2=9，
l2
∴OC= -3，
6
(l2
)
2
∴r2+ -3 =9，
6l4 l2
∴r2=l2- ，而OC= -3≥0，即l≥3√2，
36 6
又l0，f(t)在[18，24)上单调递增，
当24
