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微专题 1 空间几何体
[考情分析] 表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.空间
位置关系一是考查命题的真假判断，二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选
择题、填空题或解答题的第(1)问的形式考查，属于中档题.
考点一 表面积与体积
1.旋转体的侧面积和表面积
(1)S =2πrl，S =2πr(r+l)(r为底面半径，l为母线长).
圆柱侧 圆柱表
(2)S =πrl，S =πr(r+l)(r为底面半径，l为母线长).
圆锥侧 圆锥表
(3)S =4πR2(R为球的半径).
球表
2.空间几何体的体积公式
(1)V =Sh(S为底面面积，h为高).
柱
1
(2)V = Sh(S为底面面积，h为高).
锥 3
1
(3)V = (S +√S ·S +S )h(S ，S 分别为上、下底面面积，h为高).
台 3 上 上 下 下 上 下
4
(4)V = πR3(R为球的半径).
球 3
例1 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则
圆锥的体积为( )
A.2√3π B.3√3π
C.6√3π D.9√3π
(2)(2024·昆明模拟)某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图.底座ABCD是边长为4√2的正方形，
垂直于底座且长度为6的四根吊挂线AA ，BB ，CC ，DD 一头连着底座端点，另一头都连在球O的表
1 1 1 1
面上(底座厚度忽略不计)，若该艺术吊灯总高度为14，则球O的体积为( )108π 256π
A. B.
3 3
500π 864π
C. D.
3 3
[规律方法] 空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解.
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几
何体补成熟悉的几何体.
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积.
跟踪演练1 (1)(2024·天津)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，
BE=2，CF=3，则该五面体的体积为( )
√3 3√3 1
A. B. +
6 4 2
√3 3√3 1
C. D. -
2 4 2
(2)(2024·河南TOP20名校联考)如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分
别为4 cm2和9 cm2，高为3 cm.现在收集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为
mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)
考点二 空间点、线、面的位置关系
平行关系及垂直关系的转化例2 (1)(2024·石家庄质检)设α，β，γ是三个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真
命题的是( )
A.若α⊥β，m α，l⊥β，则m∥l
B.若m α，l β，α∥β，则m∥l
⊂
C.若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β
⊂ ⊂
D.若α∩β=l，m∥l，m⊥γ，则α⊥γ
(2)(多选)(2024·聊城模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是(
)
A.“AB=PB”与“PB=BD”
B.“PA⊥PC”与“PB⊥PD”
C.“PB⊥CD”与“PC⊥AB”
D.“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”
[规律方法] (1)证明线线平行的常用方法
①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.
(2)证明线线垂直的常用方法
①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质定理.
跟踪演练2 (1)(2024·金华模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，
l⊥n，l⊄α， l⊄β，则( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交，且交线垂直于l
D.α与β相交，且交线平行于l
答案 D
解析 由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β，由直线
m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β，则推出m∥n，与m，n异面
矛盾，所以α与β相交，且交线平行于l，故选D.
(2)(多选)(2024·秦皇岛模拟)如图，在圆柱O O中，轴截面ABCD为正方形，点F是A´B上一点，M为
1
BD与轴O O的交点.E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且EF∥平面AMN，则下列选项正确的有
1
( )A.CF∥平面AMN
B.AN⊥平面DBF
C.DB⊥平面AMN
D.F是A´B的中点
考点三 折叠与展开问题
空间几何体的侧面展开图
(1)圆柱的侧面展开图是矩形.
(2)圆锥的侧面展开图是扇形.
(3)圆台的侧面展开图是扇环.
例3 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )
A.C∈GH
B.CD与EF是共面直线
C.AB∥EF
D.GH与EF是异面直线
(2)(多选)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当
这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )
A.圆锥的母线长为3
B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为60°
D.若一只蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为9√3
[规律方法] 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的
最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.跟踪演练3 (1)将一块边长为 2 的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这个正四面
体某顶点到其相对面的距离是( )
√6 √5
A. B.
3 3
√3 √2
C. D.
3 3
(2)(多选)(2024·长沙模拟)如图，AD与BC分别为圆台上、下底面直径，AD∥BC，若AB=3，AD=2，
BC=4，则( )
A.圆台的表面积为14π
B.圆台的体积为14√2π
5π
C.圆台的中截面(过圆台高的中点且平行于底面的截面)面积为
2
D.从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为3√3答案精析
例1 (1)B (2)C
455
跟踪演练1 (1)C (2)
16
例2 (1)D
(2)BC [对于A，若AB=PB，而底面ABCD是正方形，AB≠BD，所以PB=BD不成立，故A错误；
对于B，设底面正方形中心为O，当P在以O为球心，OA为半径的球面上时可符合题意，故B正确；
对于C，当平面PBC⊥底面ABCD时，由面面垂直的性质可知AB⊥平面PBC，DC⊥平面PBC，显然符合
题意，故C正确；
对于D，先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，
如图，
{α⋂β=l,α⋂γ=a,β⋂γ=b,
有 α⊥γ,
β⊥γ,
取A∈γ，作AB⊥a，AC⊥b，
垂足分别为B，C，由面面垂直的性质可知AB⊥α，AC⊥β，
由线面垂直的性质及l α，l β可知，AC⊥l，AB⊥l，
又AB∩AC=A，AB，AC⊂ γ，⊂由线面垂直的判定可知l⊥γ，
若“平面PAB⊥平面PB⊂D”与“平面PCD⊥平面PBD”同时成立，
易知P∈平面PAB∩平面PCD，可设平面PAB∩平面PCD=l，
则P∈l，
则l⊥平面PBD，
易知AB∥CD，AB⊄平面PCD，所以AB∥平面PCD，则l∥AB，则有AB⊥平面PBD，显然AB⊥BD不成
立，故D错误.]
跟踪演练2 (1)D (2)BCD
例3 (1)ABD(2)BD [设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，
圆锥的侧面积为πrl=3πl，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
(360)
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 °=120°，故C错误；
3
πl2=3×3πl，解得l=9，所以圆锥的母线长为9，故A错误；
圆锥的表面积为3×π×9+π×32=36π，故B正确；
如图为圆锥沿SA展开的侧面展开图，连接AA'，则△ASA'为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为
AA'=2×9×sin 60°=9√3，故D正确.]
跟踪演练3 (1)A
(2)AD [对于A选项，圆台的表面积包括上、下底面面积及侧面积，上、下底面面积和为π×12+π×22=5π，
根据圆台侧面积公式可得其侧面积为π×(1+2)×3=9π，所以圆台的表面积为14π，故A正确；
对于B选项，易知圆台的高为√32-(2-1) 2=2√2，
1 14√2π
根据台体体积公式可得圆台的体积为 (π×12+π×22+π×√12×22)×2√2= ，故B错误；
3 3
对于C选项，易知圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，其中位线为中截面圆的直径，
2+4 3 (3) 2 9π
所以中截面圆的半径长为 = ，所以中截面圆的面积为π× = ，故C错误；
4 2 2 4
对于D选项，将圆台沿着轴截面ABCD切开，将圆台的侧面的一半展开，延长BA，CD交于点M，如图所
示.
1
在圆台的轴截面等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD= BC，
2
根据台体性质易知A，D分别为BM，CM的中点，
所以AM=DM=AB=3，
设∠AMD=θ，
1
则A´D=3θ= ×2π×1，
2
π
则θ= ，
3π
在△ACM中，AM=3，CM=6，∠AMD= ，
3
由余弦定理可得AC=
√ π
AM2+CM2-2AM·CM·cos
3
√ 1
= 32+62-2×3×6× =3√3，
2
因此，从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为3√3，故D正确.]
